STEEL计划：证据框架 核心与终极-L

注：本章，共分为（1/2）章节。

摘要：我们处理斯蒂尔的计划，以确定集合论和通过使用他的多元宇宙公理MV和“核心假设”来扩展ZFC的最佳公理。在第一部分中，我们考察了MV的证据框架，特别是大型通过强制“表示”ZFC的替代扩展而获得的基数和“世界”。在第二部分中，我们讨论了MVT核心的存在及其可能的特征（其中T是ZFC+大基数）。在最后一部分，我们讨论了核心是Ultimate-L，并根据这一事实，研究核心大学学者是否以及如何证明V=作为ZFC的最佳（和最终）扩展的终极-L。为此，我们考虑几种策略，并根据MV的证据框架评估其前景。

§1.引言。

1.1.Steel的计划。在[25]中，John Steel提出了集合论的一个版本。多元宇宙由“世界”（V及其基础的集合一般扩展）和MV的公理集合，并提出了这样一个多元宇宙的假设可能包含一个核心，也就是说，一个包含在所有其他世界中的世界，它将充当“首选宇宙”，即“真正的V”。在钢铁出现几年后[25]，在集合论地质学研究的背景下， Usuba（在[28]中）证明了这一点。如果存在一个可扩展基数，那么V有一个最小的基，并且最小的基底是V本身的κ-地幔，其中κ是最不可扩展的基数。Usuba结果的一个显著结果是MVT理论的多元宇宙，其中T=ZFC+“存在一个适当的可扩展基数类”具有核。现在考虑到MV的预设，特别是它依赖于大基数（LC），研究多元宇宙的特征是完全有意义的MVT，特别是其核心的特点。

Steel（斯蒂尔）的“核心假说”也与最近出现的另一种假说有关，基本的集合论假设，即Woodin的“终极-L猜想”内部模型程序逐步揭示了“规范”内部的存在ZFC+LC模型；Woodin的Ultimate-L猜想断言ZFC+LC证明了基数为超紧集的aweak扩张模型的存在性也满足V=极限-L。反过来，斯蒂尔提出了极限-L的假设可能是作为MV核心的最“合适”的候选者。

现在，给定MVT，其中，T=ZFC+存在一个适当的可扩展类大基数的STEEL计划，我们称之为STEEL计划，可以制定如下：

STEEL计划。使用有关MVT核心的事实作为以下内容的证据

权利要求：

1.V是核心。

2.核心是Ultimate-L。

3.ZFC+LCs+V=Ultimate-L比任何其他理论都有更好的主张作为ZFC.6的最佳（最终）扩展。

正如我们稍后将更详细地看到的STEEL计划关键取决于LMV和多元宇宙之间的关系语言和L∈，集合论的语言，用“翻译函数”表示，这反过来表明LMV是L∈。因此，MV多元宇宙核心的存在与集合论有关“标准地”解释为V的理论，因此，斯蒂尔的计划是完全有意义的。从更广泛的哲学角度来看，这两种“语言”之间的互动可能是被解释为一种为集合论者提供应对以下问题的策略的方式。

问题：

问题1.1。是否存在集合的“首选”宇宙？

显然，如果该方案取得成功，那么对这个问题的回答是正确的，这一事实将对我们对集合的理解产生相当大的影响理论，尤其是其基础。

本文的主要目的是对方案，侧重于三个主要主题：（1）其“证据框架”：

特别是，在MV公理中，使用LC和强制V作为“世界”的扩展，设置（第2节）；

（2） 核心：其存在所需的假设及其水平MV的确定性（第3节和第4节）；

和（3）Ultimate-L是核心，也是这一主张的理由（第5节）。

但首先，我们想非常简要地介绍一下可以讨论斯蒂尔计划的哲学背景。

1.2两种普世主义。

MV定位于当前的宇宙/多元宇宙辩论，因此，在关于多元主义的辩论中，也就是关于是否

数学真理分成许多相互矛盾的真理，通常被认为与“本体论”多元主义相对应，也就是说，与以下观点相对应：

（【本体论】）多元主义。集合论有许多可供选择的宇宙（集合论多元宇宙）。但请注意，一些多元主义者只会致力于语义多元主义，也就是说，所有集合论陈述的真值都是不可判定的，其来自ZFC的公理是不确定的（既不是真的也不是假的）。相反的阵营是

