超宇宙计划（第二版本）篇章

注：超宇宙计划（1/2）篇章

摘要：超宇宙计划​是一种设置理论真理的新方法基于合理的原则并导致决议独立的许多问题来自ZFC。本文的目的是介绍这个程序，来说明它的数学性质内容和含义，并探讨其哲学假设。　

§1.引言。本文的目的是讨论和说明超宇宙计划（以及内部模型假说（IMH）和它的变体作为实现它的提议），一种由于第二个作者（见[7]），其灵感来自于寻找问题的解决方案已知独立于公理系统​ZFC。

近年来，不同的研究项目，出于独立性​的动机现象，已经在集合论​中被公式化了。大部分的舞台它们是由哥德尔​的新公理​程序设置的，在[9]中宣布当连续统假说​与ZFC的独立性只能（正确地）推测。[9] ，及其修订和扩展版本[10]，在关于集合论的基础。为捍卫那里表达的观点，Godei援引了对数学本质的哲学思考​、逻辑数学概念的分析以及纯粹的技术论证数学特征。类似的成分可以在大多数随后提出的克服独立性的建议取得了成果。

哥德尔的计划值得仔细研究。作为基本动机对于通过添加新的公理来扩展ZFC的程序，[9]中表达了这样的信念，即有可能给出最终的答案关于连续体​的基数问题，尽管它很可能独立于ZFC。这一信念显然基于柏拉图主义​的观点数学的，根据它建立理论概念和定理描述一些确定无疑的现实”，其中康托尔​的猜想一定是无论是真是假，以及它从今天已知的公理中的不可判定性，只能意味着这些公理不包含对的完整描述这一现实”，（[9]，第181页）。

当谈到讨论新公理的建议时，重点是在[9]中，新公理的候选者应该是合理的，显示与激励原则的一致性比候选人本人。集合的概念​是为了这个目的而提出的，其中认为集合是从整数（或一些其他定义良好​的对象）的迭代应用的”（[9]，第180页）。特别强调最大化的含义关于这个概念，大意是公理“进一步陈述的存在运算集的迭代，像“小”大基数假设，被视为新集合论公理​的完全合法候选者。[9] 然而，不排除的可能性是，超出的概念设定，可能还有其他动机成功地表明了合理扩展ZFC的策略。事实上，人们猜测“可能存在除了普通公理[…]集合的其他（迄今未知的）公理对其背后的概念有更深刻理解的理论逻辑和数学将使我们能够认识到这些概念”（[9]，第182页）。[10]中还提出集合系统的最大性质可以被设计成不是直接的由集合的概念提出，但可以作为一个合理的新公理集合论​（“[…]在某种意义上来自与此相反的公理[V=L]康托猜想​的否定也许可以推导出来。我在想一个公理的[…]将陈述系统的一些最大性质所有集合的[…]”，[10]，第478页）。

它是通过援引成功的标准来做出关于集合论公理候选者的真理[9] 用于将纯数学特性的考虑纳入关于新公理建议的讨论。公理的成功意味着在于其结果的丰富性，其“照亮整体”纪律”，及其产生的“解决给定问题的强大方法”（[9]，第183页）。数学结果（事实“在康托时代​是未知的”）是也被用来解释Cantor猜想的预测结果会证明是错误的。因此，[9]的寓意是在制定公理时作为集合论的候选者，一个人不仅致力于寻找一般激励原则证明了它们的合理性，但也必须考虑到已经存在并被接受的数学结果的语料库​，基于该语料库新的公理应该阐明，或者至少，不是不可调和的反驳我们在这里介绍的方法有许多共同的特点，尽管不是全部哥德尔的新公理程序。让我们简单地说明一下。超宇宙程序​试图阐明哪些一阶集合论陈述（超越ZFC及其含义）在V中被视为真，通过创建一个上下文，在这个上下文中，集合论宇宙的不同图片可以进行比较。这个上下文是超宇宙，定义为所有ZFC的可数传递模型。这些模型的比较让人想起原则（最大性原则和全知性原则​，我们将命名为两个其中的），提出了基于正当理由偏好某些集合相对于其他集合的普遍性。从优选普遍性的标准出发，一个应用的原则是，一阶陈述​适用于所有优选的宇宙（希望包括独立问题的解决方案）也适用于V（一个部分基于向下的LöwenheimSkolem定理的假设），并将这些陈述作为集合论的新公理。

