高斯公式与高斯定理

数学中的高斯公式是曲面积分的一个重要公式，物理电磁学中的高斯定理同样是求场强的一个重要定理。两者之间，形式上看起来有很大差别，但是我们可以通过高斯公式来推出高斯定理

定理1设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，若函数P(x，y，z)、Q（x，y，z)、R(x . y . z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有

∂P ∂Q ∂R

∭(──＋──＋──)dυ＝∯P→↓

Ω ↑ ↑ ↑ Σ

↑ ↑ ↑ dydz+Qdzdx+Rdxdy

∂x ∂y ∂z (11-7)

或

∂P ∂Q ∂R

∭──＋──＋──dυ=∯(Pcosα+Qcosβ

Ω ∂x ∂y ∂z Σ ↑ +Rcos γ dS，(11-8)

其中Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα，cosβ，cosγ 是 Σ 在点 (x，y，z) 处法向量的方向余弦，上述两个公式都称为高斯公式.

标准公式：

(例一)公式(dυ＝∯P dydz＋Qdzdx＋Rdxdy) (11-7)

(例二)公式（dυ＝∯(Pcos＋Qcosβ＋Rcos γ) dS， (11-8)

高斯公式的精髓是，把闭合曲面的第二类曲面积分和三重积分联系了起来，而高斯定理，同样把“面”与“体积”联系了起来，即闭合曲面的电场强度通量与闭合曲面内的电量，根据电场强度通量的定义式

Φᴇ＝∬ₛEcos θdS.

这是一个曲面积分，而高斯定理

1

Φᴇ＝∯ₛE • dS＝─ ∑ qᵢ.

ε₀ ₍ₛ内₎

则是一个对q的三重积分

那么，三重积分的积分函数q，是否可以通过高斯公式，与电通量联系起来呢？

Eˉ↗

rˉ↗

•

q

我们构造一个高斯面，它是一个球面，于是dS的法向量为(2x，2y，2z)，单位向量er为(x/r，y/r，z/r)

于是(x，y，z)处场强为

→ 1 q x y z 1 q

E＝── ──(─，─，─)＝── ─(x,y,z)

4πε₀ R² R R R 4πε₀ R³

dS＝er•dS＝(dydz，dxdz，dxdy)

电场强度通量为

ғ ᴏ 1 q

Φ＝∯E · ds＝── ── ∯xdydz+ydzdx+

ₛ 4πε₀ R³ ₛ ↑ zdxdy

标准公式：

(例三)公式

(∯xdydz＋ydzdx＋ zdxdy)

ₛ

标准公式：

(例四)公式

由于高斯面是闭合曲面，这时就可以使用高斯公式了

∯xdydz+ydzdx+zdxdy＝∰(1+1+1)

ₛ ᴠ

4

dxdydz＝3∰dV＝3×─ πR³＝4πR³。

3

代入Φ，Φ=q/ε0

高斯公式和高斯定理虽然表面形式不同，但我们可以从高斯公式推导出高斯定理，这种综合运用各学科知识的学习方法，能够帮助我们更好地理解所学的知识点

参考资料

[1]从高斯公式到高斯定理.陈修芳.武汉工业学院.科学之友.2010.10

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