代表人：

（【本体论】）非多元主义。集合论只有一个宇宙，在下文中，我们主要将上述立场称为：

经典大学主义。集合论是一个单一宇宙V的理论，其特征是被ZFC公理（以及潜在的扩展ZFC的其他公理）所束缚。

斯蒂尔本人介绍并思考了几篇性质和强度不同的论文，关于集合论本体论和真理论。假设的哲学命题MV多元宇宙核心的存在就是斯蒂尔所说的弱绝对主义：

软弱的绝对主义。多元宇宙有一个核心。对于我们的目的至关重要的是，弱绝对主义很自然地会导致以下结果

更强的视角：

核心大学主义。集合论是多个（集合论）宇宙的理论 是一个多元宇宙，它也包含一个核心宇宙。这样的宇宙有更好的，声称自己比任何其他宇宙都被视为“集合的终极宇宙”。

我们认为这一立场是有道理的，特别是考虑到钢铁公司的计划，只要MV多元宇宙的核心存在，那么声称V是这种多元宇宙的核心。

快速陈述经典大学主义和核心大学主义之间的主要区别：

经典大学主义可能被标准地描述为相信我们集合的直觉，或集合的概念本身，将为我们提供一种独特的、一致的ZFC公理的扩展，它将唯一地固定不可判定的真值声明相比之下，核心大学主义可以被描述为认为所有可供选择的“宇宙”都是同样合法的；然而，这样一个世界大学主义也会认为每个宇宙（或者，如果你愿意的话，理论）都包含单个的“痕迹”，“首选”宇宙，该位置的大部分价值在于表明这种说法是正确的，也就是说，核心宇宙在多元宇宙中是可以探测到的。

当然，核心大学主义也希望能够描述核心以令人满意的方式。为了减少集合论的不完全性，古典大学主义将建议进一步探索我们对集合的直觉，或锐化集合的概念，而核心大学主义将建议进一步探索核心的性质通过多元宇宙公理。

现在，很明显，钢铁计划倡导核心大学主义的观点，因此，它对核心相对于经典的偏好有着深刻的影响。

大学主义：如前所述，该计划如果成功，将为核心大学主义。事实上，核心大学生对该计划目标的理解

其结果可以概括为：集合论本体论的非多元主义，不可能是正确的，因为我们意识到存在许多替代宇宙（如以及扩展ZFC的替代理论）。但是，如果多元宇宙，一个基于当前集合论实践的重要部分（基于在下一节中讨论的“证据框架”），我们可以确定一个“首选”多元宇宙中的宇宙。但是，为了我们所有的基本目的宇宙可能被视为我们理论前期概念的充分例证，关于“单一宇宙”，也许并不完全是经典大运会的宇宙，事实上，是一个更大的宇宙“务实”但同样合理的说法，Usuba的结果已经证明了弱势绝对主义者的立场：如果

则MV具有核心。然而，是否以及在什么情况下：

　　

从意义上讲，核心可以被视为集合的“终极”（“参考”）宇宙，正如所声称的那样，由核心大学主义，即相当于经典大学主义的V，仍然，正如我们将在下一节中看到的那样。

§2.MV的证据框架。在[25]的序言中，Steel介绍了并主张一些独特的立场，他认为这是主要的动机，他的多元宇宙概念及其潜在的概念框架，通过MV公理。我们总结如下：

1.大基数“实际上”是扩展ZFC所必需的，主要是作为以下两种现象的后果：

（a） LC“校准”ZFC扩展的一致性不可判定集合论陈述；

（b） 就一致性等级而言，LCs最大限度地提高了解释力，大基数公理（LCA）的强度与ZFC扩展的证明论强度的层次结构。

2.集合论应该从根本上被看作是强迫扩张的理论以及理论模型的内部模型：ZFC+LCAs。这个位置反过来，基于这样一个事实，即独立性证明实际上是在ZFC+LCA的（碎片）模型理论，最关键的是Steel的目的，也基于这样一个事实，即所有扩展ZFC的“自然”理论都可能是通过使用带有LC的模型相互连接。

3.目前实践和解释的集合论分为几个“自然”理论，所有这些都扩展了ZFC。采用集合论的部分理由，因此，作为数学的基础，包括描述所有这些理论以及通过利用LC和包含它们的模型。

4.为了描述所有这些理论，应该使用强迫。倒可以肯定的是，通过强制获得的模型已经成为产生了一系列支持或违反集合论原则的集合论“宇宙”，特别是通过强迫获得的模型用于证明理论与LC的等一致性。所以，在实践中，强迫宇宙的延伸应该被视为代表不同的宇宙（斯蒂尔的世界）。

在接下来的小节中，我们希望详细讨论，并通过这一点，为MV公理。

2.1.自然理论、大基数和世界。如要点（3.）所述，斯蒂尔多元宇宙概念的目的之一正是“代表”所有在统一公理框架内扩展ZFC的“自然”理论，没有明确而直接地与“宇宙”打交道。

然而，为了证明公理在语义上不是空洞的，其必须是固定其解释的对象，而这样的对象一方面是，布景和另一个世界。但请注意MV中世界的特殊用途：后者被介绍和描述，以解释不同理论的可代表性。

至关重要的是，证明论和模型论事实都促进了这一策略关于LC，特别是通过以下推测：

推测2.1。ZFC的任何“自然”扩展要么与ZFC等一致，要么与ZFC+A等一致，其中A是LCA。此外，ZFC的“自然”扩展是有序的。

猜想2.1的主要结果是，由于所有理论ZFC+LCA都考虑了。

到目前为止，它们是按照一致性强度的有序尺度排列的，然后也是所有自然理论是。因此，将所有自然理论联系在一起的“无形之网”是，最后，通过所有LCA之间的证明理论联系，使其变得清晰明了。

