逻辑主义批判

对应于2023年时通行的版本的第487页。

第一段里，弗雷格对自然数理论的建构看似云里雾里，但其基础是很清晰的，我们不妨用现代的语言加以表述：概念具有外延，外延是所有“属于概念的对象”的集合，而这个集合所包含的对象的数目即“属于概念的数”。其中有一个定义：

......将“属于概念F的数”定义为“与概念F等数”这个概念的外延......

迎面而来的是“‘与概念F等数’这个概念”这一表述，它说明在韩老师借用弗里格的语言来阐释弗里格的自然数理论时，把“与概念F等数”这么个玩意当作“概念”。这种表述当然是可以接受并被习惯的，但作为黑格尔主义者，我认为将“与概念F等数”称为一个规定（determination）要更为妥当。另一个问题是，按照韩林合的介绍，“属于概念F的数”当然是对象，而“‘与概念F等数’这个概念的外延”，作为外延则是一个集合；“与概念F等数”又是什么意思呢？既然前后文没找到与之完全一致的表述，我们只好认为如果“属于概念F的数和属于概念G的数相等”，那么“概念G与概念F等数”。既然如此，那么“‘与概念F等数’这个概念的外延”就是包括“所有可能的这种概念G”的集合，而“属于概念F的数”则就是这样一个集合，其中包括了所有与概念F等数的概念。这似乎不正常，因为“数”是“集合”，但完全没有理由反对什么人进行这种定义，只要他能够在此基础上推导出算数的基本定理。古早的语言多有混淆之处，但无妨——因为这个定义在本段之后的阐释里完全没显示其作用——一个流浪的定义，在本书的阅读中不必过于纠结。

随后在P489，这里说：

外延本身可以分成两类，一类为这样的外延，它们属于与它们相联的概念（如：“（）是一个外延”的外延）； 一类为这样的，它们不属于与它们相联的概念（如：“（）是一个马”的外延）。

我们看到这里有新规定：“相联”，不妨先行解释。某概念被一些对象属于，所有包括“所有属于该概念的对象”的集合是该概念的“外延”，而这个外延就与该概念相联。引文的括号里是两个例子，但两个例子中的空空如也的括号纯粹是画蛇添足——之前你说“与概念F等数”好好的，怎么这里就不说“是一个外延”“是一个马”了呢？分析起来则是，“‘是一个外延’的外延”是这样一个集合，这个集合所包括的对象（这些对象属于“是一个外延”这个“概念”）是外延，也就是说，这个集合的元素是集合；“‘是一个马’的外延”是这样一个集合，这个集合所包括的对象（这些对象属于“是一个马”这个“概念”）是马，也就是说，这个集合的元素不是集合。

于是，“（）是一个这样的概念的外延，这个外延不属于它”可以被分析如下：1）属于这个“长长的概念”的对象是什么？因为“是一个这样的概念的外延”这一表述，所以属于这个“长长的概念”的对象是外延，或者说，属于这个概念的对象是集合；2）属于这个“长长的概念”的对象是如何被规定的？因为对于“这个外延不属于它”这一表述，其中“它”由于出现在“属于”后面，所以必然是“概念”，但它不可能指代那个“长长的概念”，因为“这个外延”，如我们前面所分析的，属于那个“长长的概念”，所以它不可能不属于那个“长长的概念”；所以“它”只能指另一个概念，其对应的表述是“一个这样的概念”，我们姑且称之为“短短的概念”。于是，这个“短短的概念”的外延，作为集合，不是属于该“短短的概念”的对象，也即，不是“短短的概念”的外延这个集合的元素，也就是说，“短短的概念”的外延这一集合不是它本身的元素。而“长长的概念”的外延作为集合，就要包括“所有‘不是它本身的元素’的集合”（这里的“它”不是指“长长的概念”的外延，而是指引号里的那个“集合”，这两者是不同的）——这样一来，便能看出罗素悖论了。

