数学论文（不可达基数的广义随机实压迫）

注：本章共分为（1/2）章节！

摘要：实直线的“小”集合的两个经典平行概念是贫乏集和空集。这些相当于科恩强迫和NN的随机实强迫；尽管有这种相似性，科恩强迫和随机实强迫具有非常不同的形状。其中一个不同之处在于，科恩强迫有一个简单的自然过程正则λ＞的λ2的推广ℵ0，对应一个扩展对于少得可怜的布景，而随机真实的强迫似乎没有自然泛化，因为勒贝格测度没有泛化对于空间2λ，而λ＞ℵ作品[6]发现了一种类似于λ为弱紧时2λ的随机实强迫性质大基数在这里，我们通过额外的假设来描述这种强迫对于2λ，而λ只是一个不可访问的基数；这种强制是战略性的＜λ-完全并且满足λ+-c.c，因此保留基数和然而，与Cohen强迫不同的是，共有性并没有增加未脱基真实的。

介绍

定义什么是实直线ω2的一个小集合有两种经典的方法；小集的拓扑定义是贫集，它是可数集无处稠密集的并集。第二个定义使用度量并定义。如果它是一个空集，则设置为小，这意味着它的勒贝格测度为零。贫集的集合和空集的集合都是中的理想集合ω2；穷集理想的强迫模是Cohen强迫而强制模空集的理想是随机实强制[5]。

λ＞的λ-实数ℵ0，所以集合的元素λ2={η：η是长度为λ}的0和1的序列，Cohen Forciνg有一个自然的扩展；那将是一个强制模λ-贫乏集[3]。与这种情况不同，勒贝格测度没有自然的正则基数λ＞在λ2中的扩张ℵ0，因此没有的泛化那些基数的随机实数强制。

随机实强迫的一个重要而有用的性质是不添加未对接的功能；回想一下Cohen Forciνg添加了f:λ→λ不是比地面模型中的任何实数都小（意思是模有限集）（其中λ-实数这里是函数λ→λ、 即λλ的成员）。然而，随机实数强迫的性质是每个“新”实数（即ωω的每个元素）都是以真实的地面模型为界。此属性的用途之一是基数不变量；强制后边界数d[2]不变随机实数强制。

在论文[6]中，第二作者描述了νull的一个推广弱紧的理想（意为Lebesgue测度零集的理想）基数λ；这是通过构造一个具有性质的强迫来完成的2λ中的随机实强迫对于弱紧λ；这个结果令人惊讶，因为[6]和Raνdom中的强迫定义没有明显的相似之处真正的强迫。

所谓“具有随机实强迫的性质”，我们指的是其中：（1）λ+链条件成立，（2）强制策略上＜λ-完成根据这些条件，强制保留基数和λ=λ时的余数＜λ。此外，强制中添加的任何新实数应为以实际的地面模型为界，这将是条件（3）：力为λ-边界。另一个重要的性质是对称性，但它在[6]中失败了。

这项工作的目的是为Mahlo，甚至任何不可访问基数（因此可能小于第一个弱紧基数）。在第2节中，我们将描述一种结构，其属性随机实强制（定义27）的任何不可访问和特别是马洛基数；那些是存在较弱的基数弱紧基数[4]的存在性的条件。然而与[6]相比，我们需要一些参数X⊆λ，因此定义不是“纯的”如[6]中所述。

与[6]的另一个区别是，大基数性质不是足够地我们将假定存在一个只反映在难以接近的地方，并有一个钻石序列。请注意，此需求可以是通过简单的强迫[1]获得，如果V=L，这相当于不弱紧致。对于一个Mahlo基数，存在一个不可访问的固定集基数低于它，所以特别是这个集合只反映在不可访问和那么我们仍然需要假设它存在一个菱形序列。在[6]中，弱紧性的主要用途是通过反映最大反链对于较小的基数，这里的菱形序列的目的将是克服这一点无力。

此外，为了方便起见，我们将假设所需的强制是仅在固定集的级别中修理的树（我们要求平稳集只包含极限序数）。然而，它是可以允许在后续级别中进行修剪；例如，只要修理当我们使用分裂为θǫ=cf（θ\491）∈[|ǫ|+，λ）的数时。

我们可能希望使我们的强制＜λ-完全（而不是战略性地＜λ-完整）；这还不清楚。

这项工作是[6]中承诺的一部分；建设思路2011年在罗格斯大学发表。我们打算稍后处理可访问λ=λ＜λ＞ℵ0（在合理的情况下条件）；我们也可以在θ上使用一个|ǫ|+-完全D \491滤波器（或在sucT（η）上使用Dη）。当lg（η）=ǫ时，如[6]所示，或下面的备注17）。

我们还在[7]中继续[6]与T.Baumhauer和M.Goldsterν[9]的合作以及在[8]中。感谢。我们感谢Aνdrjez Roslaνowski在完成了论文，裁判做得很好。

符号

（1） 我们用α，β，γ，δ，ǫ来表示序数。

（2） 我们使用λ、µ、κ来表示基数。

（3） BA表示从B到A的函数集。

1.准备工作

文[6]给出了一种对于弱紧致基数λ，推广随机实强迫性质的强迫ℵ0.在第2节我们添加了菱形原理的假设，然后看到类似的强制为不可访问的基数推广相同的属性，使用假设存在一个只反映在不可及性中的平稳集；

因此，特别是对于马赫洛枢机主教来说，它是如此。在这里我们展示一下将军将在本文中使用的定义。

定义1：类似于正则的随机实强迫的强迫基数λ=λ＜λ将是以下条件成立的强迫：

（1） 强迫不是平凡的，λ+链条件成立。

（2） 强制＜λ-战略上完全。

（3） 强制是λ-边界。

（4） 强迫不增加λ-Cohen实数（从（3）得出）。

这个定义反映了在以下情况下随机实强迫的性质λ=ℵ0

备注2：在这一点上，我们将忽略另一个期望的性质，对称性。

这个性质表明，对于所有η1、η2和模型M：η1在M上是通用的，且η2在M[η1]上是泛型的当且仅当η2在M上是泛型且η1是泛型的在M[η2]上。到[6]，它失败了。