下一步是利用这样一个事实，即使用LC，可以构建模型，特别是满足任何自然理论的集合强制扩展和内部模型。

因此，利用这一事实和猜想2.1，Steel能够完全公式化主导他的“多元宇宙”的主要元理论约束（要点（2.））：

元理论约束。MV的世界只是ZFC+LCA的那些模型需要结合所有扩展ZFC的自然理论。

最后，由于内部模型很可能是在强制扩展内部定义的，只需要描述世界的特征就是LC和强迫：MV公理反映了这种状态事务，通过量化使用LC的超集强制扩展（及其理由）。

我们稍后会处理MV的模型，但首先，我们希望表达几个对Steel使用和主要依赖LC以及概念的担忧“自然”。

第一个不等式指的是猜想2.1，ZFC的所有“自然”扩展都是与ZFC或某些LCA等一致。虽然没有证据表明到目前为止，这个猜想还远远没有解决。

事实上，我们缺乏“大基数”的一般定义。现在，它肯定会将概念的不明确性计入钢铁公司的项目是不公平的；然而没有最终证据表明任何无法确定的陈述与LCA相等是一个事实，这让人们对猜想第二个可能更为恶性的问题是，“自然理论”的概念不清楚。斯蒂尔一开始就告诉我们如果它与ZFC一致，断言关于集合的一些“事实”，并且不是元数学或证明论性质的，但这真的不多。

此外，MV的“自然度”范围从一开始就过于严格，因为它离开了提出了ZF+AD等理论，这些理论无疑表达了深层次的理论事实。

作为一种解释性的选择，可以定义一个集合论陈述“自然”，如果ZFC加上一些LCA证明在V的强制扩展中，或强制扩展的ZFC的一些可定义（允许设定参数）内部模型的V（包括可定义的，具有设置参数的，类强制扩展，保留ZFC）。通过这种解释，所有ZFC公理以及所有LCA都是自然的，因此是CH，V=L，V=HOD，SCH，以及它们的否定（事实上，所有已知与ZFC一致的真正的命题陈述，并断言关于套）。此外，在这种情况下，即使是与Choice相矛盾的理论，如ZF+AD，也会在现在被视为“自然”，因为它们也与ZFC+LCAs等一致。

这种解释似乎符合Steel的目标，但可以肯定的是，“与ZFC的一致性”或者ZFC+LCA似乎与常识、直觉不太一致“自然”的含义。此外，人们可以很容易地扭转这种做法。

这是一个自然的理论，如果它可以用ZF+LCA的模型来表达，这也允许更强大的LCs的存在，如Reinhardt和Berkeley Cardinals，以及ZF+LSA车型中的Choice“融合”理论。

2.2.作为最大性原则的大基数。钢铁公司对低碳钢的偏好也是受另一个原则的激励，他称之为“最大化解释力”，可以被看作由两部分组成：

最大化解释能力[MIP]。（A.）MV公理应该能够“表示”尽可能多的理论（“ZFC的自然扩展”）；（B.）所有MV公理所代表的理论应该是这样的，对于其中的任何两个，T和S、 如果Con（T）→ Con（S），则ΓS⊆ΓT（其中，给定一个理论T，ΓT={φ：Tφ}）。

LCA是MIP的典型案例研究。就（A.）而言我们已经看到，每一个“自然”理论都是在一个强迫扩展中实现的，或者另一个“自然”理论S的内部模型，前提是T和S是等一致的LCA；关于（B.），我们知道自然理论随着它们的一致性强度而成比例地上升。因此最终，

期望：

（*）随着自然理论在大的基本层次上的一致性不断上升，他们在不断增加的数学陈述中达成了一致。

以下是一些观察结果。第一个关于（B.）的问题是，到目前为止，MIP已经证明LCA仅部分满足，也就是说，对于特定类型的L中的句子´，算术句子的层次结构。以下是最多的，人们可以希望到目前为止证明：

经验事实。对于一致性强度为的任意两个自然理论T，S至少是理论上的：ZFC+“存在无限多个Woodin基数”，这样Con（T）→ Con（S），我们有1.）S⊆1.）T（其中，给定一个理论T1.）T是π的集合1.在T中可证明的句子）。

因此，MIP对LCA的适用性仅在二阶算术的水平。

第二个观察结果如下。Steel的目的是代表多种理论，所有这些都扩展了ZFC+LC，我们想知道MIP真的符合这个目标。因为假设（B.）适用于L´evy层次；那么，很明显，（A.）针对的所有理论，都不会代表，但出于所有实际目的，他们宁愿合并为一种理论。26摆脱这种困难的一种方法是认为（A.）受到制裁（B.）目前适用范围有限，但这无助于完全缓解（A.）和（B.）之间的张力。

最后，尽管这是非常推测性的，但LC的层次结构与Choice相矛盾，在实例化MIP方面可能比实例化LC的层次结构更成功选择，但是，正如我们所看到的，这些理论都不属于目标

