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交换代数:中山(Nakayama)引理

本篇笔记我们将讲述交换代数中一个至关重要的结论—— Nakayama 引理,又称中山引理;这一结论的证明不算复杂,并且有很多种证明思路,本文将选用 Atiyah 书上的“行列式法”,这也是交换代数中处理有限生成对象的一个重要的方法

定义1.1 一个 A– 模称为自由的,如果它模同构于若干个 A 的直积 ⨁A=:A⁽ˡ⁾ ;

i∈l

若 |l|=n<∞ ,则也将其记为 Aⁿ

我们在之前的笔记中定义了有限生成模,并且自然有以下结论

命题1.2 设 M 是有限生成的 A– 模,如 M=Ax₁+· · ·+Axₙ ,其中 x₁,· · ·,xₙ ∈ M ,当且仅当存在自由模 Aⁿ 的一个子模 N ⊂ Aⁿ ,使得 M 同构于 Aⁿ/N

现在我们给出 Nakayama 引理

定理1.3 设 M 为有限生成的 A– 模, l ⊂ A 是理想,并且 l 包含于 A 的 Jacobson 根 ℜ 中;如果有 lM=M ,那么必有 M=0

我们知道环A 的 Jacobson 根有以下等价刻画(参见第二篇笔记)

x ∈ ℜ ⇔ 对任一 y∈A , 1 – xy 均为 A 中的单位;即任一满足 z ≡ 1 的 (mod ℜ) z∈A 都是单位,如果我们能找到一个满足“模 ℜ 余 1”这一条件的 z ,且使得 zM=0 ,那么自然也就能证明 M=0

将ℜ 推广至一般的理想 l ⊂ A ,即要证明以下结论

命题1.4 设 M 为有限生成的 A– 模, l ⊂ A 是理想,并且 lM=M ,那么必存在一个 x ≡ 1(mod l) 使得 xM=0

根据笔记(一)中的注记1.1.2,xM 本质上是一个 M 到自身的一个交换群同态,更进一步(利用交换环 A 的性质)它还是 A– 线性的;我们联想到有限维线性空间到自身的线性变换,线性代数的知识告诉我们,每个线性变换都可以被一个首一多项式零化,比如特征多项式,而多项式的系数总是在基域之中的;将线性空间替换为 A– 模,基域替换为 l ⊂ A ,那么自然也会有类似的结论

命题1.5 设 M 为有限生成的 A– 模, l ⊂ A 为理想, ф:M → M 是一个 A– 模同态,满足 ф(M) ⊂ lM,则 ф 满足环 Endᴀ(M) 中的等式

фⁿ+α₁фⁿ⁻¹+· · ·+αₙ=0,

其中 α₁,· · ·,αₙ ∈ l

Pf. 设 M=Ax₁+· · ·+Axₙ , ф 在 M 上的作用由 ф(x₁),· · ·,ф(xₙ) 的值唯一确定;又 ф(M) ⊂ lM,故可以设

ф(xᵢ)=αᵢ₁x₁+· · ·+αᵢₙxₙ,

其中 αᵢⱼ ∈ l , 1 ≤ i,j ≤ n

所以有等式

∑ (δᵢⱼф – αᵢⱼ)(xⱼ)=0,1 ≤ i ≤ n

ⱼ₌₁

1,i=j

其中δᵢⱼ={

0,i ≠ j

写成矩阵的形式就是

x₁

(δᵢⱼф – αᵢⱼ)ₙ×ₙ( · · · )

xₙ

用 (δᵢⱼф – αᵢⱼ)ₙ×ₙ 的伴随矩阵左乘上面的式子可得

x₁

det(δᵢⱼф – αᵢⱼ) · lₙ×ₙ( · · · )=0.

xₙ

用 (δᵢⱼф – αᵢⱼ)ₙ×ₙ 的伴随矩阵左乘上面的式子可得

x₁

det(δᵢⱼф – αᵢⱼ) · lₙ×ₙ( · · · )=0.(*)

xₙ

将行列式 det(δᵢⱼф – αᵢⱼ) 在环 Endᴀ(M) 中展开,根据 δᵢⱼ 的定义以及行列式运算法则,可以得到一个首一的多项式,即 det(δᵢⱼф – αᵢⱼ)=фⁿ+α₁фⁿ⁻¹+· · ·+αₙ ,利用 αᵢⱼ ∈ l 我们有系数 α₁,· · ·,αₙ ∈ l;又 x₁,· · ·,xₙ 是 M 的一组生成元,根据 (*) 式, det(δᵢⱼф – αᵢⱼ) 视为 Endᴀ(M) 中的元素将恒等于 0 ,因此

фⁿ+α₁фⁿ⁻¹+· · ·+αₙ=0.

特别地,命题1.5中取ф=idᴍ ,代入命题1.4的条件即有 ф(M)=M=lM ,所以存在 l 中的元素 α₁,· · ·,αₙ 满足 фⁿ+α₁фⁿ⁻¹+· · ·+αₙ=0. ,也即 1+α₁+· · ·+αₙ 是环 Endᴀ(M) 中的零元,取 x=1+α₁+· · ·+αₙ ,则 x ≡ 1 (mod l),并且 xM=0 ,这就证明了命题1.4

综合以上结论,我们推出了定理1.3,即 Nakayama 引理

Nakayama 引理的结论是一个模为零模,而零模通常不会一开始就出现,一定是作为商模之类的对象产生的,所以猜想 Nakayama 引理通常会用于证明模的相等

推论1.6 设 M 为有限生成的 A– 模, N ⊂ M 为子模, A 的理想 l 包含在 Jacobson 根之中;如果 M=N+lM ,则 N=M

Pf 我们考虑商模 M/N,

lM+N

有 l · M/N=l · ───

N

任一 x ∈ M , x 可以写成 x=n+∑αᵢmᵢ 的形式,其中 n ∈ N, αᵢ ∈ l , mᵢ ∈ M ;于是 x 在 M/N 中的像

ˉx=x+N

=∑ αᵢmᵢ+N

=∑ αᵢ(mᵢ+N)

lM+N

∈ l · ───

N

lM+N

因此 l · M/N=l · ───=M/N

N

利用 Nakayama 引理(注意到 M/N 也是有限生成的)即有 M/N=0 ,故 M=N

下面这个 Nakayama 引理在局部环中的应用也十分重要,局部环的定义见笔记(二)

命题1.7 设 A 为局部环, m 是其极大理想, k=A/m 为剩余域;设 M 是有限生成的 A– 模,则 M/mM 上有自然的 k=A/m 模结构,即 M/mM 是域 k 上的一个线性空间;现在如果有 M 的有限个元素 x₁,· · ·,xₙ ∈ M ,使得它们在商模 M/mM 中的像构成了 k– 线性空间 M/mM 的一组基,那么就有 {xᵢ}ᵢ∈ₗ 在 A 上生成 M

Pf. 记 N=Ax₁+· · ·+Axₙ ⊂ M 为由 x₁,· · ·,xₙ 生成的子模,根据条件我们有

φ:N ↪ M ↠M/mM

是一个满同态,所以 M=N+mM ,利用推论1.6即可得到 N=M.

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