补丁版第（5）章格罗滕迪克

注：格罗滕迪克（2/3）篇章。

6　　

　　那在我们完义M~（k）为这样的范畴，其对象为二元对 h (X，e）其中 X 加上 e 为环Corr⁰~(X，X)ℚ 中的幂等元，而态射则由

Hom(h(X，e)，h(Y，f))＝f o Corr⁰~ (X，Y)ℚ o e

(Corr⁰~(X，Y)ℚ 的子集)定义.这正是要寻找的！这里是关于有理等价还是关于数值等价的有效母题范畴是依赖于 ~ 的选择的，我们将其记为M~ᵉᶠᶠ (k).前面定义的母题范畴可看作是由h (X，Δₓ) 为对象构成的全子范畴.

　 例如，上面的讨论表明Corr⁰ᵣₐₜ(ℙ¹，ℙ¹)＝ℤ ⨁ ℤ且e₀ ≝ (1，0) 和e₂ ≝ (0，1) 分别由{0} × ℙ¹和ℙ¹ × {0} 所代表.相应于分解Δᴘ¹ ~ e₀＋e₂，我们可得分解

h(ℙ¹，Δᴘ¹)＝h⁰ ℙ¹ ⨁ h² ℙ¹

这里hⁱ ℙ¹＝h(ℙ¹，eᵢ)(这在 Mᵉᶠᶠᵣₐₜ (k) 中和在 Mᵉᶠᶠₙᵤₘ 中都成立).我们记 𝟙 = h⁰ ℙ¹，L＝h² ℙ¹.

从某种意义上讲，有效母题范畴是最有用的¹²，但是一般地人们更倾向于一个在其中每个对象都存在对偶的范畴.这极易通过将 L 取逆实现.

三论

M~（k）的对象现在为三元对 h (X，e，m)，其中 X 和 e 如前，而 m ∈ ℤ.态射定义为

Hom(h(X，e，m)，h(Y，f，n))＝f ◦ Corr~ⁿˉᵐ(X，Y)ℚ o e.

这是 k 上母题范畴.前面定义的母题范畴可看作是由 h (X，e，0) 为对象构成的全子范畴

有时称 Mᵣₐₜ (k) 为 Chow 母题范畴，而称 Mₙᵤₘ(k) 为 Grothendieck(或数值) 母题范畴.

6 M~(k)和X ⇝ hX 的所知

范畴M~(k)的已知性质

● 态射集合是 ℚ― 向量空间，若~为num则其为有限维的 (但是其他情形一般不是有限维的).

● 母题的直和存在，故M~(k)是加法范畴.例如

h(X，e，m)⨁ h(Y，f，m) = h (X ⊔ Y，e ⨁ f，m).

● 母题 M 的自同态环中的一个幂等元 f能将 M 分解为 f 的核与像的直和，故M ~ (k) 是一个伪 Abel 范畴.例如，若M＝h (X，e，m)，则

M = h (X，e ― e f e，m) ⨁ h(X，efe，m).

● Mₙᵤₘ (k) 是 Abel 范畴且为半单范畴，但是M~ (k) 一般不是 Abel 范畴，只有在 k 是有限域的代数扩张的情形或许可能是 Abel 范畴 ¹³.

● M~(k)上有好的张量积结构，定义为

h(X，e，m) ⨂ h (Y，f，n)＝h (X × Y，e × f，m＋n).

记 h X＝h(X，Δₓ，0)；则h X ⨂ h Y = h (X × Y )，故对X⇝h X Kiinneth 公式成立.

＿＿＿＿＿

¹²例如，在探究具有 ℤ (而不是 ℚ) 系数的有限域上的有效母题范畴时，Niranjan Ramachandran 和我发现了此范畴中的 Ext 的阶数和 Zeta 函数的特殊值之间的一个优美的关系，但是当从这种有效母题范畴过渡到母题的整个范畴时，这个关系却消失了. 一原注

¹³一个周知的猜想断言，当 k 是有限域的代数扩张时，自然函子Mᵣₐₜ(k)→ Mₙᵤₘ(k)是一个范畴等价. 一 原注

7

● 上述结论对有效母题范畴亦成立，但是在M~ (k) 中，对象存在对偶. 这意味着对每个母题 M 均存在对偶母题 Mᵛ 和“赋值映射” ev：Mᵛ ⨂ M → 𝕀 并且满足某种泛性质.例如，当 X 连通时有

h(X，e，m) ᵛ＝h(X，eᵗ，dim X ― m).