通过MV。

2.3.MV的模型。MV的一个主要资产是该理论与关于MG的一类特定车型，我们稍后将处理，即，

其中之一是：

MVφ↔ （∀MG）MG |=φ。

我们不会深入探究为什么我们更喜欢多元宇宙的完全公理化，而不是非公理化，因为这项任务已经完成了，其令人满意。在本小节中，我们更愿意关注MV，尤其是其“天然”车型MG，并揭示了一个略有不同的数学方法（命题2.2）。

我们从很快回顾公理开始。MV语言是集合论的一阶语言，有集合论和世界论两种。我们介绍了对斯蒂尔最初的公理公式做了一个小调整。我们已经知道，MV有ZFC加LC的公理作为其自身的基础（我们将主要指基础理论为T）。现在，让一个T-理论是一个扩展ZFC的理论，它由设置强制扩展，并通过设置强制基：事实证明，任何理论ZFC+形式的“存在一类适当的LC”是一个T-理论。然后T（MVT）的MV公理，我们将在整个过程中主要参考和使用。

论文如下：

1.（世界的外延性）如果两个世界有相同的集合，那么它们是相同的。

2.每个世界都是T的模型。

3.每个世界都是一个可传递的固有类。对象是一个集，当且仅当它属于去某个世界。所有的世界都有相同的序数。

4.如果W是一个世界，P∈W是偏序集，则存在形式为W[G]的世界，其中G是W上的P-泛型。

5.如果U是一个世界，并且U＝W[G]，其中G是W上的P-泛型，那么W也是世界。

6.（合并）如果U和W是世界，则存在偏序集P∈U和Q∈W，并且集合G和H分别在U和W上是P-一般的和Q-一般的，使得U[G]＝W[H]。

如果M是T的可数模型，并且G是M上的Coll（，＜Ord）M-泛型，则设MG是其集合是M[G]中的集合的模型（在M不成立的情况下，则M[G]被相应地定义），并且其世界是形式模型的基础M[Gα]，对于一些α∈Ord M。可以很容易地表明MG是MVT的模型，

当T＝ZFC时。

此外，如果T是通过添加到ZFC公理而获得的，例如是P-基数的一个适当类，其中P代表任何通常的大基数，则也可以证明MG是MVT的一个模型。

所有模型的集合MG提供了一个完整的语义

正如Maddy和梅多斯[21，第134页]，《合并》。但是，正如作者强调的那样。

事实上，在任何MG形式的模型中，并不是M中偏序集的所有通用滤波器可以考虑产生强制扩展，根据第2.1节的元理论约束，作为MV的“世界”，但仅限于由Coll（，Ord M）-通用滤波器G在M上产生。

我们现在着手证明以下内容：

2.2号提案。MVT公理暗示多元宇宙是其每个世界的同构类强制扩展。

证据由于MG模型为MVT提供了完整的语义，我们可以假设MVT的每个模型都是这种形式。现在，在上面的MG模型中工作，让W成为一个世界。因此W是形式为M[Gα]的模型的基，对于一些α∈Ord M。

设P∈W是一个偏序集，使得对于W上的某个H0P-泛型，W[H0]=M[Gα] 设κ≥α是不可数的W[H0]-基数，使得P的基数，如在W中计算的，小于κ。设H1为Coll（，＜κ+1）/Gα-泛型上使得M[Gα][H1]=M[Gκ+1]。因此，W[H0][H1]=M[Gκ+1]是由基数κ的偏序集对W的一般扩展，该偏序集将κ折叠为，因此通过Kripke定理[13，引理26.7]等价于Coll（，κ）。由于Coll（，κ）是同质的，命题随之而来。

MVT公理的以下直接结果断言

集合强制一个世界的泛型扩展也是一个世界。

2.3号提案。MVT公理表明，如果W是一个世界，G是P-泛型对于某个偏序集P∈W，则W[G]也是一个世界。

证据假设W是一个世界，G在W上是P-一般的，对于某个偏序集P∈W。

利用公理3，设W是一个G∈W的世界。通过合并（Axiom6），设W是这样一个世界，使得W和W都是W的基。作为W⊆W[G]\8838W，W的强制延伸W[G]也是W的地。

因此，由于世界的每一个地面也是一个世界（Axiom 5），因此W[G]是一个世界，如

受编辑的

2.4.MG及其翻译功能。如第1.1节所述概念建立在一个关键的事实上，即MV的语言，LMV，可以被视为L∈。为了说明这一点，Steel定义了一个递归转换函数t从LMV到L∈，使得：MVT当且仅当T（ξ），（Transl）

如前所述，其中T是ZFC+LC。翻译功能可能会呈现得更多根据MV的语义透明地如下：

定理2.4（平移函数）。对于LMV的任何句子，每个可数模型ZFC的M和M上的每个G Coll（，＜Ord M）-泛型

MG |=iff

M|=t（ξ）。

（Transl）

应该注意的是，在MV的特定语义存在的情况下t（ξ）断言“在从我那里获得的所有多元宇宙中，Γ都是真的”。31等价地，“Γ是真的从我那里得到的多元宇宙。现在，如前所述（第2.3节），合并是需要证明模型MG为MVT提供了完整的语义。