现在我们可以定义用于定义1的术语：

定义3：设α为序数。

（1） 对于强迫概念P和条件P∈P，我们定义了一个对策α（P，P）

如下所示。游戏有α移动，对于β＜α，首先播放器COM选择条件pβ∈p，使得：

（a） p≤pβ。

（b） 对于所有γ＜β，它认为qγ≤pβ。

接下来，玩家INC玩并选择qβ∈P，使得Pβ≤qβ。

如果玩家COM幸存下来，她将赢得游戏；即，拥有合法的移动所有β＜α。

（2） 强迫P在α（或α-策略上）中被认为是策略上完全的完全）如果对于所有p∈p，它成立于α（p，p）之间的对策玩家COM和INC，玩家COM有获胜策略。

定义4：强迫P＜λ-策略上完全，如果它是α-策略上的对于所有的α＜λ是完全的。

定义5：对于基数λ，当以下情况成立：

P（∀f:λ→λ） （（∃g∈（λλ）V

)：（（∀α＜λ）（f（α）≤g（α）））。

定义6：一组序数S将被称为脆弱的（或“无处静止”）如[6]中所示）如果对于不可数余数的每个序数δ，集合S↾δ不是δ中的定集。

定义7：设λ为基数，S⊆λ为λ的平稳集。那么S就是，当对于每个序数δ＜共行列式的λ＞ℵ0的集合S↾δ在δ中是不稳定的。

注8：设λ为基数，设S*为非反射平稳子集的λ。则集合S⊆S*是脆弱的当且仅当S不是静止的。

权利要求9：设λ为基数，S*为λ的非反射平稳子集。

（1） 如果S’=Si:i＜i（*）使得对于所有i＜i（**），Si⊆λ是i（**＜cf（λ）的非平稳的，则S=i＜i（*）si不是静止的。

（2） 如果S’=Si:i＜i（*）使得对于所有i＜i(*），Si⊆S*是一个脆弱的设i（*）＜cf（λ），则S=i＜i（*Si是脆弱的。

证据我们看到：

（1） 对于每一个i＜i（*），都有一个俱乐部Ei，使得SiåEi=∅（作为Si不是静止的），所以设E=i＜i（*）Ei；E是λ中的一个Club，作为交点i（*）＜cf（λ）俱乐部。此外，SåE=∅，因此S不是静止的。

（2） 根据第（1）条，S不是静止的。此外，对于每一个α＜λ，S*_ x_α是非平稳的，因此作为它的子集的Såα也是非平稳的。

2.不可达基数λ的新λ-实数

为了找到一个类似于随机实数的强迫，我们需要在弱紧致基数情形的假设基础上增加一个额外的假设在[6]中；新的假设将是一个在平稳的上索引的菱形序列不可访问基数集（对于一个Mahlo存在一个不可访问的固定集大基数）。对于任何一位无法接近的大基数来说，更普遍的情况是仍然需要假设钻石序列的存在；然而，在这里将在只反映在不可访问基数中的平稳集上进行索引。

这两个案例在这里是统一的，处理的是一个无法接近的大基数只反映在不可访问基数中的平稳集；马洛基数的遗嘱

这是一个特例。

2.1有用的定义。

定义10：一个好的结构r包含：

（1） 一个不可访问的基数λ=λr。

（2） 一个固定集S*=Sr*强极限基数的⊆λ，使得如果当S＊ξδ在δ中是静止的，则δ是不可及的。

（3） 基数θ=θr=θ的递增序列：ǫ＜λ，使得所有ǫ＜λ：2≤θ；如果ǫ∈S*，则对于所有ζ＜ǫ，θζ＜。

（4） 我们假定S*的钻石（菱形）原理，♦S*，然后让十、=十、r是见证它的序列。，十、=Xδ：δ∈S*；Xδ⊆H（λ）。

备注11：注意：

（1） 对于λMahlo，存在一个只包含不可访问基数的平稳集S*⊆λ，因此特别是它的反射将只在不可访问中大基数

（2） 对于不是Mahlo的λ不可访问，一个非反射定集可以通过使用[1]中的初始分段的强制添加。

（3） 可以假设S*是一组刚好极限序数（可能不是强极限），唯一的区别是对于所有δ∈S*强迫Qδ（稍后定义）将具有|T＜δ|+链条件，而不是这里的δ+链条件；然而，强迫Qλ仍然具有λ+链条件。

（4） 关于定义10（4）♦S是“有Aα：α∈S，Aα⊆α使得对于每一个A \8838α，集合{α∈S:Aåα=Aα}是λ“的一个平稳子集。然而，给定如上所述的序列，以及h是从λ到h（λ）的一对一函数（它们是相同的基数，因为λ=λ＜λ源自“λ不可访问”），设E={µ＜λ：h将h（µ）映射到µ}上。

它是λ的Club，因为µ＜λ⇒2µ＜λ。最后，设Xδ⊆δ为{α＜δ：h（α）∈Aδ}；

它很容易满足要求。（相反，从Xδ开始，我们可以选择合适的Aδ）

注12：当S*是非反射的时，证明更简单。

接下来，强制将分几个步骤进行定义；那些将是树的强制力对于每一个δ∈S*∈{λ}。首先，我们将定义“最大”强迫Q0δ；稍后我们将定义两个额外的力Qδ⊆Q′δ≾Q0δ.对于每一种强制力强制关系将是反向包含的。

