数学论文（关于集泛多重宇宙）

摘要：强制方法是证明一致性的有力工具关于集合公理一致性的集合论断言学说Laver定理和Bukovsk´y定理断言集合是一般的给定地面模型的扩展构成了一个相当合理的集合论的一类足够一般的标准模型。在本文的第2和第3节中，我们给出了Bukovsky定理的一个证明在现代环境中（这个定理的另一个证明见[4]）。在节中4我们检验集合泛型扩展的多元宇宙是否可以被处理作为保守扩张中的可数传递模型的集合ZFC。最后一节讨论的是无穷多个独立按钮，产生于模态理论J.Hamkins和B.Loewe[12]对集合一般多元宇宙的方法。

1.作为集合论的强迫扩张范畴

多元宇宙强迫方法是证明集合论一致性的有力工具相对于集合公理的（一致性）的（即数学的）断言学说如果集合论的LZF语言中的一个句子σ被证明是相对的。通过一些强迫论证与集合论（ZFC）的公理一致在希尔伯特严格的有限论观点的意义上是这样的：强迫证明可以被重新转换为算法A，这样，如果一个的形式证明P如果给定了ZFC+σ的矛盾，则我们可以用A对ZFC甚至ZF单独矛盾的另一个证明的帮助。

然而，“工作集理论家”更喜欢看到他们的强制性论点不仅仅是关于形式系统中公式操作的讨论，而是关于他们“生活”的“真实”数学宇宙。因此，强迫它们是一种扩展集合论宇宙的方法，其中它们最初对许多人“活着”（地面模型，通常表示为“V”）（实际上比V意义上的许多类）集合论的不同模型称为V的一般扩展。实际上，一个泛型扩展族是为某些V可定义偏序P构造。每个这样的一般扩展首先通过固定所谓的一般滤波器G来获得在P之上，坐在V之外，对V有一种“一般”的超越，以及然后通过将G添加到V来生成一个新的结构——通用扩展V的V[G]，它也是ZFC的一个模型。通常这个取泛型的过程集合论某些模型上的推广甚至无限重复多次时间。因此，一个进行强迫建构的集合论者被认为是活着的，同时在集合论的许多不同模型中。这表现在许多关于强迫的技术性论述，读者经常会发现叙事以短语开头，比如：“在V[G]中工作，…”，“让α＜κ是这样的x在第α个中间模型V[Gα]中，并且…”，“现在回到V，…”等。

尽管这种“多元宇宙”的强迫观在某种意义上只是一种方式洛芬迪，研究这个多元宇宙的可能图片是值得的se。已经在这个方向上进行了一些初始移动，例如在[1]、[2]、[5]、[6]中，[7] ，[8]，[11]，[12]，[21]，[24]等。“多元宇宙”一词可能起源于Woodin的作品，他认为“集合通用多元宇宙”，“类”形成给定初始宇宙V的闭包的集合论宇宙集下一般扩展和集一般地面模型。有时我们也必须考虑集合通用多元宇宙的星座，其中V不能被重构为一些甚至任何适当的集合的泛型扩展V的内部模型。要处理这种情况，考虑一下更方便扩展的通用多元宇宙，其中我们还假设多元宇宙是也在可定义的内部模型的构造下闭合。

集合通用宇宙应该与“类通用多元宇宙”区分开来，后者以相同的方式定义，但涉及类强制扩展和基础模型，以及类通用扩展的内部模型它们本身不是类泛型的（参见[5]）。甚至可以通过考虑条件为类的强迫，即所谓的超类，来超越类强迫强制力（见[6]）。关于多元宇宙，最广泛的观点是用[7]表示，其中“超宇宙”由所有宇宙组成它们与初始宇宙（被认为是可计数以促进新宇宙的构建）。超宇宙是在所有强迫的观念下封闭。

在本文中，我们将注意力限制在集合泛型多元宇宙上。这个建立了集合泛多元宇宙问题的适定性通过我们在第2节中讨论的Laver和Bukovsk´y定理。这些定理证明了的集一般扩张和集一般基模型给定的宇宙代表一类具有自然特征的模型。

集合通用多元宇宙的直接公式需要不能在通常的框架中处理的类的“类”概念ZF集合论，但是，正如开头所强调的，关于集合泛多元宇宙的定理实际上是关于ZFC的元定理。然而，我们也可以考虑一个理论，它是ZFC的保守扩展，其中集合是泛型的扩展和集合通用地面模型是理论和将通用多元宇宙设置为可定义类。在第4节中，我们考虑这样一个系统并证明它是ZFC的保守推广。

