【SEP】数学与哲学唯名论 布埃诺·奥塔维奥（四）

第二种考虑是更详细地研究所研究的物理（或物质）对象与数学框架之间的关系。这些是“合成决定”关系（Hellman 1989年，第124-135页）。更具体地说，我们必须确定非数学对象之间的哪些关系可以在应用数学陈述的前项中被当作指定“实际物质情形”的基础（Hellman 1989, p. 129）。模态结构主义的建议是考虑一个综合理论T′的模型。这个理论包含并联系了应用数学理论的词汇（T）和有关的合成词汇（S），它直观地固定了实际的物质情形。假设T在同构的前提下决定了一种特定的数学结构（例如包含Z），而T′是T的延伸。在这种情况下，如果以下条件成立，那么一个提议的“合成基础”将是充分的：

让a是T′的（数学上的）标准模型类，让V表示T′的全部词汇：那么S决定a中的V，即对于a中的任何两个模型m和m′，以及它们的域之间的任何双射关系f，如果f是一个S同构，它也是一个V同构。 (Hellman 1989, p. 132.)

当然，在这种情况下引入同构是为了适应所研究的领域的（应用）数学部分与非数学部分之间的结构保存的需要。这在关键的情况下是成立的，即f对合成属性和关系的保留（S-同构）导致了对整个理论T′的分析性应用数学关系的保留（V-同构）。应该注意的是， “合成”结构并不是指“捕捉”有关数学理论的全部结构，而只是其应用部分。 (回顾一下，赫尔曼是从应用数学理论T开始的）。

这可以用一个简单的例子来说明。假设有穷多的物理对象显示出一种线性秩序。我们可以通过定义一个从这些物体到自然数的一个初始段的函数来描述这一点。模态结构主义者的合成决定条件所要求的是，仅仅物体之间的物理秩序就能抓住这个函数以及它对物体的描述。这并不是说整个自然数结构就这样被抓住了。这个例子也提供了上面提到的应用数学声明的一个说明。Urelemente（不是集合的对象）是有关的物理对象，相关的数学关系是同构的，数学结构是具有通常线性顺序的自然数段。

在模态结构概念上，数学的应用是通过在数学结构的（部分）和那些代表物质情形的结构之间建立适当的同构性。这种程序是合理的，因为这种同构建立了数学和非数学层面的（相关部分）结构上的等同性。

然而，这个建议面临两个困难。第一个是关于（应用）数学领域和非数学领域之间的结构等同性的本体论地位。如果其中一些结构涉及“物质”对象，我们有什么理由可以声称所考虑的结构在数学上是相同的？当然，鉴于结构上的等同性是通过同构来建立的，物质对象已经用结构术语来表述——这意味着一些数学已经被应用到有关领域中。换句话说，为了能够代表数学的适用性，赫尔曼假设一些数学已经被应用。这意味着，对数学的适用性的纯数学表征（通过结构保存）本质上是不完整的。应用的第一步，即物质领域的数学建模，没有也不可能被容纳，因为那里不涉及同构性。事实上，鉴于假设该领域没有用数学术语来阐述，那里没有定义同构。

可以说，模态结构主义的策略并不要求（应用）数学结构和描述物质情形的数学结构之间的同构。该策略只要求整体理论T′的两个标准模型之间的同构，它将数学理论T和物质领域的描述S联系起来。在回答中，请注意，这只是把难度提高了一个层次。为了使T′能够扩展应用数学理论T，并在T和物质情形之间提供联系，T′的一个模型将必须是，特别是T和S的模型。因此，如果模态结构主义者的合成决定主张得到满足，T′的两个模型之间的同构性将决定S的模型和T的模型之间的同构性。

第二个困难是关于数学领域和非数学领域之间存在结构上的等同性这一说法的认识论地位。我们有什么理由知道这种等价性是成立的？有人可能会说，这种等价性是为了让应用过程启动而在规范上强加的。但这个建议导致了一个两难的局面。要么就是假设我们知道等价关系成立，而认识论问题就被提出来了(因为这样做的理由是有问题的)，要么就是假设我们不知道等价关系成立，这就是为什么我们必须强加条件，在这种情况下，后者显然是没有根据的。然而，可以说这里没有问题，因为我们通过研究所考虑的物质对象的物理理论来建立同构性。但问题是，为了制定这些物理理论，我们通常使用数学。而问题恰恰是要解释这种使用，也就是说，要对我们知道相关的数学结构与物理结构是同构的理由提供一些理解。