应该强调的是，尽管Mᵣₐₜ (k) 不是Abel范畴，但依然是非常重要的范畴，特别是，它比 Mₙᵤₘ (k) 包含了更多的信息.

X ⇝ h X 是泛上同调理论吗？

当然，函子X ⇝ hX将 X 映为其Chow母题是有泛性质的.这几近赘述：好的上同调理论即为可通过Mᵣₐₜ (k) 进行分解的理论.

然而对于Mₙᵤₘ (k) 却存在着问题：一个数值等价于零的对应将给出母题间的零映射，但是一般地我们并不知道其是否在上同调上也定义零映射.为使一个好的上同调理论能通过 Mₙᵤₘ (k) 进行分解，其须满足下述猜想：

猜想 D 如果一个代数链数值等价于零，则其上同调类也是零.

换句话说，若cl(γ)≠ 0，则 γ 不会数值等价于零.结合Poincaré对偶，我们可重述为：如果存在上同调类 γ 满足cl(γ)∪γ' ≠ 0，则存在一个代数链γ'' 满足γ" · γ" ≠ 0.因此，此猜想是一个关于代数链的存在性断言，不幸的是，我们尚无方法能够证明代数链的存在性，更具体地说，当我们期望一个上同调类是代数的，即是代数链类，我们尚无途径能给出具体证明，这是一个主要问题，至少是算术几何和代数几何中的主要问题.

在特征为零时，猜想 D 对 Abel 簇是对的，猜想 D 可由 Hodge 猜想推出.

为什么 hX 不是分次的？

当我们假设猜想 D 成立时，好的上同调理论 H 确实能通过X ⇝ hX分解.这意味着存在从Mₙᵤₘ (k) 到 H 的基域上的向量空间范畴的函子 ω 使有：

ω(h X)=H*(X) ≝ ⨁² ᵈⁱᵐ ˣ ᵢ₌₀ Hⁱ (X).

显然应该存在 hX 的一个分解使其能够统一诱导出每个好的上同调理论所具有的H*(X)分解，对于ℙ¹由 (2) 知这是对的，下述猜想是由Grothendieck提出的.

猜想 C 在环 End(hX)＝Cᵈⁱᵐ ˣₙᵤₘ (X × X) 中，对角 Δₓ 可典范地分解成幂等元之和：

Δ ₓ=π ₀+ · · · + π₂dim X· (3)

此表示式决定一个分解

h X＝h⁰ X ⨁ h¹ X ⨁ · · · ⨁ H² ᵈⁱᵐ ˣ (X). (4)

这里hⁱ X＝h (X，πᵢ，0)，此分解应该有这样的性质，即对每个满足猜想 D 的好的上同调理论分解 (4) 给出如下分解：

H*(X)＝H⁰(X)⨁ H¹(X)⨁ · · · ⨁ H² ᵈⁱᵐ ˣ (X).

此猜想也是关于代数链的存在性的断言，因此是很困难的.对于有限域上的非奇异射影簇（此时某种Frobenius 映射的多项式可用于分解母题）和特征零的Abel簇(由定义知Abel簇具有交换群结构，映射m：X → X，m ∈ ℤ，可用于分解h X)这是对的.

　　假如猜想 C 是对的，则可谈论母题的权(weight).例如，母题hⁱ X的权为 i，而 h (X，πᵢ，m)的权为i ― 2m.母题称为是纯粹的 (pure) 是指其具有单一的权(singleweight).每个母题都是纯粹母题的直和.

只有证明了猜想C和猜想 D，Grothendieck 的梦想才能得以实现.

