罗素悖论的提出对【数学界的影响】

罗素悖论在数学史上是一个极其鲜明的转折点，应该说它的提出其重要性丝毫不亚于无理数、虚数、以及非欧几何的发现。它的出现，是所谓的“数学基础危机（crisis of fundamentals of mathematics）”的导火索。也有人（一般在中文科普圈子里）把它与无理数的发现、无穷小的问题、并称，叫做作“第三次数学危机”。

罗素悖论，顾名思义，是数学家和哲学家罗素最先提出的，是朴素集合论中的一个著名悖论。在朴素集合论里，我们可以用枚举的方式定义一个集合，比如说：

集合1={1,2,3}

说的是由1、2、3三个自然数组成的集合

但是在绝大多数情况下，用枚举的方式来定义集合显然是不现实的，比如说，所有的自然数构成一个自然数集，我们显然不可能把自然数一一枚举出来。所以，朴素的集合论中有一个公理，叫做“无限制概括公理”，说的是：

对于任何一个性质，满足该性质的所有元素，构成一个集合。

这样一来，我们就可以用一个性质来定义一个集合。这个公理看起来相当正确且无害，但是麻烦就是从这里来的。

如果我们问，一个集合的元素可以包括它自己吗？以这个公理来看，这个问题的答案是肯定的。比如说，所有“包含无穷多个元素的集合”的集合，它显然包含了无穷多个元素，那么它就包含了它自身。

那么我们可以这样来定义一种集合：

所有“元素不包括自己的集合”的集合。

我们把这个集合叫做A，那么，A的元素包括它自己吗？假设A不包括它自己，那么，A就满足“元素不包括自己的集合”这个性质，所以它就必然包括它自己，这是个矛盾；如果我们假设A包括它自己呢？那么根据A的性质，它必然不包括它自己，也是个矛盾。

这个悖论有一个更加通俗的版本，叫做“理发师悖论”，这个悖论是这样的：

小城里的理发师放出豪言：他只为，而且一定要为，城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子。但问题是：理发师该为自己刮胡子吗？如果他为自己刮胡子，那么按照他的豪言“只为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”他不应该为自己刮胡子；但如果他不为自己刮胡子，同样按照他的豪言“一定要为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”他又应该为自己刮胡子。

那么，这个悖论是在何种背景下产生的、又为何是重要的呢？

集合论是整个数学学科的逻辑基础。现代数学，几乎全部都是建立在集合论基础上的。在19世纪之前，人们为数学的理论基础问题在黑暗中摸索，但是进展缓慢。这些问题主要包括：

1、 数学的抽象实在性：很显然，数学命题都是有真假的 - 它要么是真的，要么是假的。但是数学对象很显然又是一些抽象对象。例如说自然数、函数、几何点线面，它们不是一种具体的、存在于时空之中的、我们可以观察和实证的实体。那么它们的真假性来自何处？

2、数学的客观性：对于同一个数学命题，它的真假并不依赖于某种特定的主体。1+1=2，不论何人、何时、何地，对它的判断都不会有所不同。甚至说，即使没有人类，这个命题仍然成立吗？这个问题早期的数学家是坚信无疑的。

3、数学的必然性和超验性：数学原理不但可以判定为真，而且它可以判定为“必然真（necessarily true）”。它不必、也不能被经验检验：例如说，1+1=2，我们不必历数每一种具体过程 - 把一个东西和另一个东西放在一起，数一数它们是不是两个 - 我们就知道它必然是真的。它不像是自然科学那样的经验科学，比如说，能量守恒我们认为它是真的，但是我们总是可以通过实验检验它，并且可以想象下一次实验有可能就不满足能量守恒了。它是数学不是这样的，它不需要经验来检验，或者说与经验无关。

类似这些问题，被称作数学的理论基础问题，也是数学哲学的最核心问题，在20世纪之前被数学柏拉图主义主导的思想中，是毫无疑义的。以这个思想为内核，数学蓬勃发展，硕果累累。但是这些作为基础的思想内核，人们却没有一个严密的逻辑体系来证明它们。这段历史被克莱因称作[1]：

“一门逻辑学科不合逻辑地发展”。

19世纪下半叶，情况出现了突破，先是形式逻辑大发展，然后，康托尔建立了集合论。这两者就成了解决数学基础问题的利器。弗雷格就成了这场关于数学严密化行动的先驱。

在弗雷格看来，康德的先验综合判断是一个很奇怪的东西。从这里出发，而把数学最终归结为先验直观，更加难以立住脚。直觉是一个说不清道不明的东西，把整个数学建立在这种迷迷糊糊的基础上未免太不可靠。而且我们经历过太多的貌似违反直觉而实际上是正确的判断，因而我们根本就不能真正地把直觉当做一种严肃的东西来对待。他于是回到了前康德时代的观念：所有先验的，必定是分析的；而所有综合的，必定不是先验的。因此他完全同意数学是一种先验知识，但是他反对数学是综合知识这种说法。他说，数学它是一种被巧妙包装的分析判断，从表面上看貌似综合判断，如此而已。