§3.MV的核心。在本节中，我们将一方面展示“核心假设”出现在MV公理的背景下，特别是它是如何产生的数学证明；这将帮助我们回答以下问题：

问题3.1。核心在什么情况下可以定义，如何定义？

另一方面，我们将展示为什么Usuba的结果（定理3.5）暗示MVT，其中T=ZFC+“存在一类适当的可扩展基数”，证明了存在一个核心宇宙。

然而，在继续审查所有这些结果之前，我们解决了“核心在ZFC的背景下的“假设”，并回顾相关的集合论地质学对假设有意义的概念和定理，有助于在第4节中介绍我们自己的结果。

3.1.前奏曲：ZFC的（外）核心。由Reitz和Hamkins发起。

多年前，集合论地质学提出了一种非常创新的方法

下面是对其基本概念。

取V为ZFC公理的一个模型。假设V是强制扩展地面模型W，即存在W通用滤波器G⊆P∈W使得V＝W[G]。如果是这样的话，那么探索是有意义的

V的“地质学”，即场地的集合，场地的一般扩展以及它们的地，等等，V可能包含的，其中模型M的地是ZFC的一个模型N，使得M是通过对N的强迫得到的，也就是说扩展M=N[G]，其中G是偏序P∈N的一般滤波器。

然后，“地质学”的概念就会出现，具体如下。

地幔M是ZFC模型M的所有基态的交集基岩为W类，是V的最小地面。根据Usuba[27]的结果，地幔是ZFC的一个模型。自Reitz[23]以来，以下公理已被证明是中心公理所有地质调查：

Axiom 3.2（接地Axiom（GA））。V没有合适的接地。

现在，如果地幔本身满足GA，那么地幔就是基岩，特别是所有其他地基中包含的最小基岩，而后者可以合理地被视为集合通用多元宇宙的核心宇宙（在其上生成），我们将成为在下一小节中详细描述。更全面的数学描述。

　　

因此，可以尝试对芯体进行切割。然而，在这一点上堆芯的特征可能（超过ZFC）是不确定的。如下所示，

基本定理：

定理3.3（Fuchs等人）ZFC的每个可数模型都可以是另一个模型的地幔ZFC模型。

为了获得更确定的核心，并进一步研究其自然，集合论地质学家考虑了一个不同的假设，可以阐述如下。如果地幔不满足GA，那么它是有意义的，考虑到“地幔的地幔”，M1=MM，然后，总是在不满足GA的假设，即“地幔的地幔”和等等。换句话说，考虑地幔的迭代是有意义的操作'。现在，迭代地幔并不是一项微不足道的任务，因为它涉及技术方面涉及，这甚至可能阻止定义mant的第n个迭代。

假设这些困难可以克服，人们可能会问，对于α∈Ord地幔的迭代，可以得到Mα=M，对于所有＞α，即是否存在一个极小的α，使得Mα|=GA。如果有一个，那么Mα被认为是外初始模型的核心（V，如果V是这样的模型）。然而，在这种情况下的前一个，其中M|=GA，定理3.3将暗示外核也会没有确定的特征，即它可能满足广泛的相互不兼容的属性。

此外，已经表明，外芯不能唯一地固定在迭代过程中，Reitz和Williams最近的一个结果证实了Fuchs等人[9]的猜想，并证明，对于任何α∈Ord，模型的外核M可以是任何Mα，即M地幔的任何α次迭代（也可能包括包括MOrd，尽管目前还没有针对这一特定案件的证据）。

总之，ZFC本身并不能保证“核心宇宙”的存在。

而且，在ZFC上核心可能出现。正如我们将要看到的，如果一个人采取车载LC。

3.2存在的证明。斯蒂尔[25，第168页]认为Woodin观察到

如果多元宇宙有一个可定义的世界，那么它就有一个独特的可定义世界

世界包含在所有其他世界中。38我们接下来为这一事实提供一个证据。39

定理3.4。如果多元宇宙有一个可定义的世界，那么它就有一个独特的可定义世界。

更准确地说，假设多元宇宙语言中的公式只有集合的一个自由变量。然后MVT∀U，W（x（（x∈U↔ Γ（x））∧（x∈W↔（x） ）→ U＝W）。

证据在MVT的MG模型中工作（见第2.3节），让U和W是世界定义为：分别地由于U和W是可传递的并且包含相同的序数，通过归纳法显示VαU⊆W就足以显示U⊀W。

关于α。这对于α=0是清楚的，对于αa极限序数也是清楚的，只要它对所有序数都小于α。假设VαU⊆W，让我们展示VαU+1⊆W。请注意，VαU⊆W表示VαU∈W。这是因为x∈VαU iff W|=t（秩（V）<由Γ定义的唯一世界中的α）[x]。

因此，VαU可以用参数α在W中定义。

现在让Y⊆VαU，Y∈U。我们必须检查Y∈W。与2.2号提案一样，我们可以找到足够大的W Coll（，）|=我是X的强制扩展，对于某个世界X在由我生成的多元宇宙中，可以由ξ定义。

因此，U⊂W[H]对于所有的H Coll（，）-在W上是泛型的。因此，Y∈W[H]

