数学联邦政治世界观
超小超大

delta系统引理的一个证明

Δ系统引理(AC):令 H 是不可数个有限集构成的集族,那么存在 ↅ ⊆ H 满足 |ↅ| ≥ ω₁ 且 ↅ 同根,同根是指 ∃r∀x,y ∈ ↅ(x ≠ y → x∩y=r) 。

由于AC等价于良序定理,因此∪H 可以被良序化,固定 H 上的良序 R ,下面我们证明引理:

不妨假设(∪H,R) ,这样可以直接令 {pα:α<ω₁}=H ⊆ [ω₁]<ω。如果 {min pα:α<ω₁} 在 ω₁ 中无界,那么由 ω₁ 的正则性,我们从 H 中挑选出不可数子集 ↅ={p'α:α<ω₁} ,其中 α<β<ω₁ → max p'α<min p'ᵦ ,这就有 ∀x,y ∈ ↅ(x ≠ y → x∩y=∅) ;如果 {min pα:α<ω₁} 在 ω₁ 中有界,令 {min pα:α<ω₁} ≤ β,由 ω₁ 的正则性,存在 γ ≤ β 使得 {pα:min pα=γ} 的基数是 ω₁ ,令 γ₀ 是满足上述条件的最小 γ 且 ↅ₀={pα ∈ H:min pα=γ₀} 。

现在我们考察ↅ₀ 。令 secmin(pα) 是 pα 中倒数第二小的元素,如果不存在倒数第二小的元素就令 secmin(pα)=∅ 。这时分成两种情况:第一种情况是 {secmin(pα):pα ∈ ↅ₀} 在 ω₁ 中无界,那么可从 ↅ₀ 中挑选出不可数子集 ↅ₁={p'α:α<ω₁} ,其中 α<β<ω₁ → max p'α<secmin(p'ᵦ) ,这就有 ∀x,y ∈ ↅ₁{x ≠ y → x∩y={γ₀}} ;第二种情况是 {secmin(pα):pα ∈ ↅ₀} 在 ω₁ 中有界,那么存在 γ 使得 {pα ∈ ↅ₀:secmin(pα)=γ} 的基数是 ω₁ ,令 γ₁ 是满足上述条件的最小 γ 且 ↅ₁={pα ∈ ↅ₀:secmin(pα)=γ₁} 。

重复进行上述过程,由于H 中元素都是有穷集,因此必然存在自然数 n 使得 Hₙ={p ∈ H:|p|=n} 不可数,不妨令 H=Hₙ ,则上述过程必在有穷步内结束,结束后就得到了所求的 ↅ 和根 r ,引理成立 ⊣

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(笔尖小说网http://www.bjxsw.cc),接着再看更方便。

相关小说

疯子又来啦! 连载中
疯子又来啦!
星之曰月
修仙小说,随便磕回魂肉魄轮回尽,亦是相回白雪纷。每世抗命残伤奄,血发污衣浸红身。自曾梦影现故因,终是相遇还恩人。二世帮协将死人,长貌如吾一相......
2.3万字5个月前
每个世界都在发生不同的事情 连载中
每个世界都在发生不同的事情
风中凌乱的
宝宝们,欢迎观看,希望宝子们喜欢,大家一起交流,可以告诉我,你想看的类型,我来写。
5.5万字5个月前
天天暴富APP 连载中
天天暴富APP
奈斯木拉
(已签约+万华镜文社)暴富第一天,到账500万。暴富第二天,到账魔方手表一枚。暴富第三天,到账海城别墅一套。暴富第四天,到账无限额卡一张。…......
39.2万字5个月前
青山不知语(红线) 连载中
青山不知语(红线)
鱼头煲鸡汤
原以为自己是没有父亲的,结果等自己母亲死了才知道母亲谈了一个异世界的人,被接回去的时候才知道,自己还有一个姐姐,但这个姐姐很不喜欢她。可以说......
3.5万字5个月前
神修大陆 连载中
神修大陆
唐朝汐
在这个神修的大陆,法术强者为王的大陆上,有无数宗门和学院,可是有这么一个宗门他们以蝶为主,以音为辅,以扇为攻,宗门里的亲生血脉者刚会有一种特......
8.0万字2个月前
童话怪谈:暗影中匍匐 连载中
童话怪谈:暗影中匍匐
千秋月yue
【无限流+怪谈+规则+中世纪童话+无cp+微群像+微恐】月亮泛着阴霾,噼啪作响散发热气的炉火旁吟诵着古老的童话故事的声音戛然而止。规则怪谈降......
1.1万字2个月前