数学联邦政治世界观
超小超大

Martin公理为何要求可数反链条件?

构造一个不满足可数反链条件下使用Martin公理的反例:

定义 S={f∈ℵ₁ℵ⁰:|ω−ran(f)|=ω} , Eα={f∈S:∃n∈ω,f(n)=α} ,由于对于任意 f∈S ,如果 f∉Eα ,那么 ∀n∉dom(f),f∪{(n,α)}∈Eα ,因此 Eα 是 (S,⊆) 的稠密子集。由于此时不预设可数反链条件,根据Martin公理,存在脱殊滤 G 满足 ∀α<ℵ₁,G∩Eα≠∅ 。由于G是脱殊滤,因此 ⋃G 是一个函数,且是 ⋃G:ω→ω₁ 的满射,矛盾。

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