第十章Frobenius矩阵是指以下矩阵

Frobenius矩阵是指以下矩阵：

0 0 · · · 0 –α₀

1 0 · · · 0 –α₁

0 1 · · · 0 –α₂

A＝( ⁝ ⁝ ⁝ ⁝ ) ·

0 0 · · · 1 – αₙ₋₁

矩阵A拥有很多很好的特性，比如，A的特征多项式刚好为f(λ)＝λⁿ＋αₙ₋₁ λⁿ⁻¹＋· · ·＋α₁λ＋α₀；而且A的最小多项式 m(λ) 正好就是其特征多项式，即 m(λ)＝f(λ) 。

如果矩阵A是域F上的矩阵，从最小多项式可以看出，矩阵A可对角化当且仅当m(λ) 在域F中可分解成不同的一次因式的乘积，即存在 λ₁，λ₂，· · ·，λₙ ∈ F 使得 m(λ)＝(λ – λ₁) (λ – λ₂) · · · (λ – λₙ) 。

如果F是数域K，且m(λ) 在K中不可约，那么把A看成是复数域 ℂ 上的矩阵时，A可对角化。这是因为最小多项式在复数域上总有标准分解，若它在K上不可约，则 m(λ) 在K上没有重根，而有没有重根不随域的改变而改变，所以它在复数域上也没有重根。从而 m(λ) 在复数域上可以分解成不同的一次因式的乘积，即矩阵A在复数域上可对角化。

现在，我们来研究与A可交换的矩阵组成的集合C(A)＝{B ∈ Mₙ(F)|AB＝BA} 。题目出自丘维生《高等代数》第九章第7节课后习题。

定义F[A]＝{f(A)|f(x) ∈ F[x]} ，即域F上的多项式用矩阵A带入得到的集合。因为任意 g(x) ∈ F[x] ，有 g(x)＝bₙxⁿ＋· · ·＋b₁x＋b₀ ，其中 bᵢ ∈ F，i＝1，· · ·，n ，所以： g(A)＝bₙ Aⁿ＋· · ·＋b₁ A＋b₀l 。从这个表达式可以看出， g(A) 总是和 A 可交换的，所以我们总有 F[A] ⊂ C(A) 。

另外，不论是F[A] 还是 C[A] ，它们都可以看成是域F上的线性空间，这很好验证。

其中一个维度很好计算，dim F[A] 。我们知道 m(λ) 作为A的最小多项式，有 m(A)＝0 ，从而：Aⁿ＋αₙ₋₁Aⁿ⁻¹＋· · ·＋α₁A＋α₀l＝0.

所以，

Aⁿ＝ –αₙ₋₁Aⁿ⁻¹ – · · · – α₁A – α₀l 。任取 h(A) ∈ F[A] ，对多项式 h(x) 和 m(x) 做带余除法：

h(x)＝u(x)m(x)＋r(x)， deg r(x)＜deg m(x).

将A带入到上面的等式，得到：

h(x)＝u(x)m(x)＋r(A)＝r(A)，

而

r(A)＝qᵣ Aʳ＋qᵣ₋₁ Aʳ⁻¹＋· · ·＋q₁ A＋q₀，其中 r＜n 。也就是说， F[A] 上的任何元素都可由 l，A，· · ·，Aⁿ⁻¹ 线性表出。

还需验证l，A，· · ·，Aⁿ⁻¹ 线性无关，假设 k₀l＋k₁ A＋· · ·＋kₙ₋₁ Aⁿ⁻¹＝0 ，令 υ(x)＝kₙ₋₁ xⁿ⁻¹＋· · ·＋k₁x＋k₀ ，则 υ(x) 是矩阵A的零化多项式，根据最小多项式的最小性，有 m(x)│υ(x)，然而因为 deg υ(x) ≤ n – 1＜n＝deg m(x) ，所以 υ(x) 只能为0多项式，即 υ(x)＝0 ，否则会出现 n＝deg m(x) ≤ υ(x) ≤ n – 1这种矛盾的结论。

这样，就有k₀＝k₁＝· · ·＝kₙ₋₁＝0 。这表明 l，A，· · ·，Aⁿ⁻¹ 确实线性无关。

线性无关加上可表性，就可以断定l，A，· · ·，Aⁿ⁻¹ 是线性空间 F[A] 上的一个基。所以 dim F[A]＝n 。

现在假设线性空间V上的线性变换A：V → V 使得矩阵A是线性变换 A 在V的一个基 α₁，· · ·，αₙ 下的矩阵。

那么，我们有：

(A(α₁))，· · ·，A(αₙ))＝(α₁，· · ·，αₙ)A，

从矩阵A的特性可以看出，

A(α₁)＝α₂，A²(α₁)＝α₃，· · ·，Aⁿ⁻¹(α₁)＝αₙ，

而

Aⁿ(α₁)＝A(αₙ)＝ –α₀α₁ – · · · –αₙ₋₁ αₙ 。因为 α₁，α₂，· · ·，αₙ 是线性空间V的一组基，所以 α₁，A(α₁)，· · ·，Aⁿ⁻¹(α₁) 是线性空间V的同一组基。

任何一个和A 可交换的矩阵 B ，在V中都有唯一的线性变换 B ，使矩阵 B 是线性变换 B 在基 α₁，· · ·，αₙ 下的矩阵，且线性变换 B 和线性变换 A 可交换。

而且，B(α₁)＝b₀α₁＋b₁ A(α₁)＋· · ·＋bₙ₋₁ Aⁿ⁻¹(α₁)。因为 B 与 A 可交换，所以，对于任意向量 α ∈ V ，设 α＝q₁α₁＋· · ·＋qₙαₙ ，有B(α)＝B(q₁α₁＋· · ·＋qₙαₙ)

＝q₁ Bα₁＋· · ·＋qₙ Bαₙ

＝q₁ Bα₁＋q₂ B(Aα₁)＋· · ·＋qₙ B(Aⁿ⁻¹α₁)

＝q₁ Bα₁＋q₂ A(Bα₁)＋· · ·＋qₙ Aⁿ⁻¹(Bα₁)

ₙ₋₁ ₙ₋₁

＝(∑ qᵢ Aⁱ ∑ bⱼAʲ) (α₁)

ᵢ₌₀ ⱼ₌₀

ₙ₋₁ ₙ₋₁

＝(∑ bⱼAʲ ∑ qᵢAⁱ) (α₁)

ⱼ₌₀ ᵢ₌₀

ₙ₋₁ ₙ₋₁

＝∑ bⱼAʲ (∑ qᵢAⁱ(α₁))

ⱼ₌₀ ᵢ₌₀

ₙ₋₁

＝∑ bⱼAʲ(α).

ⱼ₌₀

ₙ₋₁

令g(A)＝∑ bⱼAʲ ，上面的式子就表明

ⱼ₌₀

B＝g(A)。这就表明C(A) ⊂ F[A] 。这也同时表明，C(A) ⊂ F[A] 。结合之前推导的 F[A] ⊂ C(A) ，就得到了 C(A)＝F[A] 。而且 dim C(A)＝dim F[A]＝n 。

这就是说，每个和Frobenius矩阵可交换的矩阵都能表达成这个Frobenius矩阵的多项式。

最终遗言：数学主线（1~10）完结，感谢各位书友的支持与收藏！

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