例如H.Letting

▪Y∈W是Coll（，）-的名称Y、 我们有Y可在中定义W是所有x∈V的集合Uα

它们是由Coll（，）属于

▪Y。

因此Y∈W。

因此，如果多元宇宙中有一个可定义的世界U，那么它是唯一的，根据2.2号提案，它包含在MV的所有世界中。40很明显，由于核心，如果存在，是可定义的，核心存在当且仅当存在一个可定义的世界。

3.3.核心是V的地幔。我们接着介绍了基本结果，这表明，在足够强的假设下LC、V具有最小的接地。

定理3.5（Usuba[28，第72页]）。假设存在一个可扩展基数。然后地幔是V的基底。事实上，如果κ是可伸展的，V的κ-地幔是最小的地面。

现在由于所有接地都是向下的，通过使用定理3.5，我们现在可以

证明以下内容：

命题3.6（MVT多元宇宙核心的存在）。设T为ZFC+存在一个适当的可扩展基数类。那么MVT公理意味着多元宇宙有一个核心，它是多元宇宙中每个世界的地幔（和地面）。

证据根据定理3.5，多元宇宙的每个世界W的地幔MW是地面，因此由Axiom5的MV，它也是一个世界。现在假设U0和U1世界。通过合并，它们也是包含它们的某个世界W的基础。

因此，由于接地是向下定向的，所以MU0＝MU1。因此，所有多元宇宙的世界有着相同的地幔M，这是所有世界。因此，M可由以下公式定义∀U（U是一个世界→ x∈U）。

因此，根据定理3.4，地幔M是多元宇宙的核心。

3.4.主要假设的强度。根据命题3.6，如果M满足存在一个可扩展基数，则MG有一个核。这是合理的，询问定理3.5中的大基数假设是否可能被削弱为在一致性强度层次结构中较低的LC的级别；更一般地：

问题3.7。MVT对T的选择证明了其核心的存在多元宇宙？

下面的定理证明了一类适当的超紧的存在性基数不足以证明核心的存在，因此表明问题3.7中提到的选择T的阈值。

定理3.8。假设存在一类适当的超紧基数。然后有一个类强制概念，它强制存在一类适当的超紧基数并且没有核心。

证据首先，使用类强制迭代并支持Easton，以便每个超压缩κ都不可被<κ定向的闭合强迫破坏（见[2]），随后通过Jensen类强制迭代来强制GCH。标准参数显示所有超压缩基数都被保留，没有新的超压缩基数创建。在泛型扩展上，再次使所有超紧基数κ不可被＜κ-导向的闭合强迫破坏（它保留了GCH创建新的超压缩基数），并调用得到的模型V[G]。现在用武丁具有Easton支持的类强制迭代P，该类强制Continuous编码公理（CCA），类似于[23]中的编码公理，它将每一个序数集编码为超紧基数类S上的幂集函数多次。这并不是超压缩基数的极限。同样，标准论点表明S中的所有超紧基数都被保留，并且没有新的超紧基数创建。设V[G][H0]为该模型。最后，通过类强制在V[G][H0]上施加力创建

Q=κ∈OPD

Q（κ），

其中Q（κ）是添加κ的Cohen子集的强制，如果κ在S中，并且是琐碎的强制。设得到的模型为V[G][H0][H1]。我们声称S中的超紧基数得以保留。设κ∈S。在V[G][H0]中工作，首先注意，Q因子为Qκ×Q[κ+1，Ord）。还注意，由于κ不是超紧基数，sup（Såκ）＜κ。因此，Qκ因子为Qsup（Såκ）×Q（κ） ，其中Q（κ）是加上κ的Cohen子集的强迫。创建Qsup(Såκ)×Q（κ)作为一个强迫概念，等价于Q（κ）×Qsup（Såκ）。此外，由于Qsup(Såκ)有基数小于κ且Q（κ）不添加新的有界子集κ，Q(κ)×Qsup（Sx_κ）等价于Q（κ）*Qsup(Såκ）。现在，自从Q(κ） 是＜κ-指示关闭它保持的超紧性κ、 然后也是Qsup(Såκ） 随后，由于其基数小于κ。此外，Qκ迫使Q[κ+1，Ord）是＜κ-定向闭合的，因此它也保留了κ的超紧性。由于κ＜κ=κ每个κ∈S，强制Q保持基数和幂集函数。现在我们可以与[23]中类似地争论，以表明V[G][H0][H1]的每一个地都具有适当性的，因为假设W是V[G][H0][H1]的地。设P是W中的偏序集，g是W上的P-一般滤波器，使得V[g][H0][H1]＝W[g]。自从两个模型V[G][H0][H1]和W在S元素的尾部，以及形式为“κ是S”对于S中基数κ的尾部，V[G][H0]的每个元素都被编码到幂集中W在S上的函数，因此V[G][H0]⊆W。现在让S中的κ大于|P|，并且让hκ是h加上的κ的Cohen泛型子集。由于V[G][H0]⊆W，每个条件因此，hκ的每个有界子集都属于W。因此，由于这对W、 W[h]满足κ-逼近性质，hκ∈W。因此，写入H1作为乘积H1≤κ×H1＞κ、 我们有V[G][H0][H＞κ]⊆W和V[G][H0][H＞κ]是W的基础。现在，如果κ0＜κ1是S的前两个大于|P|的成员，那么V[G][H0][H1＞κ1]是V[G][H1][H1的适当接地＞κ0]，可能也是一个合适的基础W。