8

附注6.1 Murre[Mu]曾经猜测分解 (3) 即使在Cᵈⁱᵐ ˣᵣₐₜ (X × X) 中也是存在的，已证明他的猜想等价于 Beilinson 和Bloch 关于 Chow 群上的一个有趣的滤链的存在性猜想.

什么是 Tannaka 范畴(Tannakian category) ?

所谓仿射群，是指一个矩阵群（可能是无限维的）¹⁴.对于 ℚ 上的仿射群 G，其在有限维 ℚ― 向量空间上的表示的全体构成一个带有张量积和对偶的 Abel 范畴Repℚ(G)，而遗忘函子则是一个从 Repℚ(G)到 Vecℚ 的保持张量积的忠实函子(faithful functor).

　ℚ 上的一个中性的 Tannaka 范畴 (neutral Tannakian category) T 是指一个 Abel 范畴，其带有张量积和对偶并存在到Vecℚ的保持张量积的忠实的正合函子；这样一个函子 ω 的张量积自同构构成一个仿射群 G，并且函子 ω 的选取决定了范畴的等价T → Repℚ(G).因此，一个中性的 Tannaka 范畴即是一个没有指定“遗忘”函子的仿射群的表示范畴的抽象形式 (正如向量空间是 kⁿ 的没有指定基的抽象形式一样).

　ℚ上的一个 Tannaka 范畴 T (未必是中性的) 是指一个Abel 范畴，其带有张量积和对偶并存在到某特征零的域 (未必是ℚ)上的向量空间范畴且保持张量积的忠实的正合函子；我们还要求End(𝟙)＝ℚ 成立；这样的函子的选取给出了 T 到仿射群胚范畴的一个范畴等价.

　Mₙᵤₘ (k) 是 Tannaka 范畴吗？

　不，不是 Tannaka 范畴，在一个带有张量积和对偶的 Abel 范略 T 中是可以定义一个对象的自同态的迹的.其将被任何忠实的正合函子 ω：T → Vecℚ 所保持，因此对于对象 M 的恒等映射 u，有

Tr(u|M)＝Tr(ω(u)|ω(M))＝dimℚ ω(M),

此为向量空间的维数，故为非负整数.对于簇 X 的恒等映射 u ，Tr(u|h X)即为 X 的 Euler-Poincaré 特征 (Betti 数的交错和).例如，若 X 是亏格 g 的曲线，则有

Tr(u|h X)＝dim H⁰ ― dim H¹＋dim H² ＝2 ― 2g，

这可以是负的.这证明不存在正合的忠实张量函子 ω :Mₙᵤₘ(k) →Vecℚ.

为修正这一点，我们不得不变动张量积结构的内在机理.假设猜想 C 成立，则每个母题有分解 (4).如果当 ij 为奇数时，我们改变“典范”同构

hⁱ X ⨂ hʲ X ≃ hʲ X ⨂ hⁱ X

的负号，则 Tr(u|h(X)) 就变成了 X 的 Betti 数的和而不是交错和，这样 Mₙᵤₘ (k) 就成为一个 Tannaka 范畴 (若 k 特征为零则其为中性，但其他情形不然).因此，当 k 是有限域的代数扩张时，Mₙᵤₘ (k) 是非中性的 Tannaka 范畴(但是，由于猜想 D 尚未被证实，所以我们不知道标准的上同调是否可通过其进行分解）.

7重温 Weil 猜想

Zeta 函数

设 X 是 𝔽ᴘ 上的非奇异射影簇，固定𝔽ᴘ的一个代数闭包 𝔽 .对每个 m，𝔽 有唯一的 pᵐ 元子域𝔽ₚᵐ. 记 X (𝔽ₚᵐ) 为 X 上坐标在𝔽ₚᵐ中的点的集合，此为有限集合，X 的 Zeta 函数 Z(X，t)定义为

tᵐ

log Z(X，t)＝Σₘ≥₁ |X (𝔽ₚᵐ) |──.

　　 m

＿＿＿＿＿＿　

¹⁴更确切地说，一个仿射群是域上的一个仿射群概型(未必是有限型的).每个这样的群都是那些能够实现为某 GLₙ 的子群的仿射代数群概型的逆极限. ― 原注

9　

例如，设 X＝ℙ⁰＝ 单点 .则对任意的 m 有 |X(𝔽ₚᵐ）|=1，故

tᵐ 1

log Z(X，t)＝Σₘ≥₁ ― ＝log ─── ；

m 1― t

因此

　　 1

　　 Z（X，t）＝ ── .