例如康德说，2+3从这两个数字本身并不蕴含任何关于5的性质，因而2+3=5是一个综合判断，但是数学显然又是先验的，于是2+3=5就是先验综合判断。但是弗雷格说，从2、3、以及“+”的定义中，我们应该可以找到一种必然的蕴含关系：2+3本身就蕴含了所有的5的性质，因而它应该是一个分析判断。我们所要做的，就是要对2、3、“+”做出合理的定义来使得这种判断是分析的 – 因而也就是必然的和先验的。而这种定义，必须也必然仅仅用到逻辑定律，它是纯逻辑的，因而必然是分析的。只有纯逻辑的基础，才是我们所能做到的最牢固的基础。推而广之，整个数学就是一种精巧包装的复杂的逻辑关系，而不应包含任何额外的非逻辑的“原生”数学成分。这就是数学基础的逻辑主义纲领。

总而言之，弗雷格的目标就是，数学应该归结为纯逻辑。为了达成这一目标，弗雷格必须要证明数学是纯分析的，也就是说，他需要建立一套逻辑体系，仅在这套逻辑体系中，通过基本的逻辑原理，即可定义和演绎出全部的数学。从集合论出发，弗雷格完成了这样的逻辑体系。弗雷格的整个推论过程，可以说是很严密很牢靠了 - 至少在他自己看起来如此。1893年，他完成了著作《算术的基本定律》，把这种对数学基础的重新构建系统化地发表了。对这本书他显然很得意，他说：

“我希望现在我可以宣布，本书使得这样的努力成为可能：把算术的基本原理归结为分析判断、进而证明它们是先验的。这样一来算术只不过是逻辑的一种延伸。数学的每一个判断都是一种逻辑定律，或是其推演物。在科学中应用数学就是在观察到的事实中应用逻辑关系；计算就是推理。”

1902年，在他的著作第二卷即将发表之时，53岁的弗雷格收到了一个30岁年轻人的来信。这个年轻人，就是罗素；在这封信中，罗素表达了它对弗雷格犹如滔滔江水连绵不绝般的崇敬，然而，在信中的末尾，看似不起眼的一个小小的“但是”，却摧毁了弗雷格的一切。弗雷格突然发现，他建立的牢固逻辑基础本身，坐落在一个松软的沙滩上摇摇欲坠。这里主要有两个原因，一个是他大量使用“概念的外延”来定义集合，也就是说用一个性质来定义一个集合（非限制概括公理）；另一个，是他大量地使用“集合的集合”、“集合的集合的集合”这类嵌套集合。而罗素指出，这是不能随意使用的。这会必然导致逻辑矛盾，而这个矛盾就是上面所说的“罗素悖论”。

罗素悖论的出现，在当人们终于看到了数学基础问题的曙光时，又一次让确定的数学真理之梦变得虚无缥缈。事实上，在同时代还有若干个其它版本的悖论，它们都与罗素悖论相类似，而罗素悖论以其简洁和明确成为这些悖论的代表。弗雷格看到罗素的信件之后，立即认识到自己理论的缺陷，然而当时他的第二卷著作已经付印，不可能再进行修改，他只得在书中加了这样一段补遗：

“在工作完美收官之际，却突然发现整个基础都必须要放弃，对一个科学家来说没有什么能比这个更加不幸的了。是罗素的一封信件让我认识到这一点，我不得不在本书即将出版之际加以说明。”

我们可以想见，弗雷格当时的心情是何等沮丧。弗雷格在余生再也没能够从这个打击中恢复过来。

始作俑者罗素虽然虽然发现了弗雷格的缺陷，但是他却坚信弗雷格的思想是一条康庄大道：数学，归根结底就是逻辑。悖论不可怕，只要能想办法解决之，悖论会推动而不是打击数学的发展，人们终将意识到数学的本质。于是罗素接过了弗雷格的大旗，成为逻辑主义纲领的统帅。

其实罗素早在弗雷格还没有完成他的工作之时就已经深受悖论的困扰。为了解决这些悖论，他仔仔细细地研究了当时的几个著名的代表，最后他认定，这些悖论有一个基本的根源：它们都是自指的。也就是说，它们自己引用了自己。弗雷格的集合论中允许用一个性质来定义一个集合，因而它是躲不过这种自指怪圈的。

我们形象地把集合当做一个可以“装”某种性质的事物的口袋，那么我们可以说“可以装下所有苹果的口袋”，这在逻辑上毫无问题。但是，在很多情况下我们需要把一些口袋打包装起来，这时我们就需要一种能装口袋的口袋。那么，如果我们要求有一种“可以装下所有口袋的口袋”，就需要它自己装下它自己了！

罗素把这种“自指”成为“恶性循环”（vicious circle）。要想消除悖论，就必须躲过恶性循环。他的方案就是“分层”。简言之，苹果是一个层次，口袋是比苹果高一层的对象，而装口袋的口袋是比单纯的口袋更高一个层面的对象。单纯的口袋只能装具体的事物，而装口袋的口袋可以装单纯的口袋 – 但是不能装“装口袋的口袋”。只有高一层的才可以装本层的对象。