多元宇宙的观点有时会突出一些永远不会出现的问题在强迫结构的传统上下文中被问及（参见[11]）。一体

例如，我们在第5节中考虑无限的存在性问题许多独立的按钮（在[12]的意义上）。

2. Laver定理和Bukovsk´y定理

在强迫语言中，我们经常不得不表示某个集合已经在地面模型，例如：p k–p“。

˙x处于V和…”。在里面在这种情况下，我们总是可以找到一个足够大的序数ξ，使得问题应该在地面的累积层次中找到模型因此，我们可以将上面的陈述重新表述为就像p k–p“。

˙x∈Vξ和…”这是强迫的合法表达语言这可能是最近才证明的原因之一。

地面模型总是可以在任意集合的一般扩展中定义的：

定理2.1（R.Laver，[17]，H.Woodin[23]）。中有一个公式LZF使得，对于ZFC的任何传递模型V和集合的泛型扩展V的V[G]存在一个∈V，使得对于任何b∈V[G]b∈V⇔ V[G]|=ξ*（a，b）。

Laver定理的一个重要推论是ZFC的模型最多可以有可计数的多个集合强迫的地面模型。

Bukovsk´y定理给出了的内部模型M的自然特征V，使得V是M（1）的集合一般扩展。注意，根据Laver定理，

定理2.1，这样的M在V中是可定义的。然而，内部模型MV的一个类可以被引入冯-诺伊曼-贝奈斯-G模型的意义上类理论（NBG），在这种情况下，M在V中的可定义性可能不是立即清除。

让我们从以下关于κ-c.c.泛型扩展的观察开始。如果偏序的每个元素至少有两个彼此不兼容的扩展。

引理2.2。设κ是正则不可数基数。如果P是κ-c.c.无原子偏序，则P添加2的新子集＜κ.证据在不失一般性的情况下，我们可以假设P由正κ-c.c.无原子完全布尔代数的元素。请注意，P添加了新的On的子集，因为P添加了一个新的集合（例如（V，P）-泛型集合）。假设˙S是On的一个新子集的P-名。设θ是一个足够大的正则基数设M≺H（θ）为(2.1)|M|≤2＜κ;(2.2)＜κM⊆M和(2.3)P˙S，κ∈M。

设T是一个P-名称，使得k–P“T”=˙SåM”。通过（2.1），就足以表明其中V表示地面模型：

权利要求2.2.1。k–P“T*6∈V”。

⊢否则将存在p∈p和T∈V，T⊆On使得(2.4)p k–p“T*=T”。

我们在下面证明，然后我们可以在PåM中构造一个严格递减序列hqα：α＜κi，使得(2.5)所有α＜κ的p≤Pqα。

但由于{qα·−qα+1:α＜κ}是P的成对不相交子集，因此与P的κ-c.c.相矛盾。

假设已经构造了一些δ＜κ的hqα：α＜δi。如果δ是极限，设qδ=πα＜δqα。那么我们有p≤Pqδ和qδ≤P对所有α＜δ的qα。自从hqα：α＜δi∈M通过（2.2），我们也有qδ ∈M.

如果δ=β+1，那么，由于M|=“qβ不决定˙S“由元素性对于M，存在ξ∈OnåM和q，q′∈PåM与q，q’≤Pqβ，使得q k–P“ξ∈˙S“和q′k–P”ξ6∈˙S”.其中至少有一个，比如q，必须是与p不相容。则qδ=qβ·−q是所需的。

⊣（权利要求2.2.1）（引理2.2）

注意，翻译成完全布尔代数的语言上面的引理只是断言没有κ-c.c.无原子布尔代数B是（2＜κ, 2)-分配的。

假设我们现在在NBG中工作，V是ZF和M的传递模型ZF在V中的内部模型（即M是具有（M，∈）|=ZF的传递类⊆V）。

对于M中的正则不可数基数κ，我们说Mκ-全局覆盖V。如果对于dom（f）∈M和rng（f）⊆M的每个函数f（在V中），存在一个函数g∈M且dom（g）=dom（f）使得f（i）∈g（i）且M|=|g（i＜κ对所有i∈dom（f）。

定理2.3（L.Bukovsk´y，[3]（2））。假设V是的传递模型ZFC，M⊆V是ZFC的内部模型，κ是正则不可数基数在M中，则Mκ-全局覆盖V当且仅当V是κ-c.c.集泛型M的扩展。

正如论文的裁判所指出的，这个定理可以被公式化得更多自然地在von Neumann-Bernays-G模型类理论（NBG）中，自ZFC的框架——这个定理只能表示为一个元定理，也就是说，作为一个定理的集合，由每个定理的相应语句组成该公式可以定义内部模型M。

定理2.3的证明：如果V是M的κ-c.c.集的一般扩展，比如通过一个偏序P∈M，其中M|=“P具有κ-c.c.”，则很明显Mκ-全局覆盖V（对于如上所述的f，设fΓ∈M是f的P-名，g是通过让g（α）是f（α）可以取的所有可能值的集合来定义）。