这些考虑背后的要点已经被经常强调了（尽管是在不同的背景下）：同构似乎不是捕捉数学结构与世界之间关系的一个适当条件（例如，见da Costa和French 2003）。当然，在这个层面上使用同构的背后有一个正确的直觉，这与证明数学应用的想法有关：同构确实保证了应用的数学结构S和代表物质状况的结构M在数学上是相同的。问题是，基于同构的表征往往是不现实的强大。它们要求一些数学已经被应用于物质情形，并且我们对S和M之间的结构等同性有所了解。我们需要的是一个框架，其中相关结构之间的关系弱于同构，但它仍然支持适用性，尽管要求不高（例如，Bueno, French和Ladyman 2002）。

4.2评估：模态结构主义的好处和问题

4.2.1认识论问题

模态结构主义者部分地解决了数学的认识论问题。假设模态-结构翻译方案对集合理论有效，那么模态结构主义者就不需要解释我们如何能够拥有关于数学对象、关系或结构存在的知识——鉴于对这些实体缺乏承诺。然而，他们仍然需要解释我们对相关结构的可能性的认识，因为翻译方案使他们承诺了这种可能性。

这里出现的一个担心是，就实质性的数学结构（比如集合论中所引用的那些）而言，对这种结构的可能性的了解可能需要对数学的实质性部分有所了解。例如，为了知道Zermelo集合理论中提出的结构是可能的，我们大概需要知道该理论本身是一致的。但该理论的一致性只能在另一个理论中建立，而另一个理论的一致性也需要建立——我们面临着一个倒退。考虑到如果这些理论事实上是不一致的，考虑到经典逻辑，一切都可以在这些理论中得到证明，简单地假定有关理论的一致性将是任意的。

当然，这些考虑并不能确定模态结构主义者不能发展数学的认识论。它们只是表明，为了更充分地解决数学的认识论问题，似乎需要在认识论方面有进一步的发展。

4.2.2数学的可应用性问题

同样，数学的可应用性问题也被模态结构主义者部分地解决了。毕竟，提供了一个解释数学在科学中的可应用性的框架，就这个框架而言，数学的应用是可以被容纳的，而不需要承诺相应对象的存在。

出现的一个担忧（除了上文第4.1节末尾已经提到的那些担忧）是，与数学虚构主义的情况类似，拟议的框架不允许我们对数学应用的实际用途做出解释。模态-结构框架不是解释数学在科学实践中的实际应用，而是为了规范该实践并免除对数学实体的承诺而提出的。但是，即使该框架成功地完成了后一项任务，从而使模态结构主义者避免了相关的承诺，如何使数学在科学语境中的实际使用方式具有意义的问题仍然存在。提供一个翻译成唯名论语言的方案并不能解决这个问题。这样一来，数学实践的一个重要方面就没有得到解释。

不可或缺性论证在模态-结构解释中的地位是相当独特的。一方面，该论证的结论被破坏了（如果提议的翻译方案通过的话），因为对数学对象的存在的承诺可以被避免。另一方面，不可或缺性论证的修订版可以用来激励翻译成模态语言，从而强调模态结构主义者所引入的原始模态概念所发挥的不可或缺的作用。我们的想法是改变论证的第二个前提，坚持认为数学理论的模态结构翻译对于我们关于世界的最佳理论是不可或缺的，并得出结论说我们应该在本体论上致力于相应结构的可能性。在这个意义上，模态结构主义者可以援引不可或缺性论证来支持他们所赞成的翻译方案，从而支持相关结构的可能性，这些结构在修正论证的结论中被提到了。但是，该论证并不支持数学对象的存在，而只是支持对数学理论的模态-结构性翻译的承诺和数学结构的可能性。

4.2.3统一的语义学

随着模态运算符和拟议的翻译方案的引入，模态结构主义者无法为科学和数学理论提供统一的语义。只有后者，相对于前者，需要这种算子。事实上，菲尔德认为，如果在科学理论的表述中援引模态运算符，不仅其数学内容，而且其物理内容也将被唯名论化（Field 1989）。毕竟，在这种情况下，理论不是断言某种物理情况实际上是这样的，而只是说明这种情况的可能性。

避免这种困难（由于使用模态运算符而失去科学理论的物理内容）的一个策略是采用一个实在运算符。通过适当地把这个算子放在模态算子的范围内，就有可能解除对有关物理内容的名词化（Friedman 2005）。如果没有引入实在算子，或者一些相关的操作，不清楚模态结构主义者是否能够保留有关科学理论的物理内容。