定义13：给定一个好的结构r，我们将为每个α≤λ定义级别α的顶点集合：

Tα=ǫ＜αθǫ；

对于α≤λ，我们将定义到α的完整树为这些集合的并集：

T＜α＝{Tβ：β＜α}。

备注14：在第2节结束之前，我们假设我们有一个好的结构r。

公理：

（1） 对于所有的δ1＜δ≤λ和Γ∈Tδ设Γ↾δ1限制μ到δ1。

（2） 对于每一个δ∈S*Ş{λ}和一个集u⊆T＜δ，我们写limδ（u） ={Γ∈Tδ：∀α＜δ，Γ↾α∈u｝。

（3） 对于所有的δ≤λ和集合u⊆T＜δ，对于δ1＜δ，我们将写u↾δ1=uåT＜δ1。

（4） 假设α＜δ和u⊆T＜α是树：非空集在取初始分段。设η∈u是某个节点；我们写作u[η]={Γ∈u:ηΓ∧ΓΓη}。

定义15：我们现在可以定义强制Q0δ对于每一个δ∈S*∈{λ}。

（1） 强制中的一个条件是树p⊆T＜δ，这样：

（a） 有一个中继tr（p）；这是唯一的元素η∈p

以下属性：

（i） 对于所有的Γ∈p，均为Γη或ηΓ。

（ii）对于性质为（1）（a）（i）的每个η′，我们有η′η。

（b） 对于每个η∈p，都有一个η∈limδ（p）。

（c） 对于tr（p）η∈p，{j∈θlg（η）：η⌢j∈p}=θlg。

（d） 集Sp={δ1∈（lg（tr（p）），δ）：limδ1（p↾δ1）⊆p}是一个脆弱的S*的子集；我们把这个集合称为证人集合。

（2） 对于所有p，q∈Q0δ我们说p≤q当且仅当p⊇q。

注16：我们可以想到一个树p∈Q0δ

关于δ∈S*Ş{λ}为完备数从我们正在修理的lg（tr（p））级别开始：在后续级别中，我们不是允许修理。在限制级别上，只有当level是Sp中的一个序数，所以在大多数极限级别中，我们在Sp中的阶段，只要（1）（b）成立，我们就可以随心所欲地切割；

因此，每个级别中的每个节点都将有一个延续，高于其长

备注17：另一种定义可以是，在后续级别中可能是弹簧，只要它们不太大，即{j∈θlg（η）：η⌢j/∈p｝

有界于θlg（η）（当cf（θlg|+-θlg（η）上的完全滤波器——没有严重差异。

权利要求18：对于所有的δ∈S*Ş{λ}，强迫Q0δ具有以下属性：

（1） 整数T＜δ∈Q0δ并且比任何其他条件都弱强制Q0δ。

（2） 如果p∈Q0δ，且η∈p，则p[η]∈Q0δ，且p≤Q0δp[η]。

（3） 设ǫ＜δ；则集合{（T＜δ）[η]：η∈Tǫ}是的最大反链强制Q0δ。

（4） 设p∈Q0δ和ǫ＜δ；则{p[η]：η∈påTǫ}是一个极大反链在p之上（如果ǫ≤lg（tr（p）），p=p[η]并且这个集合是单例的）。

证据设δ∈S*Ş{λ}：

（1） Trivial。

（2） Trivial。

（3） 设ǫ＜δ；集合是反链的，因为对于任何η=Γ∈Tǫ，显然（T＜δ）[η]和（T＜Δ）[Γ]是不相容的。设p∈Q0δ设η∈påTǫ是一个节点。存在这样一个节点，调用第（1）（a）和（1）

定义15。则p[η]∈Q0δ根据前一公理；p≤Q0δp[η]且明确地（T＜δ）[η]≤Q0δp[η]；因此{（T＜δ）[η]：η∈Tǫ}是极大值Q0中的反链δ。

　　

（4） 类似. 接下来，定义一个将实现使用金刚石原理的滚动的结构；该结构将是包含元素的对象的集合具有附加属性的反链。在弱紧致情形[6]中最大反链的重要作用；在λ-定界的证明中在强迫中，有一个最大的反链，反映为反链与较小基数相对应的作用力。

在我们正在处理的无法处理的案件中，我们将不得不使用钻石可以获得类似的属性。每个元素都是中的反链强制Q0δ。

定义19：对于任何序数δ∈S*õ{λ}，Γδ将是对象的集合Q其中以下条件成立：

（1）q=qη：η∈∧，

（2） ∧⊆T＜δ，

（3） 对于每个η∈∧，qη∈Q0δη=tr（qη），

（4） 如果η，Γ∈∧和η=则η=tr（qη）/∈qΓ∧Γ=tr（qΓ）/∈qη，

（5） 集合中所有条件的并集将是中的一个元素强迫r*q={ρ∈T＜δ：（η∈∧）（ρ∈qη）}∈Q0δ。

定义20：对于所有δ∈S*Ş{λ}和

我们定义了编码器Xq′：

Xq’={（η，Γ）：（η∈∧）∧（Γ∈qη）}⊆H（δ）。

定义21：设δ∈S*；当存在时，我们称δ为弱成功q∈ŞδXq’=Xδ，回忆Xδ来自第（4）条中定义的良好结构r

定义10。

权利要求22：对于弱成功的δ∈S*，定义21的q是唯一的。

证据观察编码器Xq具有关于的所有信息q、 因此aq必须是唯一的。

定义23：

（1） 对于弱成功的δ∈S*：

•查看唯一序列q=qη：η∈∧，其中Xq’=Xδ并写入∧*δ=∧；

对于所有η∈*∧δ设q*δ、 η=qη，最后qδ*=q*δ、 η：η∈∧*δ，

•设rδ*=r*qδ*={ρ∈T＜δ：（Γ∈∧*δ)（ρ∈q*δ、 Γ)}，

•最后，对于每个η∈∧*δ和η∈q的情况下，Γ∈T＜δ*δ、 η允许q*δ、 Γ=（q*δ、 η)[ν] 。

（2） 对于不弱成功的δ∈S*，设rδ*=T＜δ，并且对于所有η∈rδ*，q*δ、 η=（rδ*）[η]。

现在我们可以使用十、，是菱形序列：

权利要求24：对于每一个q’=qη：η∈∧∈Γλ，存在一个弱成功的δ∈S*，其中qδ*=qηάT＜δ：η∈∧άT＜δ。证据回想一下十、是菱形序列，因此对于集合Xq’，存在δ∈S*的一个平稳集，其中X，根据编码器的定义，并且由于Xδ是'的编码器qδ*

