数学论文（关于集合中新公理的自然性学说）

注：（2/2）章节！

——由于[Ferreir´os，1999]是关于这一主题的一个很好的参考文献——我们推迟下面引用的任务是对公理集合论和个性化历史上的两个主要时期促使集合论作为基础发展的原因

学说

这样的描述[将集合论描述为一个没有实质前因的理论]似乎适合于集合论作为一个领域从1950年左右开始的元理论时期，[…]但不适用于更多1940年以前的一个恰当的理论和公理化时期。它正是在1904年至1940年这一时期是从集合论中获得的，它的公理基础，宇宙V[…]基本上是理解和澄清概念的问题数量和功能。

在Cohen的结果之后，集合论的历史主要在于一个独立的数学领域的发展，以及它的内在动机。

当从这个角度来看集合论时，ZFC的扩展意味着追求集合论的基础，主要被认为是对ZFC的不同可能模型的研究。因此，独立集合理论原则是或者为了理解它们在ZFC的不同模型中的行为而进行研究，例如，哈姆金斯对多元宇宙的公理化处理（参见[Hamkins，2012]），或者目的是在众多车型中选择合适的车型集合的可能宇宙，如阿里戈尼·弗里德曼的超宇宙程序（见[Arrigoni和Friedman，2013]）——以及其他提案——旨在做到这一点。

然而，当我们认为集合论是数学的基础时，我们应该从技术和结果是在1963年之后发展起来的。正如[Ferreir os，2011]中所述，集合论在阐明数学基础方面的作用在于对…的最一般概念进行数学处理的尝试数和函数，根据更原始的任意集的概念。

任意集是其存在独立于我们对定义它们。因此，根据定义，任意集合不允许表征或明确的描述，但它的存在源于象Cantor关于实数不可数性的存在定理。

事实上，既然我们的语言是可数的，那么总会有真实的存在数字的定义超越了我们语言的表达能力。这个与这个概念相关的数学对象的概念是拟的组合主义，如[Bernays，1983]所述。

但分析并不满足于这种温和的柏拉图主义[取所有给定数字的集合]；它将其反映为关于以下概念的更强程度：数集，数字的意义和函数。它从可能性中抽象出来给出集合、序列和函数的定义。这些概念在“准组合”意义上使用，我的意思是：把无限比作有限的感觉。

例如，考虑分配给每个的不同功能有限级数1、2、…的成员，n同一系列的一个数。

有nn这类函数，并且它们中的每一个都由n获得独立决定。转到无限的情况，我们想象由无穷多个独立决定产生的函数它为每个整数分配一个整数，我们对这些功能的总和。

以同样的方式，我们将一组整数视为无穷的结果许多独立的行为决定每个数字是否应该包括或排除。我们在此基础上增加了整体性的概念这些集合中的一个。实数序列和实数集以类似的方式设想。从这个角度来看，具体函数、序列和集合的构造性定义是挑选独立存在的对象的唯一方法，以及在施工之前。

在[Ferreir´os，2011]中，有人试图分析ZFC的哪些公理是能够形式化——以及在多大程度上——任意集的概念除了选择公理外，他们中的大多数人都很穷捕捉这一概念。出于同样的原因，我们可以很容易地将V=L丢弃为不自然，因为只考虑可构造集给出的限制是与任意集合的概念完全正交。然而，在可构建的宇宙中，AC持有的事实并不是它捕捉能力的暗示这个特定的概念，但恰恰相反：没有任意性，在有限的情况下，使选择变得微不足道。

最后，我们想为今后的工作制定一个计划。一类公理可以在该设置中分析的是Forcing Axioms，我们计划在未来的作品中探究它们的自然性。选择的原因这种类型的公理，而不是，例如，大型基数公理，首先是由于文学中缺乏对这些问题的充分哲学论证原则。此外，它的局部公理的特殊性质代表了一个挑战因为他们的理由，这在大基数的情况下是无法理解的。

具体地说，我们建议重新表述关于按以下方式强制Axioms。

1.问题1：

任意集的概念对于直觉来说是必要的吗强迫公理的动机？

2.问题2：

Forcing Axioms在多大程度上捕捉并强化了这一点主意，我们相信，只有对上述问题给出积极的答案，我们才能主张这些公理的自然性。事实上，根据我们的想法自然性判断隐藏了一个规定性的组成部分，我们相信首先我们应该将我们想要形式化的集合论的相关方面个性化，只有在随后，我们才能支持公理的自然性就其与公理化目标的相关性而言&在这个特定的案例中任意集概念的形式化。

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