简而言之，这就是超宇宙计划，人们可以清楚地看到它与哥德尔计划​的基本目标相同，即通过新的扩展ZFC从更深刻的基本认识看集合论公理事实上，在超宇宙计划中，人们制定了首选宇宙的原则和标准是由逻辑数学提出的分析的超宇宙。

此外，哥德尔建议考虑“最大属性属于的系统，这个程序解决了扩展ZFC的“所有集合”问题 这是一个很好的原则，启发了首选宇宙的标准。此外在哥德尔的计划和超宇宙计划中，人们都试图找到以一种可以被视为终极的方式解决独立问题并且不可修改，因此在V中可以被视为决定性的或真实的所有集合的宇宙。

然而，必须明确指出的是，在形成超宇宙的过程中程序，柏拉图主义在任何地方都没有被调用，无论是关于V还是超宇宙。相反，它的一些特征很明显表达了反柏拉图主义的态度，这使得该节目与哥德尔的截然不同。在超宇宙计划在论证寻求独立问题解决方案的合法性。相反，人们认为尽管在集合论中得到了大量的独立性结果，没有反对寻找问题最终答案的先验依据比如CH。这将举证责任​转移到那些声称存在的人身上。

此外，在制定超宇宙计划时，“V中为真”这一表述并不用于反映事物的本体状态，关于作为存在的现实的所有集合的宇宙可以独立于集合论实践。相反“V中为true”是指作为一个只传达关于集合论者的认识态度的信息的谈判法，作为对某些陈述所具有的地位的描述，或者预计将在理论家的眼中出现。句子“V中的true”是指是集合论者认为或应该认为是决定性的句子，即最终的和不可修改的。在超宇宙计划中有两种的语句符合此状态。第一种是集合论的陈述，由于它们在集合论实践中的作用，更普遍地说，数学不应与任何进一步的矛盾集合论陈述的候选者作为终极和不可修改。让我们称这些声明为“事实上的”“集合论”真相。

ZFC的公理和ZFC+大基数公理​的一致性是这些真理的例子。但第二，在超宇宙计划中，除了不矛盾之外，人们愿意认为V中的陈述是正确的事实集理论真理，服从真理明确成立的一个条件在开始时让我们称之为“法律上的”集合论真理。条件它们遵循的是，它们是在所有优选的宇宙中都适用的句子超宇宙。反过来，后者并不意味着独立的，明确的现实，但作为一个数学结构​，产生于随着集合论和程序的发展。因此，在超宇宙程序，柏拉图主义既不涉及V也不涉及关于超宇宙。事实上，正如该程序所预期的那样，制定法律上的集合论真理是一个自主调节的过程。

在参与时没有施加“外部”约束，例如已经一个人必须忠实于的现有现实。相反，在搜索de时法律上的理论真理人们只期望遵循正当的程序。一开始就不能排除在某个时候会出现修改所采用的程序，以便将其与其他程序平等地结合起来合理的程序。

简而言之，制定法律上的集合论真理，这是超宇宙计划，可以被理解为非柏拉图主义数学家​的积极回应，他认为在《V》中寻找超越事实集理论真理的新真理。这形成了鲜明对比对这样的搜索有任何形式的怀疑，动机是认为这样的搜索是无望的假设，或者可能是出于信心基于柏拉图主义，无论V的特征是什么，是的，它们将以某种方式表现出来，而不需要我们自己的任何努力。

等效地，人们可以将超宇宙计划描述为一个动态的建立理论真理的方法，不受外部约束（尽管内部监管），与任何静态的柏拉图主义观点相反，即真理关于集被限制在一个固定的状态，一个必须是“忠实”。