结论如下所示：

qδ*=qηx_ T＜δ：η∈∧x_ T＜δ，其中qδ*∈Şδ证明了δ是弱的成功的

2.2.定义主强迫。

备注25：以下将定义主要作用力，但在定义，我们想说明这种强制所期望的属性有这句话的意思是描述力Q′δ的一般结构并且每个δ∈S*Ş{λ}的Qδ。

（1） 我们希望这些强制力是Q0的子强制力δ（但不一定完备子算子），其中Qδ⊆Q′δ≾Q0δ。

（2） 对于条件p∈Qδ和节点η∈p，我们有p[η]∈QΔ；相同对于Q′δ成立。

（3） 完备树T＜δ属于Qδ；因此它特别属于Q′δ。

备注26：我们现在准备最终确定所需的强迫力；以下内容是强制的主要定义。从教学角度讲，定义27中的归纳应与权利要求29的证据一起携带。

定义27：该定义对δ是归纳的；我们将定义子集合或Q0d： Qd和Q′d对于所有d∈S∈{l}；此外，我们将定义该术语对于序数d∈S∈和每个h∈T＜d和一个脆弱的S⊆Såd是成功的我们将定义p§h、 d，S∈Q0d

因此，我们必须对此进行验证，见下文权利要求29。

（1） p∈Q0d∈Q′diffδ1∈dåS，lg（tr（p））＜d1⇒p↾Δ1∈Qδ1，

所以强迫Q′d

由力Qd1导出对于d1∈dåS#。

（2） p∈Q0dQd iff p§h、 d，S对于一些满足t的h，SS⊆Såd是脆弱的；这样的p§h、 d，S定义见下文第（4）条。

当它弱成功时，我们称之为成功，此外rďq§d∈Q′d为所有人说明：成功的序数代表了会有一个特殊的修理，由钻石的条件决定，所以是唯一定义的条件上的“控制”，并且与rď有关

1.相应级别的

（4） 我们假设强迫概念Q′d′，Qd′是为所有的条件p§或'，d′，S′定义为所有h′∈T＜d′和弱S′⊆S#åd′；

我们将定义p§h、 d，S∈Q0dS，以如下方式：

（a） 如果sup（S）≤lg（h），则p§h、 d，S=T[h]＜d。

（b） 如果sup（S）＞lg（h）并且S没有最大元素，则对于每个∈T＜d，∈p§h、 d，S

如果且仅当以下条件之一成立：

（i） ν

（ii）ν，并且存在lg（ν）＜d1 8712使得ν 8712p§h、 d1，Så1，

（iii）⊳ν，lg（ν）≥sup（S）并且对于所有∈S\（lg（h）+1）和我们有ν↾p§h、 d1，Så1。

（c） 如果sup（S）＞lg（h）并且S具有最后一个元素d1＜d，使得d1不成功，则对于每个ν∈T＜δ，我们有ν∈p§h、 d，S如果和

仅当以下其中一项成立时：

（i） lg（ν）＜d1∧ν∈p§h、 d1，Så1，

（ii）lg（ν）≥ν↾d1∈limd1（p）§h、 d1，Så1

（ii）回顾定义23（2）。

（d） 如果sup（S）＞lg（h）并且S具有最后一个元素d1＜d，使得d1是成功，则对于每个ν∈T＜δ，我们有ν∈p§h、 d，S当且仅当下列情况之一成立：

（i） lg（Γ）＜δ1∧Γ∈p*η、 δ1，S∈δ1，

（ii）lg（Γ）＞δ1∧Γ↾δ1∈p*η、 δ，S根据定义第页，共页*η、 δ，SåTδ1

在以下条件中：

（iii）在S的最后一个元素的水平上，过程更多有趣的对于lg（Γ）=δ1：

（A） 如果Γ/∈limδ1（rδ*1.)那么Γ∈limδ1（p*η、 δ1，S∈δ1），

（B） 如果Γ∈limδ1（rδ*1.)那么Γ∈{limδ1（qδ*1，η′）：η′∈∧*δ1｝ålimδ1（p*η、 δ1，Såδ1）。

说明：

（0）我们为什么会得出这个定义？在[6]中，我们从p=（Tλ）[η]开始，如在λ-Cohen强制中，但添加以下修剪：对于每个由不可访问组成的一个脆弱子集S⊆S*的条件基数，对于每个δ∈S，我们有一个≤δ的最大反链的集合∧δQδ。修理是：对于每个δ∈S，我们省略了级别δ避免的η这些最大反链中的至少一个（以及所有适当的初始段其中的一个处于状态）。这在证明λλ情况时有什么用处？

在[6]中，它是通过具有作为极大值的性质的反射来实现的反链；这自然需要反映“一组条件是强制中的最大反链”。自然每个最大反链在∧δ中来自于从整个强迫中的最大反链开始表示序数＜λ的名称，并要求条件从长度小于δ的主干的最大反链将在泛型集合；即我们的条件迫使这一点。没有我们怎么能做到这一点弱紧性假设？我们猜测，通过S*上的菱形结构，一个“穷人最大的反链”，这些是qδ*-s。它们看起来像rδ*内最大反链的近似，但通常很远从成为最大的反链。所以我们打算使它们最大化“法令”规定的rδ*以上的反链；或者你可以根据定义来说。这是的

课程从几个方面改变了证明。

（1） 对于水平δ∈S*Ş{λ}，其思想是主强迫Qδ是全的只在匹配的脆弱级别中修理的数，设置其理念是要有足够的“厚度”来实现所需的完整性等等。此外，条件是独特的相对与脆弱的集合和主干，根据它们的定义，是密切相关的到菱形序列，直观地说，这是强制正在绑定。