相反的证明是通过下面的引理2.4来完成的。注意，根据Grigorieff定理（见下面的推论2.6），这个引理的陈述是Bukovsk´y定理的结果：

引理2.4。假设M是ZFC的传递模型V的内部模型使得Mκ-全局覆盖M中某些κ正则不可数的V。然后对于任意A∈V，A⊆On，M[A]是（3）M的κ-c.c.集的一般扩展。

注意，M[A]不是一个集泛型外伸很容易发生。例如，0#存在并且M=L，则M[0]不是集合泛型M的扩展。

我们首先证明定理2.3遵循引理2.4。假设Mκ-全局覆盖V。我们必须证明V是κ-c.c.集的泛型扩展在V中，设λ是正则基数，使得λ<κ=λ和A⊆关于集，使得（2.6）（P（λ））M[A]=（P（波长））V。

那么，根据引理2.4，M[A]是M的κ-c.c.泛型扩展，因此我们有M[A]|=“κ是正则基数”。实际上我们有M[A]=V。否则存在一个B∈V\M[a]且B⊆On。由于M[a]κ-全局覆盖M[A][B]，我们可以在这对上应用引理2.4，并得出M[A][B]是M[a]的一个（非平凡的）κ-c.c.一般扩展。根据引理2.2，有一个新的M[A][B]中P（（2＜κ）M[A]）⊆P（λ）的元素。但这与（2.6）相矛盾。（定理2.3）

引理2.4的证明：我们在M中工作，并构造了κ-c.c.偏序使得M[A]是M上的P-一般扩展。

设µ∈On为A⊆µ且设L∞（µ）为不定式句子原子句逻辑(2.7) “α ∈˙A.

“对于α∈µ以及在和下结束的句子类别∨∨哪里将应用对一个公式，对一个任意的公式集。具体来说，让我们假设原子句子“α ∈˙A.“的α ∈µ由集合编码hα、 对于α∈µ，0i，h的否定，ξ，1i和无限析取∨∨Φ通过hΦ，2i。我们把两个公式的常析取∧看作一个特例和其他逻辑连接词，如“∧∧”∧”, “→” 作为介绍常用组合的缩写和∧∧.对于一句话ξ∈L∞（µ）和B⊆µ时，如果形式“α∈˙A.“中的”被解释为“α∈B”，并且“中的逻辑连接词是”以规范的方式解释。对于一组Γ的句子，我们写B|=Γ，如果B|=ψ，对于所有ψ∈Γ。对于Γ⊆L∞（µ）和Γ，如果B|=Γ意味着B|=对于所有B⊆µ（在V中）。

设⊢是某个逻辑系统中L∞（µ）的可证明性的概念正确的（即Γ⊢Γ总是意味着Γ|=Γ）（4） ，向上绝对值（即M⊆N并且对于任何传递模型M，M|=“Γ，ZF的N）并且足够强（使得下面使用的所有自变量都有效为此⊢）。在第3节中，我们介绍了一个这样的演绎系统（以及基于L´evy的一种不使用这种推导系统的替代方法绝对）。

设λ=max{κ，µ+}和Lλ（µ）=L∞（µ）x_（Vλ）M。设f∈V是映射f：（P（Lλ(µ)))M\ {∅}→（Lλ(µ))M

使得，对于任何Γ∈(P(Lλ(µ)))M\ {∅},我们有f(Γ)∈Γ和A|=f（Γ）如果A|=∨∨Γ.自从Mκ-全球覆盖范围V，存在一个g∈M，其中g：（P(Lλ(µ)))M\ {∅}→ P＜κ(Lλ(µ))M使得对于所有Γ∈（P（L）λ(µ)))M\ {∅}.

　　

在M中，设(2.8)T={∨∨Γ→∨∨g(Γ) : Γ∈P（Lλ（µ））\ {∅}}.

注意M[A] |= “A.|=T”.由此可见T与我们的一致扣除制度（第五节）。在M中，设(2.9)P=｛ξ∈Lλ（µ）：T 6⊢并且对于Γ，ψ∈P，设（2.10）ξ≤Pψ⇔ T⊢→ ψ.

权利要求2.4.1。对于Γ∈Lλ（µ），如果A|=Γ，则我们有ξ∈P。特别地，

“α ∈˙A.“∈P对于所有的α∈A和”（α∈˙A.)“对于所有的α∈µ\A∈P。

⊢假设A|=Γ。我们必须显示T 6⊢：如果T在M中，那么我们会具有V|=“T⊢，ξ”。由于V中的A|=T，因此得出A|=。这是一个矛盾⊣（权利要求2.4.1）

权利要求2.4.2。对于Γ，ψ∈P，当且仅当（2.11）T 6⊢-（ξ∧ψ）。请注意，（2.11）相当于（2.12）第6节(⇔ T 6⊢→ ¬ψ).

