AC蕴含后继基数不可能是可测基数

定理（AC）：对于任意无穷基数 κ ， κ⁺ 不是可测基数。

证明：假设 κ⁺ 有 κ⁺ 完备的非主超滤 U ，令 ν⊆2κ 是一个基数为 κ⁺ 的函数集，那么 ν 有一个基数为 κ⁺ 的非主超滤 D 。

定义 Xαϵα＝{f∈ν：f(α)＝ϵα} ，由于 D 是 κ⁺ 完备的，因此 ∀α∃!ϵα(Xαϵα∈D) ，再由 κ⁺ 完全性得 ⋂α Xαϵα ∈ D ，但 ⋂α Xαϵα 至多包含一个函数，因此 D 是主超滤，矛盾，反证定理成立。 ⊣

有意思的是，如果假设AD，那么 ω1 是可测基数以及 ∀n＞2(cf(ωₙ)＜ωₙ) ，这也证明了AC和AD不一致。

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