（2） 注意，我们给出了p的定义§h、 d，S

在定义27（4）中；会的

定义为T＜d的子集，但它实际上是Q0的一个成员d正如所做的那样在下面的权利要求29中。

定义28：对于d∈S∈{l}，定义dd为Qd名称：

h＝{tr（p）：p∈gQd｝哪里GQd是通用筛选器的规范Qd名称。如果d从上下文我们可以写的位置d

权利要求29：对于所有d∈S∈{l}，d∈T＜d和脆弱的S⊆Såd，如果p=p§h、 d，S那么：

（1） 如果d0∈Såd使得∈T＜d0那么p§h、 d，SΔ0§h、 d0，Såd0。

（2） h是p的主干§h、 d，S。

（3） p§h、 d，S∈Q0d

此外p§h、 d，S∈Q′d。

（4） 脆弱集S包含对应于条件p§h、 d，S，即Sp⊆S。

（5） 此外，Qd 8838；Q′d 8838，Q0d和Q.Q′l。

证据我们通过对的同时归纳来证明索赔的所有陈述序数d∈S∈{l}，假设这个命题对Qd′是真的，所以对于所有条件p§或'，d′，S′，其中d′∈dåS，h′∈T＜d′和S′⊆Såd′？我们现在将证明p§h、 d，S

其中∈T＜d和S 8838；Såd:

（1） 假设d0∈Såd使得∈T＜d0。

（a） 首先，对于d0∈S，看看p定义中的不同情况§h、 d，S：

（i） 对于情况（4）（a），p§h、 d，Sd0=（（T＜d0）[h]）§h、 d0，Såd0。

（ii）对于情况（4）（b），回忆lg（h）＜d0，的初始段为显然两者都在p中§h、 d，S↾d0和在p中§h、 d0，Såd0？对于所有∈T＜d0

根据定义的第（4）（b）（ii）条，我们认为ν∈p§h、 d，S⇐⇒ν 8712；p§h、 d0，Såd0。

（iii）对于情况（4）（c）和（4））（d），对于每个ν∈T＜d0

相关条件是（4）（c）的（i）和（4）的（d）的（ⅰ）。那些条款琐碎地暗示着ν∈p§h、 d，S⇐⇒ν 8712；p§h、 d0，Så，d0。

（b） 接下来，取任意\S。

（i） 对于d0＜sup（S），存在d0＜d′8712；S；通过归纳假说p§h、 d'，Såd′↾d0p§h、 d0，Såd0

第（1）（a）p条

§h、 d，S↾d′P§h、 d'‘Såd’，因此p§h、 d，SΔ0§h、 d0，Såd0

如下。

（ii）对于d0≥sup（S），因此为heνce ∀δ∈ S, δ0 ＞ δ；（否则是在的情况下上一条），显然是p∗η,δ,S↾ δ0 ⊆ p∗η,δ0,S∩δ0;来证明其他包含设ν∈p§h、 d0，Såd0。

（A） 如果对某些d′∈Såd0，lg（ν）＜d′⑪然后通过归纳假设ν∈p§h、 d'‘Såd’，通过前面的子句隐含ν∈p§h、 d，S。

（B） 若对所有d′∈Såd0，lg（ν）≥d′且d1在定义（（4）（c）的两种相关情况下，（4） （d）条件的水平d1由先前的S水平以及通过它是否成功，所以p§h、 d，SåT1§h、 d0，SåT1。特别是ν∈p§h、 d，S。

（C） 如果对所有d′∈Såd0，我们有lg（ν）≥d′和lg（ν）⑪∈S、 那么级别lg（ν）完全由对的限制决定之前的级别，所以我们完成了。

（2） 对于所有ν∈p§h、 d。s

首先我们将展示ν证据有分歧

分为与定义27（4）中的情况相对应的情况：

（a） 对于情况（4）（a），这是清楚的。

（b） 对于情况（4）（b），从定义和归纳也可以清楚地看出

假设

（c） 对于情况（4）（c）：

（i） 对于（4）（c）（i）通过归纳假设。

（ii）对于（4）（c）（ii）也通过归纳假设，每个这样的ν具有⊳ν。

（d） 对于情况（4）（d）：

（i） 对于第（4）（d）（i）条中选择的ν，我们有⊳ν或ν h由

归纳假说。

（ii）对于第（4）（c）（ii）条中选择的ν，我们在⊳ν中使用

归纳假说。

（iii）对于在条款（4）（c）（iii）中选择的节点ν，由于ν∈limğ1（p）§h、 d1，Så1）

以及通过归纳假说，即。

　　

其次，还需要证明η是相互作用的最大节点分支是它的一个扩展或初始段。

在情况（4）（a）中，这是清楚的；在情况（4）（b）和（4）

假设节点η是条件p的主干*η、 δ1，Såδ1对于每个δ1∈δåS*

因此它有θǫ延伸到主干+1的水平；这些扩展将是在新条件p中*η、 δ，S，因此η也将是那里的主干。对于情况（4）（d）。

回想一下，δ1是一个极限基数＞lg（η）。我们可以使用归纳假说再次观察到，在δ1级之前，没有新的假设p中不存在*η、 δ1，Såδ1，即p*η、 δ，S↾δ1=p*η、 δ1，Såδ1，因此，如果存在不同的主干包含η，它将是p的主干*η、 δ1，Såδ1以及——a矛盾