假设Γ，ψ∈P是相容的。根据≤P的定义，这意味着存在η∈P使得T⊢η→ ξ和T⊢η→ ψ.对于这个η，我们具有T⊢η→ (ϕ ∧ ψ).由于T 6⊢，η由T的一致性决定，因此t6⊢-（ξ∧ψ）。

反之，如果T 6⊢-（ξ∧ψ）。则（ξ∧ψ）∈P。由于T⊢（Γ∧Ψ）→ 和T⊢（ξ∧ψ）→ ψ、 我们有（Γ∧ψ）≤PΓ和（ξ∧Ψ）≤Pψ。因此，ξ和ψ为与≤P相容。

⊣（权利要求2.4.2）权利要求2.4.3。P具有κ-c.c。

假设Γ⊆P是一个反链。由于|g（Γ）|＜κ，因此证明了g（Γ）=Γ。否则，设Γ0∈Γ\g（Γ）。自“∧∧Γ”→∨∨g（Γ）“∈T和⊢ ϕ0→∧∧Γ，我们有(2.13)T⊢ϕ0→（Γ）。

由此可见

Γ∈g（Γ），使得Γ0和Γ是相容的。这是因为否则我们会有T→ 根据权利要求2.4.2，对于所有的Γ∈g（Γ）。

因此T⊢ξ0→∧∧｛，Γ：Γ∈g（Γ）｝，等价于T⊢ξ0→ （Γ）。

由此和（2.13）可知T⊢，ξ0。但这与假设ξ0∈P。

现在，由于Γ是成对不相容的，因此可以得出Γ0=Γ∈g（Γ）。这是与选择的Γ0相矛盾的。

⊣（权利要求2.4.3）在V中，设G（A）=｛ξ∈P:A|=Γ｝。根据权利要求2.4.1，我们有G（A）=｛ξ∈Lλ（µ）：A|=ξ}，并且A可由M上的G（A）定义为{α∈µ：“α∈˙A.” ∈G（A）}。因此我们有M[G（A）]=M[A]。

因此，以下两项权利要求证明了我们的引理：

权利要求2.4.4。G（A）是P中的一个滤波器。

假设Γ∈G（A）且Γ≤Pψ。因为这意味着A|=ξ和T⊢→ ψ、 得出A|=ψ。即ψ∈G（A）。

现在假设Γ，ψ∈G（A）。这意味着（2.14）A|=ξ和A|=ψ。

因此，我们有A|=ξ∧ψ。根据权利要求2.4.1，得出（ξ∧ψ）∈P，即，T╱⊢-（ξ∧ψ）。因此，根据权利要求2.4.2（权利要求2.4.4）

权利要求2.4.5。G（A）是P-一般的。

⊢在M中工作，假设Γ是P中的最大反链。根据权利要求2.4.3，我们有|Γ|＜κ，因此我们有∧∧Γ∈Lλ(µ)因此∧∧Γ∈P：对于Γ∈Γ，由于ξ∈P，我们有T ╱⊢，Γ和⊢ ϕ→∨∨Γ.如下所示T╱ ⊢∨∨Γ.

此外，我们有T╱⊢∨∨Γ：否则∨∨Γ将是的一个元素P与每个Γ∈Γ不相容。Γ的最大性的矛盾。

因此A|=∧∧Γ，因此存在Γ∈Γ使得A|=ϕ.也就是说，Γ∈G（A）。

⊣（权利要求2.4.5）（引理2.4）

引理2.4定理2.3的证明依赖于引理2.2和选择公理既涉及引理2.2的陈述，也涉及引理的证明。

另一方面，引理2.4可以在不假设公理的情况下被证明M中的选择：从权利要求2.4.5的证明中消除选择就足够了。

权利要求2.4.5在M中无选择公理的证明：工作M、 假设D是P的稠密子集。那么a|=∧∧D：否则我们

会有T ╱⊢∧∧D。自从（2.15）T⊢∧∧D↔∨∨g（D），因此，T╱⊢∨∨g（D）。自从∨∨g（D）∈Lλ（µ），这意味着∨∨g(D)∈P

由于D在P中存在Γ0∈D使得T⊢ξ0→ ¬∨∨g（D）).通过（2.15），

因此T⊢ξ0→ ¬∧∧D。另一方面，由于ϕ0∈D我们有T⊢ξ0→∧∧D。因此，我们有T⊢ ¬ϕ0，这与ϕ0∈P.

因此ξ1∈D使得A|=ϕ1，即Γ1∈G（A).