　　 1― t

作为第二个例子，设X＝ℙ¹.则 | X(𝔽ₚᵐ)|＝1＋pᵐ，故

tᵐ 1

log Z(X，t)＝Σ (1+pᵐ) ─ ＝log ───； m (1―t)(1―pt)

因此

1

　　Z(X，t)＝────

(1― t)(1― pt)

Weil 的奠基性的工作

40年代，Weil证明对于 𝔽ₚ 上亏格 g 的曲线 X，有：

p₁ (t)

　Z(X，1)＝──── p₁(t) ∈ ℤ [t]，(5a)

　　 (1―t)(1― pt)’

p₁(t)＝(1― α₁t)· · ·(1― α₂g t）其中|αᵢ|

1

＝p─. (5b)

2

　　特别地，这说明有

|X (𝔽ₚ)|＝1＋ p ― Σ²ᵍ ᵢ₌₁ αᵢ.

故

||X(𝔽ₚ)|― p ―1|＝| Σ²ᵍ ᵢ₌₁ αᵢ| ≤

　 1

2gp ─ .

2

　　Weil 关于这些结论的证明本质上用到曲线的 Jacobi 簇.对于 ℂ 上亏格 g 的曲线X，X (ℂ)即为亏格 g 的 Riemann 曲面，故 X (ℂ)上的全纯微分构成一个 g 维复向量空间 Ω¹(X)，并且同调群 H₁(X(ℂ)，ℤ) 是秩 2g 的自由ℤ―模. H₁(X(ℂ)，ℤ)的一个元素 γ 定义了 Ω¹ (X) 的对偶向量空间 Ω¹ (X)ᵛ 中的一个元素ω ↦ ∫ ᵧ ω.从 Abel 和 Jacobi 的时代就已经知道此映射将 H₁ (X(ℂ)，ℤ)实现为 Ω¹(X)ᵛ 中的一个格 ∧ ，故商J(X)＝Ω¹(X)ᵛ/∧是复环面 ― 选择 Ω¹ (X) 的一个基即可定义一个同构J(X) ≈ ℂᵍ/∧.J(X)的自同态是 Ω¹ (X)ᵛ 的将 ∧ 映为自身的线性自同态，由此知End (J(X))是有限生成 ℤ― 模.所以End (J(X))ℚ是一个有限秩的 ℚ 代数.X 的任何极化(polarization)定义 End (J(X))ℚ 的一个对合 (involntion)α↦α†，由于对任意非零 α 迹Tr(αα†)＞0.故其为正定.

复环面 J (X)是一个代数簇.40年代，在Weil研究这些问题的时候，尚不知如何定义不同于 ℂ 的域上的曲线的 Jacobi 簇.事实上，那个年代的代数几何基础尚不适合于这项工作，因此，为了使他对(5a，5b)证明能基于坚实的基础，他不得不首先重写代数几何的基础，然后在任意域上发展 Jacobi 簇的理论.

对于 𝔽ₚ 上的任意簇 X ，存在一个正则映射 π：X → X (称为Frobenius 映射)，其在点上的作用为 (α₀：. . . ：αₙ)一(αᵖ₀：. . .：αᵖₙ)，并且具有性质：πᵐ 在X(𝔽)上作用的不动点恰为 X (𝔽ₚᵐ) 中的元素. Weil证明了不动点公式，这使他得以证明，对于 𝔽ₚ 上的曲线 X，Z(X，t)＝P₁(t)/(1― t)(1― pt)，其中 P₁(t)等于 π 在 J (X) 上作用的特征多项式，并且他知道此多项式具有整系数.极化的选择定义了 End (J(X))ℚ 上的一个对合，Weil证明其为正定. 由此他能够推出不等式

1

|αᵢ|＜p─ .

