数学联邦政治世界观
超小超大

特殊篇章(数学解释)六

σ完全性和超幂模型的秩:

我们知道如果 S 是一个集合且 U 是 S 的一个超滤,那么 V≺Vˢ/≡U ,但 Vˢ/≡U 是一个有秩的模型吗?关于这个问题我们有如下定理:

定理: U 是 σ 完全的,当且仅当 VS/≡U 有秩的。

证明:假设 U 是 σ 完全的,如果 Vˢ/≡U 是无秩的,那么存在一组函数 {fₙ}ₙ<ω 满足 {x∈S:fₖ₊₁(x)∈fₖ(x)}∈U ,因为 σ 完全性,那么 ⋂ₖ∈ω{x∈S:fₖ₊₁(x)∈fₖ(x)}∈U ;因为 ∅∉U ,因此存在 x∈S 满足 f₀(x)∋f₁(x)∋⋯ ,这与 V 的正则公理矛盾,反证 Vˢ/≡U 有秩。

假设 U 不是 σ 完全的,那么存在 {Aₙ}ₙ∈ω 满足 Aₙ∈U∧⋂ₙ Aₙ ∉ U ,设 Bₙ=Aₙ − ⋂ᵢ∈ω Aᵢ ,那么有 Bₙ∈U∧⋂ₙ Bₙ=∅ ;进一步设 Cₙ=⋂ᵢ≤ₙ Bᵢ ,那么有 Cₙ∈U∧⋂ₙ Cₙ =∅∧Cᵢ ⊇Cᵢ₊₁ 。

定义函数 gᵢ:Cᵢ → ω ,其中 gᵢ(x)=min{k−i:x∉Cₖ} ,对于其它 x∈S−Cᵢ,我们有 gᵢ(x)=0 。注意到 gᵢ₊₁(x)∈gᵢ(x) 当且仅当 x∈Cᵢ ,因此 {x∈S:gᵢ₊₁(x)∈gᵢ(x)}∈U ,则 [g₀]∋*[g1]∋* ⋯ 在 Vˢ/≡U 成立,因此 Vˢ/≡U 是无秩的,定理成立。 ⊣

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