Weierstrass逼近定理

Weierstrass逼近定理是数学分析中的核心定理。陈述如下：

Weierstrass逼近定理

设 f(x) 是 [α，b] 上的连续函数，则存在多项式函数列 {fₙ(x)} ，使得 fₙ(x) 一致收敛于 f(x)

附注 不失一般性，下面只对于 [α，b]=[0，1] 的情形证明。

证明

由 f 在 [0，1] 连续，故有界 |f|≤M ，且在 [0，1] 一致连续，即

m

\[∀ε＞0， ∃δ＞0，当 |─−x|＜δ时，

m ε n

|f(─)−f(x)|＜─\]

n 2

构造Bernstein多项式 m

\[Bₙ(x)＝∑ⁿₘ₌₀Cᵐₙxᵐ(1−x)ⁿ⁻ᵐf(─)\]

n

构造随机变量 X∼B(1，x) ，以及 X 的独立同分布随机序列 {Xₙ} ，则 Sₙ＝∑ⁿₖ₌₁ Xₖ ∼B (n，x)，且 E(f(Sn

─ m

n))＝∑ⁿₘ₌₁f(─)b(m；n，x)＝Bₙ(x)

n

此外

(Sn) (1)

E ──＝──nx＝x

(n) (n)

(Sn) 1 x(1−x)

D ──＝──nx(1−x)＝────

(n) n² n

1

≤ ─

2

由Chebyshev不等式

Sₙ 1

P(|─−x|≥δ)≤──

n nδ²

故

|Bₙ(x)−f(x)|

Sₙ Sₙ

─ ─

＝|E(f(n)−f(x))|≤E|f(n)−f(x)|

\[

Sₙ

─

＝E(|f(n)−f(x)|1{|Sn

─

n−x|≥δ})

Sₙ Sₙ

── ──

＋E(|f(n)−f(x)|1{|n−x|＜δ})\]

Sₙ Sₙ

─ ─

对第一项， \[E(|f(n)−f(x)|1{|n−x|≥δ})

m m

── ──

＝∑{m：|n−x|≥δ}|f(n)

−f(x)|P(Sₙ＝m)\]

\[≤2M∑{m：|m

──

n−x|≥δ}P(Sₙ

Sn

──

＝m)＝2MP(|n−x|≥δ)

2M

≤ ── \]

nδ²

Sₙ Sₙ

── ──

对第二项， \[E(|f(n)−f(x)|1{|n−x|＜δ})

m m

── ──

＝∑{m：|n−x|＜δ}|f(n)−f(x)|P(Sₙ＝m)\]

m

ε ──

＜──∑{m：|n−x|＜δ}P(Sₙ＝m)

2

Sₙ

ε ── ε

＝──P(|n−x|＜δ)≤──

2 2

2M ε

|＜──＋──

因此 |Bₙ(x)−f(x) nδ² 2 。

4M

取 N＝──

εδ² ( N 与 x 无关)，则当n＞N 时， ∀x∈[0，1]， |Bₙ(x)−f(x)|＜ε ，由此得到 Bₙ(x) 一致收敛于 f(x) ◻

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