Steinbart定理的纯射影证明

定理陈述如下：△ABC的内切圆锥曲线与AB BC CA分别切于 F D E其上三点 X Y Z，则AX BY CZ 共点等价于 DX EY FZ 共点。

在射影变换下命题容易证明。下面笔者给出其纯射影证明。

简证：（by perspective-H20)只证 ← 方向。

由Desαrgues 逆定理只需证

YX∩AB ZX∩AC YZ∩BC共线。

固定Z，令EY∩DX ≜ G在FZ上变动形成点列：如图1，由Y ⌆ G ⌆ X 知YX与一定圆锥曲线相切

A

F X

G E

B Y O Z C

取特例知ED AB为其切线，从而

C（G）⌅（YX∩DE）⌅（YX∩AB），而G⌆X⌆（ZX∩AC），同理

G⌅（YZ∩BC），换言之

（YX∩AB）⌅（ZX∩AC）⌅（YZ∩BC）。我们需要证明三组射影对应中任意两组相同，或即包络同一圆锥曲线。注意到5条切线确定唯一的圆锥曲线，下验证4个特例并结合已有的切线（△ABC的某一边）即证：

①Y＝Z X＝Z：显然成立；②

Y＝D X＝E：显然成立；

③ Y 为BE 与圆锥曲线的第一交点，如图2：

A

X E F G Z

Y

B O C

由Chαsles定理（见纯几何“吧5000专题）知AD BE(＝BG) CF共点，再对 △ DGF △ABC 用Desαrgues定理知 DG∩AB FG∩BC DF∩AC 共线，再对△XGZ △ABC 用 Desαrgues 逆定理知AX BG(＝BY) CZ共点，等价于YX∩AB ZX∩AC YZ∩BC 共线，即所欲证。

④X 为 AD 与圆锥曲线的第一交点：类似③而证。

综上证毕！

这个定理对内切圆的情形也可以用三角计算证明（参见：沈文选《几何瑰宝》）。

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