数学联邦政治世界观
超小超大

非标准算术的上溢原理(Overspill)和下溢原理

在非标准算术模型M中存在无穷大的元素,因此会出现很多有趣的成果,上溢原理和下溢原理是其中的代表。

上溢原理:如果全体标准自然数满足性质 ψ ,那么存在一个非标准自然数c,使得 ∀x<c,ψ(x) 。反证上溢原理不成立,那么 x∈N⇔∀y≤x,ψ(y) ,其中N是标准自然数集。令 ∀y≤x,ψ(y)↔φ(x) ,根据数学归纳法可得 φ(0)∧∀x(φ(x)→φ(x+1)) ,因此 ∀xφ(x) ,这与全体非标准自然数不满足性质 φ 矛盾,反证上溢原理成立。

下溢原理:如果全体非标准自然数具有某个性质 ψ ,那么存在某个标准自然数n满足 ∀x>n,ψ(x) 。反证下溢原理不成立,那么对于任意标准自然数m都有 ∃x>m,¬ψ(x) ,定义 ϕ(x)↔∃y>x,¬ψ(y) ,由上溢原理,可得某个非标准自然数c满足 ϕ(c) ,这与全体非标准自然数具有性质 ψ 矛盾,反证下溢原理成立。

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