策梅洛弗兰克尔集合论（数学公理）

策梅洛弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory)数学公理

数学公理

策梅洛-弗兰克尔集合论的公理由一阶逻辑的逻辑公理和八条非逻辑公理组成。

(1)同一律（外延公理）：两个集合相等的充分必要条件是它们具有相同的元素，即

∀X∀Y[X=Y ↔ Yz(z∈X ↔ z∈Y)].

(2)配对集公理：任给两个集合X和Y，都有一个恰好由它们组成的集合{X，Y}，即

∀X∀Y∃Z(Z＝{X，Y}).

(3)并集公理：任给一个集合X，都有一个恰好由X的元素的元素之全体所组成的集合∪X，即

∀X∃Y(Y ＝∪X＝{α|∃b(b∈X∧α∈b)}).

(4)幂集公理：任给一个集合X，都有一个恰好由它的子集合的全体组成的集合P(X)，即

∀X∃Y(Y＝P(X)＝{A|A∈X}).

(5)无限集公理：存在一个满足如下两条要求

(a) 和 (b) 的集合X，

(a)X含一个元素；

(b)如果Y∈Ⅹ，那么Y∪{Y}∈X。其中Y∪{Y}＝{Y，{Y}}，即

∃X [∃α(α∈X))∧(∀Y(Y∈X → Y∪{Y}∈X))].

(6)分解原理：分解公理又称概括公理，应当注意到这里的表达式并非朴素集合论的概括方式。设φ(x，y₁，...，yn) (1≤n＜∞)是集合论语言的一个表达式。任给集合X和p₁，...，pn，集合X中的那些具有性质φ[u，y₁，...，yn]的元素u构成一个集合Y，即

∀X∀p₁· · ·∀pₙ∃Y(Y＝{u∈X|φ[u，p₁，· · ·，Pₙ]}).

(7)肤像存在原理：映像存在原理又称替换公理（置换公理）。它由以色列数学家弗伦克尔(Fraenikel)1922 年引入。设φ(x，y)是集合论语言的一个表达式，又设表达式φ(x，y)决定一种对应关系，也就是说，对于任意的售合u，最多存在一个集合v来满足φ[x，y]所给出的对应要求。任给集合X，能够与X中的某个元素u形成对应关系φ[x，y]的那些集合v组成一个集合Y，即

∀u∀υ∀ω ((φ (u，υ) ∧ φ (u，ω)) → υ＝ω) →∀X∃Y(Y＝{υ|∃u (u∈X∧φ(u，υ)}).

(8)∈极小原理：∈极小原理又称正则公理，它由冯诺依曼1925年引入。任何一个非空集合必含有一个∈极小元素，也就是说，如果X中有一个元素，那么X中一定有一个元素都不在X之中的元素a，即

∀X[X＝∅ → ∃Y(Y∈X∧X∩Y＝∅]

上述的分解原理和映像存在原理实际上由无限多条公理组成，也就是说，给定一个表达式φ以上述原理就给出一条公理。ZF理论的前6条公理都由德国数学家策梅洛1908年引入。[1]

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