（权利要求2.4.5，不含M中的AC）

这句话的下一个推论是：

推论2.5。在NBG工作。假设V是ZFC的一个模型，M是V（ZF）的内部模型，使得Mκ-全局覆盖V。如果V=M[A]对于某些集合A⊆On，则V是M的κ-c.c.集的一般扩展。

如果没有额外的假设，我们不知道推论2.5是否为假V是一组序数A的M[A]。

更一般地说，如果存在ZF的任意模型的集泛型扩展的特征，则它似乎是开放的；或者至少是这样的扩展由在地面模型中良好有序的偏序给出。

Grigorieff定理也可以通过对的证明的修改而得到定理2.3。

推论2.6（S.Grigorieff[10]）。假设M是模型的内部模型ZFC的V，并且V是M的集一般扩展。那么V（ZFC的）与M⊆N是M的集一般扩展，因此可定义在V中。同样，对于这样的N，V是N的集合一般扩展。

如果V是κ-c.c.集M的一般扩展，那么N是κ-c。

M和V的集一般扩展是N的κ-c.c.集一般扩展。

类似于定理2.3，我们也可以刻画通过基数≤κ的偏序获得的一般扩展。

对于如上所述的M和V，我们说V是κ-可分解为M的，如果对任何a∈V与一个⊆M，存在ai∈M，i∈κ使得a=Şi<κ人工智能。

定理2.7。假设V是ZFC的传递模型和M内部ZFC的模型可在V中定义，κ是M中的基数。那么V是泛型M通过M中大小≤κ（在M中）的偏序的扩张当且仅当Mκ+-全局覆盖V，V可分解为M。

证据如果V是M由一般滤波器G在部分上的一般扩展排序P∈M的大小≤κ（在M中），则P具有κ+-c.c.，因此Mκ+-通过定理2.1全局覆盖V。V是κ-可分解成M的，因为对于任何a∈V，其中a=*aG，我们有a=Ş｛｛m∈m：p k–P“m∈˙一“}：p∈G}。

现在假设Mκ+-全局覆盖V和五、是κ-可分解为M根据定理2.3，M中存在一个κ+-c.c.偏序P和一个P-一般滤波器使得V＝M[G]。在不失一般性的情况下，我们可以假设P由完全布尔代数B（在M中）的正元素组成。

通过κ-可分解性，G可以分解为κ集Gi∈M，i＜κ。

在不失一般性的情况下，我们可以假设1lP强迫了这一事实。所以让˙G是G的标准名称，并且˙Gi、 i＜κ分别是Gi、i＜κ，我们可以假设（2.16）k–P“˙G=∪i＜κ˙Gi”.

在M中工作，letten、i⊆P是最大成对不相容条件集p决定˙Gi为Gi，p∈M对于每个i＜κ。通过P的κ+-c.c.，我们有| Xi| ≤ κ.显然，我们有p≤p所有i＜κ和p∈Xineneneea的πB Gi，p允许P′=Ş｛Xi：i＜κ}.然后|P′| ≤ κ.

权利要求2.7.1。

P′密集在P.⊢假设p∈p，则存在q≤p使得q决定一些˙G我就是Gi，q，并且p∈Gi，q。设r∈Xi与q相容，则r≤PπB Gi，r=πB Gi，q≤p⊣（权利要求2.7.1）

因此W、是P′-M上的一般扩展。

（定理2.7）

3. L∞（µ）的形式演绎系统

在引理2.4的证明中，我们使用了L∞（µ）的形式演绎系统具体说明我们正在使用的系统。考虑一个系统就足够了包含我们在证明过程中使用的所有逻辑公理的推导以及一些不定数推理规则，如：

φᵢ → ψ，i ∈ l

────────────

　　 ⨈{φᵢ：i ∈ l} → ψ

我们需要这样一个系统的正确性和向上的绝对性保持，同时我们不使用任何版本的系统完整性。

无穷逻辑的形式演绎系统已经得到了广泛的研究在20世纪60年代和70年代，参见例如[14]、[15]、[20]。然而，具体地说，我们将在下面介绍L∞（µ）的这样一个演绎系统S。

我们在这里的一项特殊任务是，我们必须制定我们的推理系统使得S不依赖于AC，从而我们可以将其应用于内部模型M其不一定满足AC以获得推论2.5。

回想一下，我们已经引入了L∞（µ）作为包含设hα，0i，α∈µ为预失真“α∈˙A.

“对于α∈µ和闭关于hΓ，对于Γ∈L∞（µ）为1i，对于所有集Φ⊆L∞hξ，1i和hΦ，2i表示，和分别为∧∧Φ。这里，更准确地说关于无限连接词的作用我们加上无限逻辑连接词∧∧，并假设∧∧Φ由编码hΦ，3i，因此L∞（µ）也是闭合的关于hΦ，3i适用于所有Φ⊆L∞（µ).