就像它绕口令般的描述一样，这个方案极其复杂。集合是“分层”的：基本的具体对象是最底层，这些对象的集合和对象的性质是第二层，这些对象的集合的集合、性质的性质是第三层，以此类推。这样一来，诸如“所有集合的集合”之类就不再包含它自己了：因为它是比“所有集合”更上一层的概念。这样一来我们就可以继续使用集合论中那些有效的部分，又避免了悖论的产生。

罗素和怀特海一起，写了一本巨著，叫做《数学原理》（Principia Mathematica）来阐述这种方案。这是一部在思想上划时代的、但是在实际上毫无用处的经典著作。因为这个理论的代价就是它极尽繁复之能事：我们每涉及一个集合就必须要搞清楚它是“哪一层”的，进而要一层层向下穷究，原本一两行就可以说明的事情，需要几十页才行 – 而且还不总是可行。据称这套三卷2000页的巨著，知道300多页之后才开始定义自然数“1”，而直到600多页才开始定义加法！此外，为了解决层层嵌套带来的麻烦，罗素还引入了一个公理，叫做“还原公理（axiom of reducibility）”，成了另一个雷。且不说这个公理的有效性如何，从根本上说，它就不是一个逻辑定律 。那么罗素的整个工作的初衷 – 把数学还原成为纯逻辑 – 就被彻底破坏掉了。罗素本人也为这个公理反复纠结，最终只能承认它并非逻辑必需。更何况，罗素在他的理论中用到了无穷公理和选择公理，这两个货虽然不像还原公里那么不招人待见，但是一般也不被认可为纯逻辑公理，因而数学的逻辑化就难以为继。最后，他只能无奈地宣称，或许集合论也不是数学中最基础的理论，我们在数学基础探索道路上可能还有很长的路要走。

所以，基本上可以说，罗素悖论让逻辑主义之梦陷入尴尬境地。

应该说，逻辑主义其实多多少少继承了数学柏拉图主义中的实在论部分（弗雷格本人就是一个坚定的数学柏拉图主义者，二罗素则是鲜明的实在论者），数学的实在性、客观性、必然性全部都可被还原为了逻辑。在这里，逻辑主义中的“逻辑”可以被简单描绘成：

A logical proposition is a proposition which has a complete generality and is true in virtue of its form rather than its contents[2]

相比罗素的方案，对罗素悖论更加实用有效的处理来自公理化（更进一步，形式化）。在这里人们其实并没有“解决”这个悖论，而是通过公理体系的约束，规避了它。这个就是ZF(C)公理体系，这也是在我们现代数理逻辑课本中看到的内容。像前面所述，这个公理体系中，无穷公理和选择公理并不能被还原成为逻辑。这在随后被希尔伯特倡导，成为形式主义纲领。

如果说逻辑主义对应着哲学中的实在论，那么形式主义大约对应的就是唯名论。它在方法论上和逻辑主义比较类似，但是初衷却是不同的。形式主义把数学看成一种形式语言，一种按照某种规则操作的无意义的符号组合。虽然它和逻辑主义一样，注重形式演绎，但是可能是因为它并不执着于把数学还原为一种有意义的理论基础，它在实用中更加有效。大约是现代数学中影响最广的一个纲领罢。

当然，形式主义之梦也被一个年轻人击碎了，这个人就是哥德尔。这里就不接着说了。

当然，在罗素悖论之后，还有另外一个纲领崛起，试图给数学提供一个基础，就是直觉主义。直觉主义似乎是继承了更多康德的东西，把数学看作是一种从先验直观上构建起来的东西，它是人类构造的、因而就是依赖于人的思维的：

Mathematics is the mental activity which consists in carrying out constructs one after another。[2]

如果说逻辑主义对应实在论，形式主义对应唯名论，那么直觉主义对应的就是理念论了。虽然这一次并没有再出来一个什么年轻人来击碎直觉主义的梦，但是他们也被主流数学界所排斥。可能一个重要的原因是，他们如此痴迷于“构建”，而把那些非构建的东西认为是无意义的“非数学”或“伪数学” - 例如说他们不承认很多存在性证明，如果你不能构建这个数学实体，那么证明它存在就毫无意义。

所以在直觉主义那里，很多数学并不能被他们的理论支持，但是这些问题对他们而言并不是问题，因为他们会认为这些仅仅是是“伪数学”罢了。但是对直觉主义圈外的人看来，这似乎近于无赖。哪怕是最死硬的逻辑主义和形式主义分子都会承认自己有难以克服的困难，但是直觉主义只承认能构建的东西，因而就立于不败之地 - 因为那些失败的，都不是数学。

总而言之，罗素悖论引发的一系列后续事件，导致了逻辑主义的失利（但是并不一定完全失败）、形式主义和直觉主义的兴起和各自的挫折，最终击碎了一统数学之梦。到今天，我们能不能做到这一点仍没有结论。

参考

1. 克莱因，《数学：确定性的丧失》

2. Ernst Snapper, "the Three Crisis in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and formalism"

3. Ernst Snapper, "the Three Crisis in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and formalism"

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