但是，在这种情况下引入实在算子需要区分唯名论和数学内容。 (Azzouni 2011年论证了这种区分根本不存在。)否则，无法保证实在算子的应用不会产生超过物理真实的东西。

然而，即使引入了这样的算子，在模态-结构的翻译方案上，数学和科学话语的语义仍然会有很大的区别。因为前者，相对于后者，并不援引这样的算子。其结果是，模态结构主义似乎不能为数学和科学语言提供统一的语义。

4.2.4从字面上理解数学

鉴于引入模态运算符的需要，模态结构主义者并不从字面上看待数学话语。事实上，可以说，这就是该观点的全部意义！从字面上看，数学话语似乎致力于抽象对象和结构。从字面上看，数学话语似乎致力于抽象的对象和结构——这是模态结构主义者显然要避免的承诺。

然而，问题仍然是，为了阻止这种承诺，我们提供了一个与实际数学实践平行的话语。这种话语是“平行的”，因为数学实践通常不援引模态结构主义者所介绍的模态运算符。对于那些旨在理解数学实践中所使用的数学话语，并试图找出该实践中阻止对数学实体的承诺的适当特征的人来说，拟议的翻译将使该目标的实现特别困难。

4.2.5本体论问题

模态结构主义者已经部分地解决了本体论问题。似乎不需要对数学对象或结构的承诺来实现拟议的翻译方案。主要的关切来自于对模态运算符的引入。但正如模态结构主义者所强调的，这些运算符并不预设可能世界的语义：它们是作为原始术语引入的。

然而，由于数学公理的模态翻译被认为是真实的，那么问题就来了，是什么让这样的陈述成为真实的？例如，当断言“有可能存在满足皮亚诺算术公理的结构”时，是什么使这种陈述成为真实？显然，模态结构主义者不会把有关的可能性建立在皮亚诺公理的实际真理之上，因为根据合理的解释，此举将需要柏拉图主义。模态结构主义者也不会在存在皮亚诺公理的一致性证明的基础上支持相关的可能性。毕竟，任何这样的证明都是一个抽象的对象，在模态结构主义的基础上援引它显然威胁到整个观点的一致性。此外，援引这种一致性证明的模态化版本将引出问题，因为它假定模态算子的使用已经是合理的。归根结底，正确解决本体论问题所需要的是对模态话语的适当说明。

5.紧缩唯名论

5.1紧缩唯名论的主要特征

根据紧缩唯名论者的观点，坚持数学理论是科学所不可或缺的，断言数学和科学理论是真的，并否认数学对象的存在，是完全一致的。我称这种观点为“紧缩唯名论”，因为它对数学的意义要求非常小（Azzouni 2004），它提出了一种紧缩的真之观点（Azzouni 2004，2006），并主张直接提出数学理论，而不要求对它们进行重构或改写（Azzouni 1994，2004）。

紧缩唯名论提供了一条通向唯名论的“简易之路”，它不需要对数学话语进行任何形式的重新表述，同时承认数学的不可或缺性。尽管对数学对象和关系的量化对于我们关于世界的最佳理论来说是不可或缺的，但这一事实没有提供任何理由来相信相应实体的存在。这是因为，正如阿佐尼所指出的，应该区分两种承诺：量词承诺和本体论承诺（Azzouni 1997；2004，第127页和第49-122页）。只要我们的理论意味着存在性量化的陈述，我们就会招致量化器的承诺。但是，阿佐尼坚持认为，存在性量化并不足以实现本体论承诺。毕竟，我们经常对我们没有理由相信存在的对象进行量化，比如虚构的实体。

要产生一个本体论的承诺，也就是说，要致力于一个特定对象的存在，就需要满足关于什么存在的标准。当然，存在的东西有各种可能的标准（如因果效力、可观察性、检测的可能性等等）。但是阿佐尼赞成的标准是本体论的独立性，而且他认为这是一个已经被集体采用的标准（2004年，第99页）。存在的是那些在本体论上独立于我们的语言实践和心理过程的事物。问题是，如果我们只是通过我们的语言实践或心理过程捏造了一些东西，我们就没有必要承诺相应对象的存在。而通常，我们会抵制任何这样的承诺。