（3） 使用归纳法，首先我们将证明p*η、 δ，S∈Q0δ，检查条款

在定义15中：

（a） 对于第（1）（a）条，p*η、 δ，S是一个数集（直接来自归纳法假设），并且根据本权利要求的第（2）部分它具有主干η。

（b） 为了证明子句（1）（b），设Γ∈p*η、 δ，S.假设ηΓ（Γ⊳η的情况从情况中得出，Γ=η）来证明Γ到水平δ：

（i） 在定义27的情形（4）（a）中，设ΓΓ′∈Tδ；则也为η。因此，Γ′∈limδ（p*η、 δ，S)。

（ii）在定义27的情况（4）（b）中，由于S在没有最后元素的情况下是脆弱的，如果lg（Γ）＜sup（S），则存在sup（S）的闭无界子集C。

其中miν（C）＞lg（Γ），使得α∈C⇒[α=sup（Cåα）⇔α/∈S]。

设αi:i＜ζ按递增顺序列出C。

我们选择Γi∈p*η、 αi+1，Såαi+1，⊳-增加，¦Β¦Βi和lg（¦Γi）=αi；

这很容易，并且让̺=i＜ζ如果lg（̺）=sup（S）=δ，那么̺∈limδ（p*η、 δ，S)我们完了。所以假设lg（̺）=sup（S）＜δ，清楚地̺∈p*η、 δ，SåTlg（̺）因此（p*η、 δ，S)[̺]=（T＜δ）[\826]

因此导出结论是明确的。最后，如果lg（Γ）≥sup（S），则每与lg（Γ′)=δ具有对所有δ1∈S\（lg（η）+1），ζ＜δ1，我们有↾ζ=Γ↾ζ∈p*η、 δ1，Såδ1

因此，Γ′∈limδ（p*η、 δ，S)。

（iii）在定义27的情况（4）（c）中，δ1=max（S）。首先假设Γ∈p*η、 δ，S

满足lg（Γ）＜max（S）=δ1。则Γ∈p*η、 δ1，Såδ1和根据归纳假说，存在一些Γ′∈limδ1（p*η、 δ1，Såδ1）

其中；根据定义，我们还得到了Γ′∈p*η、 δ，S

因此留下来证明任意ν∈p的声明§h、 d，S，使得lg（ν）≥Δ1；

对于任何推广ν∈limd（p§h、 d，S)，ν′↾d1∈p§h、 d，S和

所以ν′↾x∈p§h、 d，S对于所有Δ1≤x＜d。

（iv）在定义27的情形（4）（d）中，ν∈p§h、 d，Smax（S）和d1为

成功的设b e lg（ν）：

（A） 首先假设b＜d1。根据归纳假说一个节点ν■ν′，ν′■limd1（p§h、 d1，Så1)。现在证据分开了

分为几个案例：

情形1：如果ν′⑪∈lim？1 1.)，则ν′p§h、 d，S所以我们有了将问题简化为情况β

情形2：如果ν′∈limd1（rď1.我们仍然知道因此∈r1.对一些人来说1.我们有1，̺，就这样是ν′′∈limd1 1，h），我们继续β。

（B） 其次，假设β≥Δ1。现在每一个可能的扩展都是在高度水平之后选择子句当然，在β级别的子句中有一个元素（4） （c）（ii）。

（c） 在后续级别中，采用Q0中定义的所有扩展d

（d） 集合S是脆弱的，并且Sp⊆S被下一个子句覆盖，所以Sp（的集合与M的水平）也是脆弱的。

现在我们可以看到p§h、 d，S∈Q′d：

•设d′为lg（tr（p））＜d′∈S#；在的所有情况下都可以看到定义，p§h、 d，S↾d′P§h、 d'

“Såd′∈Qd′，所以我们完成了。

（4） 从定义上看，情况（4）（a）是琐碎的。对于案例（4）（b），我们将有那个Sp§h、 d，S=D′∈SSp§h、：d′，Såd′

因此通过诱导Sp。§h、 d，S⊆S.在情况（4）（c）中，Sp§h、 d。s=Sp§h、 d1，Så1

如果是的话（4） （d），Sp§h、 d。s=Sp§h、 d1，Så1或Sp§h、 d。s=Sp§h、 d1，Så1Ş{d1}。使用感应我们完了。

（5） 阅读定义27，明确y Q′δ ⊆ Q0δ和 Qδ ⊆ Q′遵循第（3）条因为

Qd={p§h、 d，S∈T＜d和S∈d是脆弱的}，

因此，caluse（5）在第（3）条之后。因此，第（5）条确实适用。

显示Qλ=Q′λ，矛盾地假设存在p∈Q′λ\Qλ，所以对于所有δ∈S*，p↾δ∈Qδ。设S=δ∈S*Sp↾δ。如果S有最后一个元素，那么对于一些δ*∈S*，S=Sp↾δ*等

p={Γ∈T＜λ：∧∈p↾δ*∧↾δ*∈limδ*（p） }，

当max（S）＜δ时，并且根据定义27（4）的子句（c）和（d），p∈Qλ如下。

否则，S没有最后一个元素；对每个δ∈S，都有一个Γ∈p↾δ或lg（Γ）≥δ和ζ＜δ，Γ↾ζ∈p↾δ、 因此，根据定义27（4）的（b）条，p∈Qλ。

权利要求30：设δ∈S*Ş{λ}。

（1） 设p，q∈Q0δ；如果p，q是相容的，则påq∈Q0δ。

（2） 设p，q∈q′δ；则p，q是相容的当且仅当påq∈q′δ。

（3） 设p，q∈qδ；则p，q是相容的当且仅当påq∈qδ。

（4） 设p，q∈q′δ；则p，q是相容的当且仅当tr（p）∈q∧tr（q）∈p。

（5） 设p，q∈qδ；则p，q是相容的当且仅当tr（p）∈q∧tr（q）∈p。

证据事实上，我们已经在中看到了大多数陈述的存在这一主张。注意：

（1） 如果p和q相容，则设r∈Q0δ使得r⊆p，q；然后tr（p）、tr（q）tr（r）。现在，r⊆påq；假设wlog tr（p）⊳tr（q）=η；然后η将是påq的主干。对于每个η∈påq，集合{Γ∈limδ（p）：η⊳Γ}和{Γ∈limδ（q）：η⊳Γ}必须有一个非空交集作为Sp，Sq是脆弱的。对于所有η∈påq，{j∈θlg（η）：η⌢j∈p｝={j∈