因此，尽管目前可能没有提供正式证据，但这是合理的推测，作为定理3.8的结果，没有一致性强度的LCA低于“存在可扩展基数”将足以证明核心的存在。然而，还需要做更多的工作来进一步阐明这个问题。

§4.核心：CH和强制公理。

4.1.核心和CH。我们知道，在对T的某些假设下MVT的多元宇宙是存在的，因此找出它的特征是有意义的，基于这些，它可能会向我们揭示诸如CH.In这样的不可判定的陈述。

特别是，我们想解决以下问题：

问题4.1。MVT是否证明核心满足CH，其中T=ZFC+是否存在一类可扩展基数？

事实上，这个问题可能扩展到任何其他语句，而这些语句不是由ZFC。特别是，对于每一个这样的ξ，人们可能会问核心是否暗示了真相或Γ的虚假性。

接下来的结果为这些问题提供了答案，总体而言暴露了核心的不确定性。首先，我们概述了CH。

如果核存在，那么它满足GA，也就是说，它不具有任何适当的基。

Reitz[23]证明了ZFC的每个模型都有一个类强制扩展任何期望的Vα，满足V=HOD，并且是ZFC+GA.45的模型。根据[5]中的结果用于获取模型的类强制保留了可扩展基数。所以，从一个满足T=ZFC+“存在一类适当的可扩展基数”的模型M，我们可以对其进行分类，以获得满足GA和（例如）-CH的T的模型M[H]。

然后用Coll（，＜Ord）M[H]对M[H]进行强迫，得到了MVT的一个模型，其核心是M[H]并且满足-CH。

现在，我们展示了如何将此策略扩展到所有∑2集可强制语句

定理4.2。设ξ是∑2语句（带参数），可以由集合强制强迫。假设存在一类适当的可扩展基数。然后在课堂上强迫保留可扩展基数的V的扩展语句，MV的多元宇宙是围绕扩展本身构建的。

证据通过设定力产生的第一个力。在强迫扩张中，设κ∈C（1）为Vκ|=ξ。然后以通常使用类强制的方式将GCH强制到κ以上，这样Vκ没有改变。正如在[23]中一样，我们可以进一步对力进行分类，以获得GA的模型，因此κ仍然没有变化。根据[5，26]中包含的结果，两个类强制概念保留可扩展基数。46因此，由于最终扩展M满足GA，如果G是Coll（，＜Ord）M-在M上的泛型，则MV多元宇宙的核心由MG的存在是因为在M中存在一类适当的可扩展基数，它是M 它本身此外，由于Vκ没有改变并满足ξ，因此在M中，我们得到Vκ|=ξ

而且，κ∈C（1），因为在C（1

并且满足Vκ=Hκ。因此，M|=ξ。

推论4.3。如果T=ZFC+“存在一类适当的可扩展基数”是一致，那么MVT加上核心满足CH或-CH连续体大小的值。

除了CH和CH之外，还有许多其他相关的∑2语句是可设置的，因此始终保持在MVT多元宇宙的核心。我们给予接下来再举几个例子。

推论4.4。如果上面的T是一致的，那么MVT加上核心满足2或其否定。

证据2是强制的，通过可数定向和1-策略闭合的强制，∑1语句，参数为1和2。此外，它的否定是由Coll（1，＜κ）强迫的，κa Mahlo基数。

著名的强制公理MA

ℵ1也等价于∑2语句，其中ℵ1.作为参数。因此，定理4.2得出以下结果：

推论4.5。如果上面的T是一致的，那么MVT加上核心满足

MAℵ1.

　　

4.2.核心公理和强强迫公理。推论4.5帮助我们在更全面的普遍性，审查核心在强迫方面的行为公理。现在，我们清楚地看到了MVT的核心，T可能，甚至可能没有，具有可扩展基数，也与强强迫一致公理。[23]的推论3.8已经证明了适当强迫公理（PFA）是和GA.47一致。我们将这个结果也推广到MM、MM++等。

回想一下，MM++指出，对于每一个保持平稳子集的偏序集P1，P的稠密开子集的每个集合{Dα：α＜1}，以及每个集合｛α：α＜1｝的P-名称，对于1的平稳子集，存在一个滤波器G⊆P｛Dα：α＜1｝的泛型（即GåDα=∅，都是α），并且使得α[G]是静止的1的子集，全部为α。众所周知，假设存在MM++超紧凑基数的。

定理4.6。如果ZFC加上超紧基数的存在是一致的，那么是MM++加GA。

证据设V满足ZFC加上超紧基数的存在性。强制结束V得到ZFC加MM++的模型。将此模型称为V[G]。然后用V[G]上的2向闭ORD长度迭代P以获得GA（如[23]中所述）。我们声称MM++在V[G][H]中成立。因为假设是一个P名称对于保持1的平稳子集的偏序集{