2

　Weil 猜想的陈述

10

　Weil 关于曲线和其他簇的结果启发了下述猜想：对于 𝔽ₚ 上的 n 维非奇异射影簇X，有

P₁(t) · · · P₂ₙ₋₁(t)

Z(X，t)＝───────────，

P ᵢ(t) ∈ ℤ[t]， ↑ 6(a)

↑

(1 ― t)P₂(t) · · · P₂ₙ₋₂(t)(1― Pⁿ t)

Pᵢ(t)＝(1― αᵢ₁ t) · · · (1―αᵢbᵢ t) 这里|αᵢj|＝pⁱ/²； (6b)

进而，如果 X 来自于 ℚ 上的簇 X 的模 p约化，则 bᵢ (Pᵢ 的次数)应是复流形 X (ℂ)的Betti 数.

标准猜想(standard conjecture)和Weil 猜想

在 Grothendieck 定义他的 Étale 上同调群的时侯，他和合作者们证明了一个不动点定理，这使他们得以证明 Z(X，t)可表为形式(6a)，其中 Pᵢ 等于 Frobenius 映射 π 在 Hⁱₑₜ (X，ℚℓ)上作用的特征多项式.然而，尚不能断定多项式 Pᵢ 的系数在ℤ 中，而只能断定在 ℚℓ 中，并且不能排除其或许会依赖于 ℓ.

1968年，Grothendieck 提出了两个猜想，分别被称为 Lefschetz 标准猜想和Hodge 标准猜想，如果这些猜想能得以证实，则人们就可以通过用簇的母题理论替代曲线的 Jacobi 来将 Weil 关于曲线情形的Weil猜想的证明扩展到任意维的代数簇的情形.

　　上述的猜想 C 是 Lefschetz 标准猜想的弱形式，如上所知，此猜想连周知的猜想 D 将意味着存在一个好的母题理论，还将意味着 (6a) 式成立并且 Pᵢ (t) 是 π 作用在母题 hⁱ X 上的特征多项式，特别是、Pᵢ (t) 的系数在 ℚ 中，不依赖于ℓ ，简单的讨论进而会证明其系数在 ℤ 中.

Hodge 标准猜想是一个正面的断言，其意味着每个母题的自同态代数具有一个正定的对合，假如这是对的，则由Weil的讨论方法即能证明 (6b).

在特征零的情形，Hodge 标准猜想可用解析方法证明，但在非零特征的情形，仅对很少的簇知其成立.然而，其亦可由 Hodge 猜想和 Tate 猜想推得 [Mi].

Deligne[Del] 用了一个非常巧妙的办法成功地完成了 Weil 猜想的证明，但其证明不用标准猜想，因此，Grothendieck 的话 ([Gr] p.198)：

标准猜想的证明连同奇异消解问题[非零特征的情形]对我来说似乎是

代数几何中最紧迫的任务.

至今依然正确.

8 母题的 Zeta函数

ℚ 上的簇的 Zeta 函数

假设 X 是 ℚ 上非奇异射影簇.我们先将定义 X 的多项式去分母使其具有整系数，然后将这些方程模素数 p，即得 𝔽ₚ。上的一个射影膜 Xₚ.如果 Xₚ 仍然是非奇异的，则称 p 是“好的”，除有限个以外，所有的素数都是好的，我们定义 X 的 Zeta 函数为¹⁵

ς(X，s)＝∏ Z (X ᴘ₁ p⁻ˢ).

　　 好的p

例如，当 X＝ℙ⁰＝单点时，

1

ς(X，s)＝∏ₚ────── ，

　　 1―p⁻ˢ

＿＿＿＿＿　　

¹⁵还应该包含对应于“坏”素数和实数的因子.以下我将忽略有限多个因子. —原注

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