一般形式 Maschke 定理证明

Maschke 定理的一种证明，作为 有限群表示论（二）Maschke 定理 的补充

定理 设 G 为有限群，域 F 的特征 p 不整除 G 的阶数 |G| ， V 是域 F 上的一个 G– 模；设 U 是 V 的一个 G– 真子模，则存在 G– 子模 W 使得 V＝U ⨁ W 为 G– 模的直和

首先，对给定的G– 子模 U ，总是存在线性子空间的直和补，设为 Z ，则 V＝U ⨁ Z 是线性空间的直和，我们希望对 Z 作一些适当的变换得到一个新的空间 W ，使得 W 是 V 的 G– 子模

对z ∈ Z 和 g ∈ G ，我们有唯一的分解

gz＝z₁＋z₂，

z₁ ∈ U，z₂ ∈ Z，

定义投影映射τg：Z → U 和 σg：Z → Z 为 τgz＝z₁，σgz＝z₂，由于 g 给出 V 上的线性变换，我们知道 τg，σg 也皆是线性的，且有关系式

gz＝τgz＋σgz，(M1)

对任一z∈Z ，有 z＝1 · z＝τ₁z＋σ₁z ，而 τ₁ z ∈ U，于是 τ₁z＝0 ， σ₁z＝z ；利用(M1) 式，对任意的 g，h ∈ G 和 z ∈ Z ，我们有 τhgz＋σhgz＝(hg)z＝h(gz)

＝h(τgz＋σgz)

＝hτgz＋hσgz

＝hτgz＋τhσgz＋σhσgz，(M2)

而 hτgz∈hU＝U ， τhσgz∈U ， σhσgz∈Z ，所以比较等式 (M2) 两边可得 τhgz＝hτgz＋τhσgz，(M3)

σhgz＝σhσgz，(M4)

前面我们得出 σ₁：Z → Z 是 Z 上的恒等，代入 (M4) 式即有，对任一 z∈Z ， z＝σ₁z＝σgg⁻¹ z＝σgσg⁻¹ z，

z＝σ₁z＝σg⁻¹ gz＝σg⁻¹ σgz，(M4.1)

由此推出 σg⁻¹＝σg⁻¹ ；

于是对任意的g，h ∈ G 和 z∈Z ，有

(σhg)⁻¹(σh z)＝σ(hg)⁻¹ (σhz)＝σg⁻¹h⁻¹(σhz)

＝σg⁻¹σh⁻¹σhz

＝σg⁻¹ z∈Z.(M4.2)

在 (M3) 式中以 σg⁻¹ ᶻ 替换 z 得到

τhg(σ⁻¹hg σhz)＝τhg(σg⁻¹z)＝hτgσg⁻¹ z＋τh z∈U，(M4.3)

将 (M4.3) 式对所有的 g∈G 求和可得

∑ τhg(σ⁻¹hg σhz)＝h∑ τgσ⁻¹g z＋|G|τhz，

g∈G

结合 (M4.1) 知

∑ τhg(σ₍hg₎⁻¹ σhz)＝h∑ τgσg⁻¹ z＋|G|τhz，

g∈G g∈G (M5)

现在定义映射 η：Z → U 为

1

ηz：＝── ∑τg(σg⁻¹z) ∈ U，

|G| g∈G

则 η 是线性的；注意这里必须有 p 不整除 |G| 才能作除法

对固定的h∈G ，当 g∈G 跑遍 G 中元素时， hg 也跑遍 G 中元素，所以 (M5) 式等价于

η(σhz)＝h(ηz)＋τhz.(M6)

置W：＝{z＋ηz|z∈Z} ，我们断言， W 即为所求的 G– 子模

首先W 是线性映射 z↦z＋ηz 的像集，故必为 V 的线性子空间；

对任一ω∈W ，设 ω＝zω＋ηzω，zω ∈ Z ，则对任一 h∈G ，由 (M6) 可得

hω＝h(zω＋ηzω)＝hzω＋h(ηzω)

＝τh zω＋σh zω＋(ησhzω – τh zω)

＝σh zω＋ησh zω ∈ W，

因此 W 为 G– 子模；

对任一υ∈V＝U ⨁ Z ，存在唯一的 uυ ∈ U 和 zυ ∈ Z 使得 υ＝uυ＋zυ ，于是 υ＝uυ＋zυ＝(uυ – ηzυ)＋(ηzυ＋zυ)，

而 uυ – ηzυ∈U，ηzυ＋zυ∈W ，故 V＝U＋W；

最后取u＝z＋ηz ∈ U ∩ W ，其中 z ∈ Z ，则由 ηz ∈ U 知 z＝u – ηz ∈ U ，故 z∈U∩Z＝{0} ，这就推出 u＝0 ，即 U∩W＝{0} ；

综上，我们证明了V＝U ⨁ W 是 G– 子模的直和

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