　　

The axioms of S consist of the following formulas:

(A1) φ(φ₀，φ₁ ...，φₙ₋₁)

for each tautology φ(A₀，A₁ ...，Aₙ₋₁) of (finitary) proposit ional logic and

φ₀，φ₁...，φₙ₋₁ ∈Ը ∞(lt);

(A2) φ →⨈Φ and ⨇Φ → φ

for any sct Φ ⊂ Ը ∞(μ) and φ ∈ Φ;

（A3）¬(⨇Φ) ↔ ⨈{¬φ：φ ∈ Φ}

¬(⨈Φ) ↔ ⨇{¬φ：φ ∈ Φ}

for any sct Φ ⊆ Ը∞(μ); and

(A4)φ∧(⨈Ψ) ↔ ⨈{φ∧ψ：ψ ∈ Ψ}and

φ ∨(⨇ Ψ) ↔ {φ∨ψ：ψ ∈ Ψ}

for any φ ∈ Ը ∞(μ) and any set Ψ ⊆ Ը ∞ (μ).

Deduction Rules：

{φ，φ → ψ}

(Modus Ponens) ────────

ψ

(R1) {φ → ψ：φ ∈ Φ}

────────

⨈Φ → ψ

(R2){φ → ψ：ψ ∈ Ψ}

────────

φ → ⨇Ψ

A proof of φ ∈ Ը∞(μ) from Γ ⊆ Ը∞(μ) is a labclcd trcc (Τ，f) such that

(3.1) Τ＝ 〈Τ，≤〉 is a tree growing upwards with its root r₀ and Τ with (≤)⁻¹ is well-founded；

(3.2)f：Τ → Ը∞(μ)；

(3.3)f(r₀)＝φ；

(3.4) if t ∈ Τ is a maximal element then either f(t) ∈ Γ or t is one of the axioms of S；

(3.5)if t ∈ Τ and P ⊆ Τ is the set of all immediate successors of t，then

{f(p)：p ∈ P}

────────

f(t)

is one of the deduction rules.　

　　

我们必须在这里强调，在（3.5）中，我们不假设函数f是一对一的，否则我们必须为中的每个公式选择一个证明在（R1）和（R2）的前提中的集合。因此，例如，我们可以推断T⊢在S中的∧∧Φ来自T⊢ξ，对于所有的Γ∈Φ而不吸引AC。

现在，以下内容的证明是一个简单的练习：

3.1号提案 .（1） 对于任何B⊆µ，T \8838 L∞（µ）和ξ∈L∞并且B|=T，那么我们有B|=ξ。

（2） 对于ZF的传递模型M、N使得M是N的内部模型，如果M|=“hT，fi是在L∞（µ）中的一个证明”，则N|=“hT，fi是在L∞（µ）中的一个证明”。

证据（1） ：通过对固定证明h T，fi的共尾子树的归纳。(2):明确定义。

（3.1号提案）

通过演绎系统进行论证的另一种设置是在引理的证明中利用M|=“Γ2.4:

M|=“Γ⊢ξ”当对于某个集合中的任意B⊆µ强制扩展M[G]M、 对于所有ψ∈Γ，M[G]|=B|=ψ总是意味着M[G]|=B|=Γ。

注意，这在M中是可定义的，使用在M上可定义的强迫关系。

这一概念是否具有所期望的绝对程度还有待验证。

实际上，我们可以很容易地证明完全绝对性，也就是说，如果N是可传递的包含M的模型，其序数与M的序数相同，则对于Γ，Γ∈M。当M|=Γ⊆L∞（µ）和M|=ξ∈L∞在N中。

首先假设B⊆µ是集合泛型扩展N[G]中的一组序数使得B见证了Γ⊢Γ在N中的失败。设x是实数足够大的Γ到ω的L´evy坍缩的一般性在N上使得Γ和µ在一般扩展N[x]中成为可数的。那么x也是L´evy泛型并且M[x]是N[x]的子模型。根据L´evy绝对性，它遵循M[x]中存在B′⊆µ，这也见证了Γ。

相反，假设Γ⊢ξ在N中成立，并设B⊆µ是一组序数在M的一个集合泛型扩展M[G]中，使得B见证Γ在M中，那么B也属于M的一个推广，它对L´evy是通用的足够大的Γ到ω的坍缩；在这个强制中选择一个条件p强制这样一个B的存在。现在如果x是N上的L´evy泛型，并且包含在条件p中，我们看到在N中存在Γ

在N[x]中，与我们的假设相反。

通过对⊢的两种解释，我们可以检查中的论点第2节通过。

4 . 集合一般多元宇宙的公理化框架

在这一节中，我们考虑集合泛型的一些可能的公理化处理多元宇宙。这种公理化处理也在例如[9]、[19]、[22]中进行了讨论。

我们引入了ZFC的一个保守扩展MZFC，其中我们可以处理集合的多元宇宙ZFC模型的一般扩展作为的集合可数传递模型。该系统或其进一步扩展（也可能处理温和的阶级强迫）可以用作直接的基础关于多元宇宙的表述。

