数学论文（V-Logic的Tableaux系统）

在本文中，我介绍了一个用于无穷逻辑的表系统，例如所谓的V逻辑（Arrigoni和Friedman，2013）。这个逻辑允许公式长度小于κ，其中κ是一个大基数，但只有有限个前面的量词。虽然它已经有了一个证明系统，一个新的表格系统应该有助于阐明这种逻辑是如何工作的。这个新的tableaux系统可以适应所有可能的“V逻辑”，只要数量公式中允许的量词的数量是有限的。这是因为规则是与公式的长度无关，一旦允许使用不定式。

除了使用tableaux系统的已知优势之外，这样的变化应该使我们能够更好地研究这类的完整性问题并最终帮助我们发展基于他们无穷逻辑主要是由Barwise（1975）在70年代发展起来的和Keisler（1971）。特别是V逻辑，最早出现在Barwise（1969）作为M-逻辑，是一种不定式语言是一种有一定证明的不定式语言使其在调查问题时特别有用的理论机器在集合论中。因此，弗里德曼选择发展所谓的超宇宙——一种基于V逻辑的集合论的多元宇宙（Arrigoni和Friedman，2013）。

设κ是一个不可访问的基数。定义了不定式语言Lκ，ω来自通常的一阶语言，但带有不定式连词（VΦ，其中Φ是一组公式）和长度小于κ的析取（WΦ）。

然而，前面允许有限数量（即小于ω）的量词的公式。从这种语言中，我们可以定义V-逻辑本体，通过定义一种语言LV，添加以下（i）一个新的一元关系符号▪五、，表示地面宇宙和（ii）κ新常数▪w0，▪wκ、 对于宇宙的延伸。

由于κ的选择不会显著影响语言，因此框架允许引入非常强的无穷大逻辑Lκ，ω，其中k是例如。

一个Mahlo，甚至是一个可衡量的大基数。唯一相关的区别是虽然一些这样的逻辑是完整的，但其他的则不是（有关详细信息，请参阅Dickman（1975））。此外，如果我们解释新的常数▪五、在集合论的术语中，即。

作为一个强迫扩展的基本宇宙，那么这个大基数也定义了宇宙有多“高”。

为了建立V逻辑的模型，我们首先需要定义一些关键的性质即其一致性属性。一致性属性是具有某些性质的可数句子集的集合S。这个定义最初由Keisler（1971）提出，后来由Barwise（1975）修订，以及需要证明模型存在定理。例如，最简单的V逻辑的可能一致性性质是所有可数集的集合LV的句子的s，使得s有一个模型a，其域都是新的在语言中添加的常量。遵循Barwise，对于这些属性，我们也添加一些关于等式的规则（因为我们的目标是将V逻辑应用于集合论）。

我现在介绍一个V-logic的tableaux系统，如下所示。一个tableaux系统这将是这种逻辑最好的证明系统，因为它会完美地表达了语法和语义之间的联系。首先该系统的定义非常简单：遵循Barwise的发展在V-逻辑中，我们改变了树成员属性中的一致性属性。

例如，在不进行过多详细说明的情况下，考虑一致性属性中的第一个，平凡性规则。这个规则说明0∈S，并且如果s⊆s′∈s，则对于每个Γ∈s′，s∈{Γ}∈s，其中S是S的集合，每个S∈S是V逻辑的一组句子。简单地将其转换为树定义对于tableaux系统，我们定义S为证明树，每个S为其分支。

其他一切都遵循Barwise的体系。

在这个表系统中，所有的结果都证明了原来的V-逻辑模型存在性定理、V-完全性定理与省略型定理，也可以证明。此外，我们还可以应用确定性技术来证明以下定理：

定理1。设Γ⊢N在V-逻辑中，V是一个证明。这个证明也是公开的游戏则它的确定性在ZF C的模型之间是绝对的。

这种V逻辑的“游戏化”在一个

集合论的多元宇宙概念。特别是，这可能是一个优势有助于V逻辑多元宇宙的构建。

参考文献

Arrigoni，T.和S.Friedman（2013）。“超宇宙计划”。在：公告

符号逻辑19.1，第77-96页。

Barwise，Jon（1969）。“无穷逻辑与可容许集”。在：The Journal of

符号逻辑34.2，第226–252页。

--（1975年）。可容许集合和结构。施普林格，柏林。

Dickmann，Maximo Alejandro（1975）。大型不定式语言：模型理论。

纽约，纽约。

Keisler，H Jerome（1971）。无限逻辑的模型理论。北荷兰，阿姆斯特丹。

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