数学联邦政治世界观
超小超大

一阶算术的小trick

我们知道鲁宾逊算术 Q 是 Σ₀ 完全的,进而是 Σ₁ 完全的,即如果标准算术模型

𝕹 ⊨ ∃xφ(x) ,其中 φ(x) 无量词,那么 Q⊢∃xφ(x) 。事实上可以更进一步:假设 Q⊢∃xφ(x) ,那么存在 n 满足 𝕹 ⊨φ(¯n) ,由于 Q 是 Σ₀ 完全的,因此 Q⊢ φ(¯n) 。换言之,如果对某个存在公式 ∃xφ(x) 是 Q 的定理,那么一定存在某个实例 n 满足 φ(¯n) 是 Q 的定理。例如,如果哥德巴赫猜想为假,那么存在一个大于4的偶数 m 不能表示为两个奇素数之和,那么 Q⊢ ¬G(¯m) ,其中 G(x) 表示“满足哥德巴赫猜想”。

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