但恰恰是在这样拐弯抹角的构造中，我们能看出从弗雷格的立场破解罗素悖论的端倪，因为我们在分析“（）是一个这样的概念的外延，这个外延不属于它”的外延的含义的时候，已经表明了，“它”只能指代“短短的概念”，而不能指代“长长的概念”；换言之，“长长的概念”的外延是所有的“‘短短的概念’的外延”，但正因为“长长的概念”和“短短的概念”绝不同一，所以“长长的概念”的外延必然不是所有的“‘短短的概念’的外延”中的一员，因而这个“所有的”其实不是真的所有，而必须挖去“长长的概念”的外延自身。通过这样的自身分析，“长长的概念”的外延自身就在关于自身的描述之上进行了进一步的规定，这个规定就是，“长长的概念”的外延自身肯定不是“属于长长的概念”的对象。因而，在充分的分析中，罗素悖论不再是悖论，其产生原因在于日常语言的迷惑性，而在这个分析过程中，罗素的“类型论”的根据也就充分地显示了自身。

另一个悖论是说谎者悖论。它的简单版本是：我正在说谎。我只说了这一句话。如果用p 来代表“我言说的命题” ，“我正在说谎”就是命题“ ¬p ”，但“我正在说谎”恰恰是 p ，换言之， p＝¬p ，既然如此， p＝p∧p＝p∧¬p 是一个矛盾式，但同时， p＝p∨p＝p∨¬p 是同义反复式（同义反复式和矛盾式，用维特根斯坦的术语如是说），这大抵就是该悖论的本质罢，即日常语言被翻译成符号语言后，本来在日常语言中看起来像是命题的陈述不再具有真假两极性，甚至既真又假，因为它既是同义反复式，又是矛盾式。在符号语言之内，这个问题当然是很好解决的，因为悖论真正发生在“我正在说谎”的符号语言被构造出来之前，换言之，“我正在说谎”是不能被翻译为符号语言的，因为它在符号语言里的对应物是 p＝¬p 。如果符号语言的规则如我们所见那样固定下来，那么假想出来的“我正在说谎”在符号语言中的对应物就应该被从符号语言的实际表达式中剔除出去。

这样的结果带来的最大的疑虑是，既然符号语言在面对日常语言时有所局限，那么也就不能说符号语言是完善的语言了。如果非要在符号语言中为“我正在说谎”找一个对应物，那么这个对应物只能是“无”。符号语言中是缺乏“无”的，因为哪怕是“空集”，或者“零”，符号语言都认为它们是对象，并且在这个意义上与其他对象没什么不同；而既然已经是对象了，那么它们就是符号语言中的“直接的存在”，具有肯定的直接性。而“我正在说谎”和 [公式] 恰恰将符号语言中的“无”揭示出来。倘若符号语言非要将“无”纳入自身之中，那么就必须认为“存在”与“无”是具有关联的，而这种关联必须得到充分考察；但符号语言在这里变傻了：我们知道，对于符号语言来说，如果要研究“无”，那么无就成了对象，因而也就成了直接的存在，而“无=存在”在符号语言里是不可接受的，因为它相当于0=非0。但来到符号语言之外，我们就发现，“存在即无，无即存在，它们的真理是转变”恰恰是辩证法的核心；而在这个视角下，符号语言之将空集、0当作对象来研究恰恰是内在地辩证的做法。

当然不可以站在符号语言的视角认为，既然“我正在说谎”无法被译为符号语言，那么哪怕在日常语言中它也仅仅是符号语言意义上的“无”。想象一个人言说：“我正在说谎”，那么闻者如有所知，他就会想到这是著名的悖论；如果闻者无所知但是智力健全，那么他就会发现其中奥妙并可能回应：“少玩你那些语言把戏。”但“悖论”和“语言把戏”都是未在“我正在说谎”这个表达中直接出现的东西，换言之，正因为“我正在说谎”在概念运动中与“悖论”和“语言把戏”这种明显具有直接性的存在相关联，而不像在符号语言中那样——“无”无法与“存在”相关联——，所以恰恰不能用符号语言对待“我正在说谎”的态度去看待“我正在说谎”的真正意义。哪怕“我正在说谎”的确无所言说，它也与“存在”具有关联，并在这个关联之中扬弃自身并具有存在。