因此{j∈θlg（η）：η⌢j∈påq}。最后，由于Sp、Sq是脆弱的，因此也是脆弱的Spåq⊆SpõSq（根据权利要求9），因此，påq∈Q0δ。

（2） 本条款和以下内容通过同时归纳显示：

考虑强迫Q′δ，如果p和q兼容，则存在条件r∈Q′δ：r⊆p，Q，因此tr（p）、tr（q）tr（r）。

设δ1∈δξS*，lg（tr（p））＜δ1，如p↾δ1，q↾δ1，r↾δ1∈Qδ1和r↾δ1⊆p↾δ1，q↾δ1和以下子句的归纳假设。

我们得出结论：påq↾δ1∈Qδ1和p∈Q∈Q′δ以下内容；另一个方向是琐碎的。

（3） 我们使用归纳法。考虑强迫Qδ，如果p和Q相容

存在一个条件r∈Qδ：r⊆p，Q，因此tr（p），tr（Q）tr（r）。

设wlog-tr（p）⊳tr（q）=η，设S=SpõSqδ′∈S，Γ∈påq⇐⇒Γ∈limδ′（p↾δ′)和Γ∈limδ′（q↾δ′)，通过归纳假说暗示了Γ∈limδ′（påq↾δ′)。

此外，一个以下情况之一成立：

（a） δ′不成功，

（b） δ′是成功的，并且Γ/∈limδ′（rδ*′），

（c） δ′是成功的并且Γ∈limδ′（rδ*′）（{limδ′（qδ*'，η′）：η′∈∧*δ′}）。

没有额外的弹簧，因此påq=p*η、 δ，S。

（4） 这个子句和下一个子句通过对δ的同时归纳来表示。

考虑强迫Q′δ。

•对于第一个方向，假设p和q是兼容的；就这样存在一个条件r∈Q′δ：r⊆p，Q。特别是tr（p），tr（Q）tr（r），因此tr（p），tr（q）∈r⊆påq。

•对于另一个方向，假设tr（p）∈q∧tr（q）∈p；设r＝påq并且通过前面的子句r∈Q0δ

特别地，lg（tr（p）），lg（tr（q））＜δ1

由于p，q∈q′δ

这意味着p↾δ1，q↾δ1∈Qδ1。我们可以使用归纳假说得出的结论

（p↾δ1）x_（q↾δ1）=r↾δ1∈Qδ1；

因此r∈Q′δ。

（5） 考虑到强迫Qδ，假设它适用于Qδ1，其中δ1＜δ：

•对于第一个方向，假设p和q是兼容的；因此存在r∈Qδ：r⊆p，Q。特别是tr（p），tr（Q）tr（r）

因此tr（p），tr（q）∈r⊆påq。

•对于另一个方向，假设tr（p）∈q∧tr（q）∈p，并记住对于一些节点η1，η2∈T＜δ和脆弱集S1，S2⊆S*，

事实上，条件是p=p*η1，δ，S1，q=p*η2，δ，S2。

回想一下这个假设，并通过对称性假设η1η2。

设S=S1ŞS2，我们将证明p*η2，δ，S⊆påq；这是

实际上是强迫Qδ的一个条件，参见定义27。允许Γ∈p*η2，δ，S；第（4）条规定的可能性为：

-如果S没有最后一个元素：

如果ν∈2，那么ν∈q？作为η2p，得出ν p q。

如果为了一些§或2，δ1，Såδ1

那么根据归纳假设p§或2，d1，S∈⊆p∈q∈T＜d1

所以ν∈p∈q。

*若S∈z＜z∈p§或2，δ1，Såδ1

根据归纳假设

如果S1或S2有最后一个元素将低于sup（S），并且在所有的构造可能性中可以看出，这意味着ν∈p和ν∈q。

-如果S具有不成功的最后一个元素d1：

*如果ν∈p§或2，δ1，Såδ1，那么根据我们的归纳假设p§或2，d1，S∈⊆p∈q∈T＜d1，所以ν∈p∈q。

*如果ν↾δ1∈limd1（p）§或2，δ1，Såδ1），则通过归纳假设p§或2，d1，S∈⊆p∈q∈T＜d1，所以ν↾d1∈påq。对于S1、S2、S3中的每一个，如果它不包含（p或q），而如果它确实包含匹配条件，比如p，将具有ν↾d1∈limd1（p）⇒ν∈p。

-如果S具有成功的最后一个元素d1：

*如果ν∈p§或2，δ1，Såδ1，那么根据归纳法的假设，我们有p§或2，d1，S∈⊆p∈q∈T＜d1，所以ν∈p∈q。

*如果ν∈limd1（p）§或2，δ1，Såδ1，那么根据归纳假设ν∈limd1（p∈q∈T＜d1)：

·在ν/∈limd1的情况下1.对于p，q中的每一个，如果S1或S2具有δ1作为它们的最后一个元素，ν∈p或ν∈q相应地。否则对应的S1或S2具有以下所有元素

根据定义27（4）中的可能性，ν∈påq。

•否则ν∈limd1 1.

（b）1，h′）：h′L1}；

对于p，q中的每一个，如果S1或S2具有δ1作为它们的最后一个元素，则由于ν∈limd1（påq）和由（④），ν包含在相应的条件。否则，对应的S1或S2下面有它的所有元素，因此有所有的可能性

定义27（4），ν∈påq。

如果ν↾d1∈p§或2，d，SåTδ1由于p§或2，d，SåT⊆påqåT1，因此ν∈påq，对于p的构造的任何可能性和q。

回忆一下备注25中讨论的力的必要性质；这个

第一个如权利要求29（5）所示，其余证明如下：

权利要求31：设d∈S∈{l}。

（1） 对于条件p§h、 d，S且节点ν∈p≤Qd p[ν]∈Qd和tr（p[ν]＝max｛tr（p），ν｝。如果⊳ν，那么p[ν]=p§ν、 d，S持有？这个Q′δ ⊆ Q0δ也是如此；Q0d