超宇宙计划的倡导者对现有集合论发展的立场既复杂又令人惊讶。当然后者明确地进入该计划，只要其目标是获得优选的宇宙，而不是符合某些标准与现有的事实上的集合论真理相矛盾，是成功的决定独立问题。此外，建立优选宇宙的存在是由中的现有发展提供的集合论或受扩展程序​启发的新发展现有发展。然而，超宇宙计划明确呼吁集合论的发展还有另一个原因，尽管在消极的方式。当宣布打算延长ZFC以解决问题时独立的问题，也要求尽可能公正关于这些问题应该如何解决以及哪些原则以及人们应该制定的首选宇宙的标准。特别是不能一开始就选择后者以便于解决问题独立于ZFC，或用于满足某些特定领域的需求，现有的集合论实践。具体的数学假设也不应该在制定此类原则和标准时被援引（例如，大型基数​或强制公理）。无基数背后的理由是双重的。关于一方面，人们希望对什么集合理论​尽可能谨慎ZFC之外的发展属于事实集合论​的范畴真相，支持这种态度意味着公正对待不同的事实，集合论界对此提出了看法。对超宇宙的分析，只关注它的最一般性功能。因此，所选择的原则和得出的标准预计他们将在了解集合论最基本方面的唯一基础。

令人惊讶的是，尽管没有偏见，超宇宙程序的结果强烈影响了我们对语料库的理解已有的集合论发展。情况就是这样，例如，如果采用[7]中提出的内部模型假设（IMH）作为标准对于首选的宇宙，提供一个合适的描述，说明它的意义ZFC的可数传递模型是最大的（固定序数）。

这个假设解决了许多独立于ZFC的问题，但也有修正性质对有时的含义，集合论界毫无疑问地假设：尽管IMH与非常大的基数的内部一致性兼容（即，它们内部模型中的存在），这与它们在宇宙F中的存在相矛盾整体这可能被认为是破坏性的，相反地提供了证据而不是支持假设。然而，如果认真对待它，人们可能会得出一个意想不到的结论，即IMH并不矛盾毕竟集合论的实践，因为它是大基数的存在在内部模型中，而不是在V中，它已经获得了终极的地位，集合论中不可取的假设，一个我们不被约束的假设在提出新的公理时自相矛盾。换句话说，人们认识到大基数的内部一致性，与它们的实际存在相反在宇宙中​，作为事实上的集合论真理。反常现象关于投影确定性（PD）：IMH与PD相矛盾，但与序数可定义的实数集的确定性一致真实参数。因此，IMH违反了一致性原则断言自然投影语句相对于实参数，以及人们认识到没有实参数的有序可定义确定性，如对PD提出质疑，作为事实上的既定理论真理。这种关于IMH对现有集合论发展的影响的讨论也适用于其他超宇宙计划中出现的首选宇宙的标准。

本文的计划如下。在第2节中，我们描述了超宇宙，并考虑了它与V的关系。在第3节中基于最大性和全知性原则的首选宇宙。

超宇宙计划的当前状态总结在第4节中，而最后一个附录则致力于更广泛地讨论最大性，以及大基数和投影确定性在集合论实践。

§2.超宇宙。在当代集合论中，许多方法是可用于创建新的宇宙，即ZFC的模型，从给定的：集合强制、类强制、超类强制（即条件为类的强制），7和模型理论​技术。因此集合论者可以获得许多不同的宇宙​。这种丰富的ZFC模型最近导致了多元宇宙​的引入作为一个新的集合论概念，以及关于是否多元宇宙可能代表了解决问题的正确起点关于集合论中的真理。取决于人们对哪种ZFC的看法模型应该进入其中，多元宇宙的图片截然不同在文献中提出。也表达了不同的观点关于多元宇宙​如何作为发音的适当框架，关于集合论真理的问题。在本节中，我们将回顾现有的关于多元宇宙的替代方案，并介绍超宇宙作为多元宇宙概念的最佳实现。