公理系统MZFC的语言LMZF由ǫ-关系组成符号‘∈’，和一个常数符号‘v’，它应该表示可数可传递的“地面模型”。

公理系统MZFC包括

（4.1）ZFC的所有公理；

（4.2）“v是一个可数传递集”；

（4.3）对于ZFC的所有公理的“v|=ξ”；

通过（4.1），MZFC证明了“{v}”的闭包M的（唯一）存在性强制下扩张和“ZF”的可定义“内部模型”（此处设置“ZF因为我们只能在元数学中争论“内部模型”满足每个替换实例）。注意M⊆Hℵ1.

这里的“内部模型”实际上在LZF中被表述为“传递的几乎普遍的”子集在G模型操作下关闭”。如果我们有v|=ZFC，我们会根据[13]中的定理13.9，在这个意义上v的任何内部模型w的w|=ZF。在里面

然而，MZFC，对于ZFC的每个公理，我们只有v|=ξ（在元数学中）。然而，对于所有这样的“内部模型”w，因此对于所有w∈M，通过定理13.9的证明，我们得到ZF的所有公理[13]和强迫定理。显然，这足以考虑M这个框架作为集合的通用多元宇宙。

类似地，我们也可以从ZFC的任何扩展开始（例如，用一些额外的大基数公理），并使M在更多的运算下闭合例如一些很好区分的类强制扩展类。

下面的定理表明，我们不增加一致性强度通过从ZFC移动到MZFC。

定理4.1。MZFC是ZFC的保守扩展：对于中的任何句子ψLZF，我们有ZFC⊢ψ⇔ MZFC⊢ψ。特别地，MZFC是等一致的使用ZFC。

证据“⇒” 是微不足道的。

对于“⇐”, 假设LZF中公式ψ的MZFC⊢ψ。设P为由MZFC证明ψ，设T为ZFC的有限片段ZFC的公理Γ使得v|=Γ出现在P中。设Φ（x）是中的公式LZF说“x是可数传递集，x|=∧∧T”。

通过演绎定理，我们可以把P重新定义为ZFC的一个证明⊢∀x（Φ（x）→ψ).另一方面，我们有ZFC⊢∃xΦ（x）（根据反射原理，向下的L¨owenheim-Skolem定理和Mostowski的坍缩定理）。

因此，我们仅从ZFC中得到了ψ的一个证明。

（定理4.1）

如果在从元宇宙看多元宇宙只是一个可数集合。当然如果M是ZFC的模型W的内部模型（即传递类⊆W和M，W|=ZFC）总是存在偏序P在M中，W中没有（M，P）-泛型集（例如任何偏序折叠W的基数不能在W中具有其泛型集）。

然而，如果我们满足于一个不是完整模型的元宇宙ZFC，我们可以使用以下设置，其中的每个“元素”集合通用多元宇宙是元宇宙的内部模型：从具有不可访问基数κ的ZFC的模型V，我们一般将其扩展到W=V[G]通过L´evy将κ坍缩为ω1。设M=H（κ）V，我们有M|=ZFCM是W=H（κ）V[G]=H（ω。W|=ZFC−功率集公理，并且对于M中的任何偏序P，在中存在一个（M，P）-泛型集W的一个新的一元谓词对应的NBG型理论到M可以作为集合一般多元宇宙理论的框架（它是通过考虑M的所有集合一般基而获得的，然后所有它们的集合泛型扩展等）作为W中类的“类”类似的想法也在[19]中进行了讨论。

5 . 个独立按钮

多元宇宙的观点有时会突出一些永远不会被问到的问题在强制构造的传统上下文中。无限的存在许多独立的按钮与角色有关集合一般多元宇宙的模态逻辑（见[12]）就是这样一个问题。

如果地面模型V的任何集合泛型扩展V[G]具有进一步的集合泛型扩展，则LZF中的句子ξ被称为按钮（用于集合泛型）V[G][H]，使得在V[G][H]的所有集合泛型扩展中。让我们说在集合的通用扩展V[G]中按下一个按钮，如果设置V[G]的泛型扩展V[G][H]（包括V[G]本身）。

公式ξn，n∈ω是独立的按钮，如果Γn，n∈ω未按下按钮，并且对于地面模型V的任何集合的通用扩展V[G]和任何V[G]中的X⊆ω，（5.1）如果{n∈ω：V[G]|=Γn被推}⊆X，则存在一个集泛型扩展V[G][H]，使得{n∈ω：V[G][H]|=Γn被推}=X。