（2） 我们有T＜dd∈Qd和T＜dd≠Q′d因此T＜d是最小值Qd和Q′d的条件。

证据对于d∈S∈{l}：

（1） 假设p§h、 d，S设ν∈p。

•如果ν∈，那么p[ν]=p∈Qd？特别是tr（p[ν]（h）

•其他，ν。在这种情况下，p[ν]=p§ν、 d，S

我们将展示使用归纳法

查看定义27（4）的条款：

（a） 如果，与情况（4）（a）一样，p[h]＜d，则p[ν]=T[ν]d

事实上是p§ν、 d，④

因此属于Qd和tr（p[ν]=ν。

（b） 如果，如情况（4）（b），存在一个lg（h）＜d′∈S，其中ν∈p§h、 d'‘Såd’，则通过归纳假设p[ν]åT＜d′∈Qd′。此外p[ν]=p§ν、 d，S

因此属于Qd。然而（η1，η2 8712；T＜d）(η1 ⊳ η2 ∈ p∗η1,δ,S ⇒ p∗η1,δ,S ≤Qδ p∗η2,δ,S)

因此我们结束了。在lg（ν）≥sup（S）的情况下，p[ν]=T[ν]＜d=p§ν、 d，S。

（c） 如果，如情况（4）（c）和（4）如果lg（h）＜δ1∈S，则如果δ1≤lg（ν），p[ν]=T[ν]＜d=p§ν、 d，S。

（i） 在情况（4）（c）（d1不成功）中：

（A） 如果lg（ν）＜d1，则p[ν]包含的所有节点形状ν′∈p§h、 d，S

使得：（1）ν′ ⊳ ν，（2）ν ⊳。ν′和lg（ν′）＜d1和ν′∈p∗η,δ1,S∩δ1o或（3）ν′和lg（ν′）≥d1δ1∈limd1（p§h、 d1，Så1)。通过归纳，我们有那个p⑪[ν]h、 d1，Såδ1§ν、 d1，Såd！

因此p[ν]=p§ν、 d，S∈Qd和tr（p[ν]=ν。

（B） 如果lg（ν）≥δ1，则p[ν]包含的所有节点形状ν′∈p§h、 d，S

使得：（1）ν′⊳ν或（2）ν 5；ν′

（然后）

lg（ν′）≥d1）和ν′δ1不∈limd1（p）§h、 d1，Så1)，所以实际上任何ν′与ν¢ν′

在那个组中。清晰地p[ν]=p§ν、 d，S∈Qd和tr（p[ν]=ν。

（ii）在（4）（d）（d1成功）的情况下：

（A） 如果lg（ν）＜d1，则p[ν]包含的所有节点形状ν′∈p§h、 d，S

使得（1）ν′8883；ν，（2）ν 5ν′和lg（ν′）＜d1且ν′∈p§h、 d1，Så1

（3） ν⊳ν′和lg（ν′=Δ1和ν′limΔ1（p）§ν、 d1，S∈1）∈limΔ1（r1） å或′∈ηηlimΔ1（qd1，h′）；或ν′limΔ1（p）§ν、 d1，Så1）\limΔ1（r1）或（4）ν⊳ν′lg（ν′）＞d1和ν′↾d1 8712；p§h、 d，SåT1。

通过归纳，p⑪[ν]h、 d1，Såδ1§ν、 d1，Så1。从rď开始1.和h′∈L∈d1:qδ

不要依赖数集，我们看到了那个p⑪[ν]h、 d，SΔ1§ν、 d，Sδ1和p⑪[ν]h、 d，SåT1§ν、 d，Sx_ T1，

因此等式也适用于ν⊳ν′

那个lg（ν′）＞d1和p⑪[ν]h、 d，S=p§ν、 d，S∈Qd和tr（p[ν]=ν。

（B） 如果lg（ν）≥δ1，则p[ν]包含的所有节点，形状ν′∈p§h、 d，S

使得（1）ν′ν或（2）ν⊳ν′，lg（ν′）＞d1和ν′↾d1 8712；p§h、 d，SåT1为什么，从ν′↾d1⑪[ν]h、 d，S=p§ν、 d，S∈Qd和tr（p[ν]=ν。

特别地，tr（p[ν]=最大｛h，ν｝。

我们已经证明了ν∈p∈Qd⇒p[ν]∈Qd。Q’d呢？

设p∈Q′d，那么对于每一个，我们都有p接下来，观察那个q

为了ν？p？则对于所有lg（ν）≤d′∈dåS，q↾d′=（p \8638；d′）[ν]。

观察p↾d′∈Qd′，并且通过该子句的第一部分也可以（p \8638；d′）[ν]∈Qd′。

对于ν，p[ν]=p∈Q′d

特别是tr（p[ν]

（h）确实如此，tr（p[ν]=最大｛h，ν｝。

根据p[ν]，p[ν]⊆p的定义，并且由于两者强迫Qd的顺序和Q′d是反包含，通过我们刚刚证明的，如果p∈Qδ，那么p≤Qd p[ν]

如果p8712；Q′d则p≤Q′d

p[ν]。

（2） T（GGH）（d，⇧

如此琐碎地说，它属于Qd。然后根据的第一条根据这一说法，T我们完了。

引理32：如果p∈Qδ且lg（tr（p））＜α＜δ，则{p[η]：η∈påTα}是p以上Qδ的最大反链；Q′δ也是如此。

证据设η，Γ∈påTα不同；则η/∈p[η]和Γ/∈p[η].回顾

根据权利要求30第（5）条，p[η]，p[Γ]是不相容的，因此集合{p[η]：η∈påTα}是p上Qδ中的一个反链。此外，设p≤Qδq∈qδ，设η0∈qåTα⊆påT a；则p[η0]与q兼容：它们共同的上界是q[η0]，这是我们刚刚展示的qδ。清晰地

p[η0]∈{p[η]：η∈påTα}，所以这个集合确实是一个极大反链。证据对于Q′δ是相同的。

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