Woodin和第二作者都使用了“多元宇宙”一词从ZFC的一个或多个初始模型获得的宇宙集合通过一些操纵它们的方法。特别是，在[23]中，Woodin开始来自ZFC的可数传递模型M，并围绕多元宇宙。M是通过关闭集合下的泛型扩展生成的集合并设置通用的地面模型（这就是Woodin所说的（set-）通用由M产生的多元宇宙）。Woodin也认为V使得（集合）通用多元宇宙可以从中生成。为此，我们将（集合）泛型扩展视为布尔值模型​，即具有形式VM，其中B是完全布尔代数​。与此相反Woodin事实上将这些概念视为“通用扩展”“集泛型扩展”作为同义词​，是第二作者的早期作品。本文的引入导致了围绕L的类通用多元宇宙，通过在类强制和类通用地面模型下闭合L获得，以及类泛型的内部模型扩展不是必要地，它们本身是类泛型的（参见[5]）。集合通用多元宇宙和类属多元宇宙大不相同：前者保留了大基数概念，不会导致超越集合强制，而后者可以破坏大基数，并导致无法通过类直接获得的模型强迫。哈姆金斯最近也提出了多元宇宙的观点，显然与Woodin和第二作者都脱离了关系。什么在[1]被称为多元宇宙，事实上，它不是ZFC模型的集合，可以通过在指定的条件下闭合从初始宇宙生成程序。相反，多元宇宙被描述为由迄今为止已经构建的所有集合论宇宙组成的群体，并且可能未来生产，可能包括基础不健全的模型和ZFC以外的系统模型​。结果是一个异构的开放式，其中不能给出整体统一的描述。

集合论者之间也没有就是否以及如何多元宇宙应被视为确定以下问题的背景真相Hamkins提出的异构开放多元宇宙。

例如，伴随着放弃“梦想”的双重邀请CH的解决方案模板”，根据该模板CH的真值必须由集合论的一些新公理决定，并且考虑。

因此，CH是否持有已经明确解决的问题，我们对不同真理价值观的了解多元宇宙的宇宙。在[23]中，相反，集合通用多元宇宙是引入是为了仔细检查集合的通用多元宇宙概念真相根据后者，用集合语言表述的句子。如果它在V产生的多元宇宙中绝对成立，即如果它在属于多元宇宙的每个宇宙中都存在。如果有人采用设定通用的多元宇宙真理概念，应该声明一个句子像CH一样缺乏真理价值。然而，这并不是Woodin的结论。事实上他认为普遍的多元宇宙真理观是站不住脚的，因为这违反了他认为对任何概念都至关重要的原则集合论宇宙的真理（见[23]）。

然而，请注意，尽管Woodin和Hamkins对多元宇宙的数学理解不同，而且他们在句子的地位独立于ZFC，在这一点上他们的观点多元宇宙的相似性比一开始可能出现的更大。在考虑是否可以通过调用多元宇宙引入一个合适的概念时对于集合论句子的真理，Woodin和Hamkins都默认地开始了，从一个人应该将多元宇宙视为终极的假设无法超越的多个ZFC模型，即简化为更基本的模型。因此，他们都被引导到候选人面前对于一个高度不完备的集合论真值概念，允许集合论的句子不为真也不为假。这一假设，共享Woodin和Hamkins的，值得强调的是，它显然被超宇宙计划（见下文Desideratum 2），我们现在介绍作为利用多元宇宙建立理论真理的独特途径概念。

超宇宙计划可以被理解为试图达到从多元宇宙的图景看新的法律集合论真理忠实地总结了当代集合论中可获得的大量结果。其中一个关注的是ZFC的有根据的模型，当使用这种方法就等于表达了双重信念ZFC的公理是事实上的集合论真理，并且它只是这一理论的有根据的模型提供了关于既定宇宙的合理图片。因此，超宇宙计划一开始就断言多元宇宙应该满足一个最大性和一个明确的标准只有ZFC的所有可数传递模型的集合才能满足。