在[12]中，声称公式bn，n∈ω在V=L上形成独立按钮的无限集，其中bn是断言：“ωnL不是大基数”。这被用来证明强迫的原理在作为Kripke框架的集合论多元宇宙的模态逻辑运算符被解释为：(5.2)M|=⇔ 在M的所有集合泛型扩展M[G]中，我们有M[G]|=与模态理论S4.2（[12]中的主要定理6）一致。

不幸的是，似乎无法保证（5.1）在这些bn，n∈ω的任意集广义扩张V[G]。

在下文中，我们引入一组无穷多公式实际上是ZFC+“GCH的任何地面型号的独立按钮在下面ℵω” + “ℵn=ℵ自然对数对于所有可用作bn的n∈ω“，n∈Ω在[12]中。

我们首先注意到，对于[12]中的主定理6，我们实际上只需要存在任意有限数量的独立按钮。假使V=L以下公式可用于此：设ψn为语句那个ℵ自然对数是基数和L-东ℵ自然对数-Suslin竖TnL在L（即L东正常高度竖ℵ没有大小反链的Lnℵ自然对数在L）是静止的ℵ自然对数-Suslin。如果M是L的集一般（或任意）扩展，其中按钮ψn具有没有被按下，那么通过用TnL对M强制，我们按下这个按钮不影响任何其他未按下的按钮ψm，m≠n、 因为这种强迫ℵn-分布并且具有大小ℵn.里特伯格[18]还发现了独立的按钮在V=L下。

现在我们转向无限多个独立按钮的构造我们甚至不需要Suslin树的存在。对于n∈ω，设ξn为声明：

（5.3）有来自ℵn+2L到P(ℵnL).

注意，在一个集合泛型扩展V[G]中，当且仅当它成立在V[G]中。因此，每个n∈ω的Γn是一个按钮，前提是Γn不成立在地面模型中。我们证明了这些ξn，n∈ω是独立的按钮（在它们未冲压的任何地面模型上——例如，当V=L时）。

假设我们在ZFC的某个模型W中工作。在W中，设A={n∈ω：Γn成立}和B与A⊆B是任意的。这足以证明下列的提案5.1。我们可以强制（在W上），对于所有n∈B和对于所有n∈ω\B。

证据在W中，设κn=|ℵnL|对于n∈ω。我们在上使用[16]的记法具有偏序函数的偏序，并用Fn（κ，λ，µ）表示所有从κ到λ，基数＜µ的偏函数通过反向包含排序。

通过∆-系统引理，很容易看出Fn（κ，λ，µ）具有（λ＜µ）+-c.c.设

(5.4)

Pn={Fn(κn+2，2，κn）如果n∈B\A1l否则。

设P=∏n∈ωPn是的全面支持产品Pn，n∈ω。然后我们很清楚有k–P“ ϕn“对于所有人n∈B。从而证明P创建通用扩展正如所期望的那样，它足以证明对于所有n∈ω\B，k–P“，Γn”。

假设(5.5)n∈ω\B。

然后我们有(5.6)Pn=1l。

由于ξn在W中不成立，我们在W中有κn＜κn+1＜κn+2和2κn=κn+1W.根据（5.6），P因子为P～P（＜n）×P（＞n），其中P（＜n）=∏k＜nPk和P（＞n）=πk＞ nPk。

我们展示了两者

P（＞n）和P（＜n）超过P（＞n）不添加任何注射κn）。

κn+1闭合。因此，它不添加κn的任何新子集。所以如果它将κn+2注入P（κn）中，则会使基本κn+2坍塌。

由于P（＞n）进一步因子为P（＞n）～Pn+1×k＞ n+1Pk和πk＞ n+1Pk是κn+2封闭了P（＞n）坍塌κn+2，如果Pn+1这样做了。

但是，由于Pn+1具有（2＜κn+1）+-c.c.与（2＜Kapn+1）+=（2κn）+，我们将κn≥κn+2。这与n的选择（5.5）是矛盾的。所以P（＞n）迫使ξn失败。

在剩下的证明中，我们在WP（＞n）中工作，并证明P（＜n）确实κn）中不添加任何来自κn+2的注射。注意，通过κn+1的闭性P（＞n），我们有Fn（κm+2，2，κm）W=Fn对于m＜n。

我们有以下两种情况：

情形I.n−1∈AŞ（ω\B）。则P（＜n）～P（＜m）对于一些m＜n和P（＜m）具有（2κm−1）+-c.c.与（2κm-1）+≤κn。

案例二。n−1∈B\A。则2＜κn−1=κn，P（＜n）具有κn+1-c。

在这两种情况下，偏序P（＜n）都具有κn+1-c.c.，因此保留了基数κn+1和κn+2。由于P（＜n）至多具有基数2κn−1·κn+1=κn+1，最多可添加κn+1κn=κn+1个新的κn子集，因此κn）的大小保持不变。这表明k–P为“？？”。（提案5.1）

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