罗素悖论是类似的。

在492页韩老师介绍了罗素的类型论。从头介绍类型论当然对不熟悉罗素理论的读者比较友好，但介绍用语却出现了一些容易造成混乱之处。

首先是一些术语的问题。该页第二行有所谓“个体变项”，而第五行则出现了“函项变项”，需将它们放在一起比较；函项具有主目，主目是变项，而且主目既可以是形式上与个体相一致的变项，也可以是形式上与函项相一致的变项，形式上与个体相一致的变项就是个体变项，形式上与函项相一致的变项就是函项变项。之后，在区分谓述函项和非谓述函项时，韩老师提及了术语“约束变项”。关于这个术语，我将借用维基百科上的“自由变量和约束变量”这一词条的解释[1]：

在 数学和其他涉及 形式语言的学科中，包括 数理逻辑和 计算机科学，自由变量是在 表达式中用于表示一个位置或一些位置的 符号，某些明确的 代换可以在其中发生，或某些运算（比如 总和或 量化）可以在其上发生。这个概念有关于占位符（它是以后会被 文字串所替换），或表示未指定符号的 通配符，但更加深入和复杂。

变量 x 成为约束变量，比如

对于所有 x (x＋1)²＝x²＋2x＋1 。

或

存在 x ，使得 x²＝2 。

在任何这种命题中，是否使用 [公式] 或其他什么字母在逻辑上不重要。但是，在复合 命题的其他地方再次使用同一个字母可能导致冲突。就是说，自由变量变成了约束的，并在支持公式的格式化的进一步工作中在某种意义上“退休”了。

......

在陈述自由变量和约束变量（或虚变量）的严格定义之前，我们会给出一些例子，使这两个概念比定义看起来更加清楚：

在表达式

10

∑ f(x，y)，

x＝1

中， y 是自由变量而 x 是约束变量（或虚变量）；因此这个表达式的值依赖于 y 的值。

在表达式

10

∑ f(x，y)，

y＝1

中， x 是自由变量而 y 是约束变量；因此这个表达式的值依赖于 x 的值。

∫₀∞ xʸ⁻¹e⁻ˣdx

中 y 是自由变量而 x 是约束变量；因此这个表达式的值依赖于 y 的值。

在表达式

f(x＋h) – f(x)

lim ───────，

h→0 h

中 x 是自由变量而 h 是约束变量；因此这个表达式的值依赖于 x 的值。

在表达式

∀x∃yφ(x，y，z)，

中 z 是自由变量而 x 和 y 是约束变量；因此这个表达式的 真值依赖于 z 的值。

认识了何为约束变项和自由变项，就会发现韩老师几处不合理的表述。首先是这一句话：

一个含有一个变项的函项是述谓的 ，如果它比它的主目高一阶 ， 也即如果它是最低一阶可以具有这个主目的函项。比如：Ψx 是（x的）一阶述谓函项， (ф)Ψ(фy，x) 是（x的）二阶述谓函项。

其中第一个逗号之前的所谓“含有一个变项的函项”中的“变项”应指“自由变项”，这从后面的例子就可以看出。其次是下文的所谓“似是而非的变项”或者“似是而非的个体变项”，关于这两个术语，我的解释是，“似是而非的变项”即由全称量词约束了的变项（这个论断的根据来自511页第三段引文，这里也提到了“似是而非的变项”）；后者可类推而得知。