更准确地说：

Desiderata1. 多元宇宙应该尽可能丰富，但它应该不是定义不清或开放的多重性。

在说明这一点时，有两个目的。首先，一个人的动机是创造当代存在的有根据的宇宙的方法，集合论远远超越了集合强迫或类强迫（因此多元宇宙应包括多于集合或类的通用扩展和基础模型）。自超宇宙以来，所有可数传递模型的集合ZFC的，在所有可能的宇宙创造方法下都是封闭的，一个被引导到用它来识别多元宇宙。第二，在 Desiderata1中要求多元宇宙被赋予一个精确的数学公式​，使人们能够把它付诸实践，目的是丰富集合论真理的范畴。这是在超宇宙计划中通过制定合理的偏好来完成的，对于超宇宙的某些成员来说，超过了其他成员，从而获得了优选宇宙的选择。多元宇宙是明确定义是该选择过程成为可能的必要条件，如果多元宇宙定义不清或开放式，情况就不会如此。

Desiderata2. 超宇宙不是终极的多元性。一个可以根据基于的标准表达对其某些成员的偏好合理的原则。

超宇宙计划中的另一个关键点是，在超宇宙的首选宇宙中成立的一阶性质是成立的在V。

Desiderata3. V的任何一阶性质都反映为可数ZFC的传递模型，它是超宇宙的一个优选成员。

Desiderata3的一个重要后果是，尽管标准对于超宇宙计划中制定的首选宇宙是非一阶的（实际上是我们将在第3节中介绍的标准不是——它们量化了整个超宇宙），尽管如此超宇宙程序一得出集合论的一阶公理，这些是首选宇宙共享的一阶真理。

在证明Desiderata3的合理性时，可以援引向下的LöwenheimSkolem定理，然而，它本身只意味着必须存在V一阶反射到的超宇宙的成员。这些可以被选为超宇宙的首选元素是一种假设这在超宇宙计划中是临时的，因为它认为表达了扩大集合论范畴的合理程序真相在超宇宙计划中没有必要表明策略是获得集合论新真理的正确策略。事实上没有该计划的基础是柏拉图主义假设，没有对V的观点做出承诺作为一个独立于数学实践而存在的确定的现实在推广集合论知识时应忠实于此。

因此，在超宇宙计划中，没有先验的​区别在正确与错误之间寻找新集合论的策略真相。相反，我们的目标是制定和证明寻找新事物的程序设定一个人希望视为最终和决定性的理论陈述。

建议程序的合理性是，声称所达成的陈述应在第五节中被视为真实。

Desiderata 2和3相当于一个寻找策略的建议新的集合论真理（一个完整形式的提案，必须包括超宇宙优选元素的明确标准；我们认为在第3节中）。如何论证这种策略的合理性？

考虑一下超宇宙计划的目标。一个人希望掌握人们所面对的V的各种不同的图片，当代集合论，它忠实地被超宇宙所代表。由于向下的Löwenheim-Skolem定理，成员。超宇宙的是传递一阶信息的候选者关于V.面临着令人困惑的各种选择。这是我们不仅在当代集合论中所熟悉的情况。

在这种情况下，我们自然会采取以下行为：

分析可能性是什么，从中选择那些在合理的标准下看起来比其他人更好的可能性（因此可以先验地享有特权理由），并作出有利于这些的决定。这正是一个人在超宇宙计划。在寻找V的新真理的过程中，我们从超宇宙，它最忠实地反映了集合论宇宙。因为一个人不满足于超宇宙终极的、不可超越的语境，一个人被引导到由desiderata 2和3，这相当于挑选出超宇宙中具有最佳元数学​性质的成员（即那些遵守首选宇宙的标准），以便做出有利于它们的决定以丰富第五章真理的境界。的战略。

因此，从其目标来看，超宇宙计划是完全合理的。让我们强调，不能保证我们。下面的列表将引出新的公理，它们都能解决独立的问题并且与事实上的集合论真理相容。也就是说，跟随他们一开始就不确定自己能否成功地扩大这个领域V中的真理超越了已经被公认为权威的句子在集合论中。这是标准的公正性的结果正在使用的首选宇宙。然而，事实证明，通过选择根据我们提出的标准，一个宇宙确实得到了解独立的问题，而不与现有的明确真理相冲突集合论。这种事实上的发生可能被援引为相关的关于合理性的后验论证（来自成功的论证）超宇宙计划提出的策略。

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