集合论公理解决【罗素悖论】二

这是 ZFC 版本下的 separation：

如果A是一个集合，并且ф(x)是一个描述，那么我们可以把那些属于A并且满足描述ф的个体搜集在一起构成一个集合。

这是粗鄙的 separation：

如果ф(x)是一个描述，那么我们可以把那些满足描述ф的个体搜集在一起构成一个集合。

区别在于，ZFC 下面的 separation 不是凭空产生的，而依赖于原有的集合。

在粗鄙的情况下，会产生罗素悖论。令ф(x)：＝x ∉ x就可以得到{x：x ∉ x}，然后问这个集合是否属于自身，便得到悖论。但是在 ZFC 中，即便没有 foundation， 也不会出现这样的问题，因为根本就没有{x：x ∉ x}这样的写法，只有{x ∈ A：x ∉ x}这样的写法，而就算是没有 foundation，我们光从{x ∈ A：x ∉ x}也得不到矛盾。将{x ∈ A：x ∉ x}这个集合记作 B，只有在B ∈ A并且B ∉ B的情况下才会有问题。那么我们只需要选择B ∉ B并且B ∉ A就能避免矛盾了。当然，另一条线依旧是不能选择的：假设B ∈ B，那么我们就得到B ∈ A并且B ∉ B，而这一边依旧是一个矛盾。但是没关系，另一边已经不再封闭了。

于是，在 ZFC 里面，罗素悖论的形式帮助我们看清了这一点：对于任何一个集合 A，总存在一个集合 B，使得 B 不在 A 里面。换而言之，不存在所有集合的集合。

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