泛函分析《空间定义》

泛函分析《L^ᵖ空间定义》

今天就介绍一下Lᵖ空间首先，我们利用 L¹(Ω) 表示值域为 ℝ 的 Ω 上的可积函数空间，定义范数（范数需满足正定性、齐次性以及三角不等式）： ‖f‖ʟ¹＝∫Ω |f(x)|dx

一、重要的积分定理

1. 单调收敛定理：设 {fₙ} 是 ʟ¹ 中序列， ∀n，fₙ ≤ fₙ₊₁ α，e. 有 sup ∫ fₙ＜∞ ，

ₙ

那么 fₙ(x) 在 Ω 上几乎处处收敛，记为 f(x) ，有 f∈L¹ 且 ‖fₙ–f‖ʟ¹ → 0 。

2. Lebesgue控制收敛定理：设 {fₙ} 是 ʟ¹ 中函数序列，假设 fₙ(x) → f(x) α，e 收敛于 Ω 中，且存在函数 g∈L¹ 使得对每个 n ， |fₙ(x)| ≤ g(x) α，e. 于 Ω 中，则 f∈L¹ 且 ‖fₙ–f‖ʟ¹ → 0.

3. Fatou引理：设 {fₙ} 是 ʟ¹ 中函数序列使得对每个 n ， fₙ(x) ≥ 0 α，e. in Ω，以及满足

sup ∫ fₙ＜∞ . 对于每个 x∈Ω ，

ₙ

令 f(x)＝lim inf fₙ(x) ，则 f∈L¹(Ω) 且 ∫ f ≤ lim inf ∫ fₙ. n→∞

4. 记号： Cᴄ＝{f∈C(Ω)，f(x)＝0∀x∈Ω – K，K ⊂ Ω }表示 Ω 中具有紧支集的连续函数空间。

5. 稠密性定理：空间 Cᴄ(Ω) 在 ʟ¹ 中稠密，即有 ∀f∈L¹(Ω) 以及 ∀ε＞0 ， ∃f₁∈Cᴄ(Ω) 使得 ‖f – f₁‖＜ε .

6. Tonelli：设 Ω₁，⊂ ℝᴺ¹，Ω₂ ⊂ ℝᴺ² 为开集， F：Ω₁ × Ω₂ → ℝ 为可测函数。假设对几乎处处 x∈Ω₁，∫Ω₂ |F(x，y)|dy＜∞ 以及 ∫Ω₁ dx ∫Ω₂ |F(x，y)|dy＜∞，那么 F∈L¹(Ω₁ × Ω₂) .

7. Fubini：假设 F∈L¹(Ω₁ × Ω₂)，那么对几乎处处 x∈Ω₁，F(x，y) ∈ L¹y(Ω₂) 且有 ∫Ω₂ F(x，y) dy∈L¹ₓ(Ω₁)，同样，对于几乎处处 x∈Ω₂，F(x，y) ∈ L¹ₓ(Ω₁) 且有 ∫Ω₁ F(x，y)dx ∈ L¹y(Ω₂)，并且有

∫Ω₁ dx ∫Ω₂ F(x，y)dy＝∫Ω₂ dy ∫Ω₁ F(x，y)dx＝∫ ∫Ω₁×Ω₂ F(x，y)dxdy

二、ʟᵖ 空间的定义

定义 设 p∈ℝ，1 ≤ p＜∞，令

Lᵖ(Ω)＝{f：Ω → ℝ；f |f|ᵖ∈L¹(Ω)}

定义范数‖f‖ʟᵖ＝[∫Ω|f(x)|ᵖdx]¹/ᵖ.

定义 令

L∞(Ω)＝{f：Ω → ℝ；f C |f(x)| ≤ C α，e. Ω }

定义范数

‖f‖ʟ∞＝inf{C；|f(x)| ≤ C α，e. Ω}。

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