根据本体论的独立标准，心理过程本身是否存在？可以说，大多数心理过程确实存在，至少是那些我们经历过的，而不是那些我们编造的。毕竟，独立标准所依据的动机是那些我们只是在口头上或心理上编造出来的东西并不存在。头痛或者相信现在有一台笔记本电脑在我面前，都是我没有编造的心理过程。因此，看起来至少这类心理过程确实存在。相反，想象、欲望和希望是我们编造的过程，因此它们不存在。然而，在这些情况下，该标准的基本动机似乎与该标准的实际表述所包含的内容有出入。因为该标准坚持“我们的语言实践和心理过程”的本体论独立性。既然头痛和信念本身就是心理过程，那么它们在本体论上就不能独立于心理过程。因此，它们并不存在。这意味着，如果按所述标准应用，就没有心理过程存在。出于类似的原因，小说、心理内容和机构也不存在，因为根据紧缩唯名论者的说法，它们都是依赖于我们的语言实践和心理过程的抽象对象（Azzouni 2010a, 2012）。

当然，蒯因确定了量词和本体论的承诺，至少在我们关于世界的最佳理论所不可缺少的对象这一关键情况下是如此。这样的对象是那些不能通过解析而消除的对象，而且当我们对相关理论进行规整时，我们必须对其进行量化（使用一阶逻辑）。根据蒯因的标准，这些正是我们在本体论上所承诺的对象。阿佐尼坚持认为，我们应该抵制这种识别。即使我们最佳理论中的对象是不可或缺的，即使我们对它们进行量化，这也不足以让我们在本体论上对它们做出承诺。毕竟，我们量化的对象可能在本体上依赖于我们，依赖于我们的语言实践或心理过程，因此我们可能只是编造了它们。但是，在这种情况下，显然没有理由对它们的存在做出承诺。然而，对于那些在本体论上独立于我们的对象，我们致力于它们的存在。

事实证明，在阿佐尼看来，数学对象在本体论上依赖于我们的语言实践和心理过程。因此，即使它们可能是我们关于世界的最佳理论所不可或缺的，我们也没有在本体论上对它们做出承诺。因此，紧缩唯名论的确是唯名论的一种形式。

但是，在什么意义上，数学对象依赖于我们的语言实践和心理过程？在这个意义上，对某些原则的纯粹假设对数学实践来说是足够的： “一个数学主体及其伴随的假设可以通过简单地写下一套公理而凭空产生”（Azzouni 2004, p.127）。在实践中，纯粹的假设必须满足的唯一额外约束是，数学家应该发现由此产生的数学是有趣的。也就是说，从相关的数学原理所产生的后果不应该是显而易见的，而且它们应该是可计算的。因此，鉴于数学中纯粹的假设（基本上）就足够了，数学对象没有认识论上的负担。这样的对象，或“假设”，被称为超薄(Azzouni 2004, p.127) 。

紧缩唯名论者为区分本体论承诺和量词承诺所做的动作也被用来区分对Fs的本体论承诺和断言“有Fs”的真理。虽然科学中使用的数学理论是（被认为是）真实的，但这并不足以让我们承诺这些理论所谓的对象的存在。毕竟，根据紧缩的唯名论者，存在Fs可能是真的，但要在本体论上承诺Fs，需要满足一个关于存在的标准。正如阿佐尼所指出的：

“我把真正的数学陈述当作字面意义上的真实；我放弃了证明这种字面意义上的真实的数学陈述对于经验科学并非不可或缺的尝试，然而，我可以把数学术语描述为根本不指任何东西。如果没有蒯因的标准来败坏它们，存在论的陈述就没有本体论。” (Azzouni 2004, pp.4-5.)

在紧缩唯名论图景中，本体论承诺在自然（甚至是形式）语言中没有任何特殊的信号。我们只是没有读出科学学说的本体论承诺（即使它们被适当地规整了）。毕竟，如果没有蒯因的本体论承诺标准，无论是对一个给定对象的量化（在一阶语言中），还是对这样一个对象的真实要求的表述，都不意味着后者的存在。

在他1994年的书中，阿佐尼没有致力于唯名论，理由是唯名论者通常需要重建数学语言——如上所述，数学虚构主义（Field 1989）和模态结构主义（Hellman 1989）确实是这种情况。然而，在阿佐尼(Azzouni 1994)提出的建议中，并没有实施或需要这种重建。数学对象在如何认识数学真理方面没有发挥任何作用，这清楚地表达了一种唯名论的态度——阿佐尼在(Azzouni 2004)中明确地认可了这种态度。

紧缩唯名论很好地表达了一个应该被认真对待的观点。而且，相对于其他版本的唯名论，它有一个重要的好处，就是旨在从字面上看待数学话语。

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