▪Dα：α＜1}是的稠密开子集的集合，和{

▪α：α＜1}是集合的P-名称of-1的固定子集的名称。允许做一个足够大的大基数和

▪Dα：α＜1和{

▪α：α＜1}是P-名称。自从P是2-方向闭合，与[18]中的论点类似，我们可以证明P保留MM++。

我们声称在V[G][H]，偏序集[H]保留1的平稳子集：对于假设S⊆1是静止的

▪C是[H]-1的会子集的名称。自迭代的剩余部分不添加1的任何新子集，S也是静止的。在V[G][H]中。此外，由于俱乐部对于传递模型是绝对的[H］-V[G][H]上的一般滤波器也是[H]-V上的泛型]，我们有在V[G][H]中，

▪C是[H]-1的会子集的名称。因此，由于在V[G][H]中偏序集]保留1的平稳子集，我们有[H]“Så

▪C=∅”。但是后者对于传递模型是绝对的，因此它在V[G][H中成立]。

此外，在V[G][H中]{

▪α[H]：α＜1.}是-文件的名称1的子集。自MM++持有

五、[G][H]，存在筛选器F⊆[H］

对于集合是通用的{

▪Dα[H]：α＜1}，并且使得

▪α[H][F]是不动的绝对地说，这在V[G][H]中也是正确的。这表明MM++持有在V[G][H]中。

从上面的定理可以得出，如果T=ZFC+存在一个超紧基数'是一致的，那么MVT的核心满足MM++也是一致的。此外，由于强制GA的类迭代P保留可扩展基数，如果理论T=ZFC+“存在一类适当的可扩展基数”是一致的，那么也是MVT加上核心满足MM++。此外，在这两种情况下，根据[3]中的结果core也满足Woodin（*）公理。

§5.探测钢铁公司的计划：作为终极L的核心。让我们来盘点一下。所有第3节和第4节中所示的结果表明，假设一类适当的可扩展基数，MV多元宇宙的核心存在，但仍然是一个高度不确定的对象特别是，我们已经看到，核心可能满足任何已知的最强强制公理，所有这些都意味着连续体具有大小ℵ2，也可能满足CH，就这一点而言，任何其他∑2集可强制语句，带参数（定理4.2）。

有两个当务之急。第一个是基于可证明的，在某些假设下，MV多元宇宙的核心，Universist的存在现在可能会被许可转变为核心大学主义者的观点，即V是核心，通过解决一个理论，在L∈中，明确地陈述了这一点，也就是说，一个包含V=C作为公理（此后，C将是我们为核心指定的符号）；在下一节中，我们将更详细地研究这种可能性。4第二个问题是，因此在存在LC的情况下，即使核心大学理论决定将V=C作为ZFC+LC的正确扩展，他仍然不能固定核心的特征，因此，在L∈中的真值无法确定的陈述。

因此，现在是钢铁计划开始实施的时候了，在接下来的小节中，我们将审查其执行情况并评估其前景。

5.1.Ultimate-L和MV。近年来，由于影响深远

内部模型程序的发展，存在的可能性

超紧基数的正则内部模型正在出现。Woodin分析给这样的模型Ultimate-L，只要该模型将包含L型内部模型，以及所有LC，从而完成内部模型程序本身。如果存在这样一个模型，那么可以说它代表V的“最优”近似，这将证明观察公理的合理性V=Ultimate-L是ZFC最自然的扩展，Steel[25]精确地取考虑到这种可能性。

在本小节中，我们将首先关注关于终极-L和核心，在下一篇文章中，我们将阐明核心大学理论基于这些结果的立场。我们从Woodin对公理的定义开始V=最终L。

定义5.1（V=最终-L）。公理V=Ultimate-L断言：

1.Woodin枢机主教有一个适当的类别，并且

2.对于每一个∑2句子，如果Γ在V中成立，则存在一个普遍的Baire集一个⊆R使得HODL（A，R）|=。

Woodin已经证明V=Ultimate-L意味着CH.52它也意味着地面公理，即V不是任何内部模型的集合泛型扩展，并且V=HOD。

伍丁作出了以下猜想。首先，回想一下内部模型N是if超紧性的弱扩张模型≥有正常P上的精细测度U

使得：

1.U≠N∈N。

2.PåN∈U。

猜想5.2（Woodin的极限-L猜想）。假设它是可扩展的大基数则存在内部模型N⊆HOD，使得：

1.N是超紧性的弱扩张模型。

2.N |=“V=极限-L”。

现在，对于我们的目的来说，至关重要的是，如果Ultimate-L猜想成立，那么让作为理论ZFC+“存在一类适当的可扩展基数”，我们有MVT证明核心具有包含在HOD中的内部模型V，以及满足V＝极限-L。此外，根据Woodin的普遍性定理，53V满足存在一类适当的可扩展基数。然而，V不一定是一个世界本身，但是，如果是这样，那么V就是核心。因此，以下是本小节的第一个结果：

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