之后几页的内容涉及集合论，在此不赘述。

先前对罗素悖论和说谎者悖论的讨论中我们已经看到，数理逻辑的集合无法消化自身，因此罗素提出类型论来消解悖论，而这实际上是悖论作为符号语言的悖论的自身消解。维特根斯坦对此持批评态度。作者在第503至506页引述了维特根斯坦的观点，并给出了自己的观点，但我认为其观点有时人的局限性。在维特根斯坦那里，真正的命题有与之对应的事态，而命题作为事态的图像，与事态具有相同的逻辑形式。同时，事态作为基本事态的特定排列方式，可认为是一种“事态函项”；那么这个“事态函项”能不能以自身为主目呢？考虑到“世界”的完全可分析性，这是不可能的，因为事态的存在与否取决于与之相关的基本事态的存在与否，如果事态的存在与否可以被认为也取决于其自身（“事态函项”把自己当作自己的主目），那么就会有这样的情况：基本事态决定某事态存在，而某事态的存在既然不可能决定其不存在（因为基本事态的存在与否已经决定了该事态存在），就只能决定自身的“存在”，但这毫无疑问是无意义的结论。像罗素悖论那样的集合，它自身取决于自身并导向悖论的话，这个悖论只可能是观念上的奇思妙想（胡思乱想），而不是来自真正的命题，因为真正的命题与某事态具有相同的逻辑形式，并且“某事态的真取决于它的假”或“某事态的假取决于它的真”使世界丧失确定性（这是不符合维特根斯坦体系的），而说“某事态的真取决于其自身的真，某事态的假取决于其自身的假”又是无意义的，所以真正的命题必不可能以罗素悖论或者说谎者悖论的形态出现。前已说过，说谎者悖论和罗素悖论的本质是，在悖论情形下进行的论断既是同义反复式，也是矛盾式，换言之，既恒真又恒假；如果要将之强行纳入维特根斯坦的体系，也许可以说，正如同义反复式和矛盾式是将具有真假两极性的真正的命题推向极端而产生的，并且它们丧失了真假两极性却仍有所显示（显示那不可言说的东西）一样，像说谎者悖论和罗素悖论这样的“自指悖论”则是将同义反复式和矛盾式推向极端而产生的——它现在已经无所显示，消散成纯粹的无。它是伫立于逻辑尽头的逻辑命题。

但是，以上内容是个人发挥，维特根斯坦本人的意见是“任何命题都不能对其自身有所言说”。其实也好理解，既然“自指悖论”是无，那么它显然也不是对其自身有所言说的命题（因为是无嘛）。倘若考虑另一种自指的命题，它说明的是“某事态的真取决于其自身的真”或者“某事态的假取决于其自身的假”，那么实际上这种命题仅仅包含同一性；但正因为维特根斯坦反对同一性符号出现在符号语言中，所以这种命题也是无所显示的无。

顺便贴上自指的含义：[2]

在 自然语言和 形式语言中，如果一句句子直接或间接提及自身，就称为自指（Self-reference）。自指可以是直接的，比如 说谎者悖论，也可以是通过另外一句句子间接提及自身，还可以是通过某种 编码反应自身，自指的语句常常会造成 悖论。

在 数学、 哲学、 计算机科学、 语言学中都有针对自指的研究。在数学中，对自指的研究最终导致了著名的 哥德尔不完备定理。在哲学中，“自指”一词也指代主体谈论或提及自身的能力。在中文中，通常使用第一人称代词“ 我”指代自身。在计算机科学中，有著名的 停机问题。计算机程序中的自指主要是为 递归。

罗素悖论和说谎者悖论都是由于自指而导致的：命题的真取决于它自己的假——它通过指涉自身来构造自身。

第495页，引文为：

这里，“（）具有成为一个大将军所必须的所有性质”也是一个函项，但它不是拿破仑、巴顿等个体所满足的述谓函项，囚为它涉及这些个体所满足的所有述谓函项。

“不是......述谓函项”是因为，成为大将军所必须的性质有很多，而“（）具有成为一个大将军所必须的所有性质”就是“具有性质1”“具有性质2”“具有性质3”的真值函项，因而自由变项x并不只比“（）具有成为一个大将军所必须的所有性质”这个函项小一阶。

转向第514页。这一页起始所设想的那个世界之所以能被用来反驳还原公理，是因为在这个世界中只有一种关系，并且这个世界被完全描述所基于的那个命题(∃x，y，z，· · ·，R). R(x，y，z，· · ·) 中的函项 R(x，y，z，· · ·) 是一个非述谓的函项；只借助于该函项就可以描画这个世界，而由这个函项在还原定理的规定下所能得到的述谓的函项既不存在，也不被需要，还原公理由是遭到排挤。

随后本段结尾处说“还原公理的作用简单说来就在于将量化命题归约为非量化命题”。“拿破仑具有成为一个大将军所必须的所有性质”正因为其中的“所有”而成为量化命题。

参考

1. 自由变量和约束变量 - 维基百科，自由的百科全书 https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%8F%98%E9%87%8F%E5%92%8C%E7%BA%A6%E6%9D%9F%E5%8F%98%E9%87%8F

2. 自指 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E6%8C%87

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