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高斯公式与高斯定理

数学中的高斯公式是曲面积分的一个重要公式,物理电磁学中的高斯定理同样是求场强的一个重要定理。两者之间,形式上看起来有很大差别,但是我们可以通过高斯公式来推出高斯定理

定理1设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成,若函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x . y . z)在Ω上具有一阶连续偏导数,则有

∂P ∂Q ∂R

∭(──+──+──)dυ=∯P→↓

Ω ↑ ↑ ↑ Σ

↑ ↑ ↑ dydz+Qdzdx+Rdxdy

∂x ∂y ∂z (11-7)

∂P ∂Q ∂R

∭──+──+──dυ=∯(Pcosα+Qcosβ

Ω ∂x ∂y ∂z Σ ↑ +Rcos γ dS,(11-8)

其中Σ是Ω的整个边界曲面的外侧,cosα,cosβ,cosγ 是 Σ 在点 (x,y,z) 处法向量的方向余弦,上述两个公式都称为高斯公式.

标准公式:

(例一)公式(dυ=∯P dydz+Qdzdx+Rdxdy) (11-7)

(例二)公式(dυ=∯(Pcos+Qcosβ+Rcos γ) dS, (11-8)

高斯公式的精髓是,把闭合曲面的第二类曲面积分和三重积分联系了起来,而高斯定理,同样把“面”与“体积”联系了起来,即闭合曲面的电场强度通量与闭合曲面内的电量,根据电场强度通量的定义式

Φᴇ=∬ₛEcos θdS.

这是一个曲面积分,而高斯定理

1

Φᴇ=∯ₛE • dS=─ ∑ qᵢ.

ε₀ ₍ₛ内₎

则是一个对q的三重积分

那么,三重积分的积分函数q,是否可以通过高斯公式,与电通量联系起来呢?

Eˉ↗

rˉ↗

q

我们构造一个高斯面,它是一个球面,于是dS的法向量为(2x,2y,2z),单位向量er为(x/r,y/r,z/r)

于是(x,y,z)处场强为

→ 1 q x y z 1 q

E=── ──(─,─,─)=── ─(x,y,z)

4πε₀ R² R R R 4πε₀ R³

dS=er•dS=(dydz,dxdz,dxdy)

电场强度通量为

ғ ᴏ 1 q

Φ=∯E · ds=── ── ∯xdydz+ydzdx+

ₛ 4πε₀ R³ ₛ ↑ zdxdy

标准公式:

(例三)公式

(∯xdydz+ydzdx+ zdxdy)

标准公式:

(例四)公式

由于高斯面是闭合曲面,这时就可以使用高斯公式了

∯xdydz+ydzdx+zdxdy=∰(1+1+1)

ₛ ᴠ

4

dxdydz=3∰dV=3×─ πR³=4πR³。

3

代入Φ,Φ=q/ε0

高斯公式和高斯定理虽然表面形式不同,但我们可以从高斯公式推导出高斯定理,这种综合运用各学科知识的学习方法,能够帮助我们更好地理解所学的知识点

参考资料

[1]从高斯公式到高斯定理.陈修芳.武汉工业学院.科学之友.2010.10

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