Hodge理论
Part 1: Brief introduction to Hodge theory
(1) complex Hodge theory
对于一个complex manifold X，由代数拓扑的观点我们想研究它的homotopy type，比如cohomology group, fundamental group(nonabelian)
而在complex geometry里面有一类重要的就是Kahler manifold(example是可以embedding to a projective space的)，Kahler metric 提供了Kahler identity，这在Hodge分解中起到了作用
主要结果如下图，Hodge decomposition是Hodge structure定义的motivation, Hard Lefschetz是某种形式的Poincare duality
Kahler manifolds
X compact Kähler manifold (e.g. X ↪P”)
①Hⁿ(X，Q) carries a Hodge structure
Hⁿ(X，Q) ⨂ C ≃ ⨁ Hᵖ，q，Hᵖ，q＝Hᵖ，q＝Hq(X,，，Ωᵖₓ) p＋q＝n
，────
Hᵖ，q＝Hq，ᵖ.
②Hard Lefschetz：
– ∪[ω]ᵏ ： Hᵈ⁻ᵏ(X，C) ∼→ Hᵈ⁺ᵏ(X，C).
③ nonabelian Hodge theory ⇒ restrictions on π₁(X)(Kähler groups)
入门可以看Voison的Hodge theory and complex algebraic geometry第一卷的前两章
(2) p-adic Hodge theory
本质上引入period rings来作为p-adic analogue of complex numbers, 来进行各种cohomology的comparison. 比如de-Rham cohomology, crystalline cohomology, etale cohomology
最初的想法来源于对Hodge decomposition的p-adic analogue，Tate在p-divisible groups这篇文章中给出了Hodge-Tate decomposition for p-divisible groups，这里用到的是etale cohomology. 具体的解读可以看这个notes math.uni-bonn.de/ag/alg...
入门可以看Fontaine and ouyang 的Theory of p-adic Galois representations或者Brinon和Connad的notes math.stanford.edu/~conr...
Part 2: Applications
• 先说说complex Hodge theory里的核心猜想吧，Hodge conjecture简单概括就是Every Hodge class is algebraic. 这个unknown的东东，我们研究各种各样的版本，比如variations of Hodge structures, integral p-adic Hodge theory(over ring of integers of C_{p}，C是那个complex number)
• 这里插播一个关于Hodge conjecture的一个通俗易懂的解释，一句话概括Give a random shape, when it is homeomorphism to a shape described by polynomials? 换言之，就是把jagged edges变成smooth edges，附视频截图的解释
ALGEBRAIC
GEOMETRY ToPOLOGy
R² υ² P R R
P₂R
Tᵗ · Sᵗ × Sᵗ
y b β y x y x
SMOOTH
y
x
SHOOTH
jegepd
edge
SMOOTH
jogge
edge
StogcotTH
jegged
edge
Hodge Conjechve：
─────────
Given α rαndom shape，
ωhen is if homeomorphic
to α shαpe described by
polynomiαls?
• 关于moduli space的一些应用，complex Hodge theory重要的两个例子是abelian varieties和K3 surface，研究它们的moduli space的时候一个关键的条件是polarization on Hodge structure (保证了存在性)
• 最后说下p-adic Hodge theory里面的一个fundamental curve是Fargues-Fontaine curve，可以理解为twisted of P^1，性质是regular Noetherian scheme of Krull dimension 1.
应用主要思想是给出了geometric perspective on arithmetic objects. 有一些研究比如classification of vector bundles on Fargues-Fontaine curve，研究family of Fargues-Fontaine curves后续为了Langlands program里的一个Fargues猜想对于Fontaine-Fargues curve是否成立，如果成立，那么local Langlands conjecture可以理解为geometric Langlands conjecture on the Fargues-Fontaine curve
关于Fargues-Fontaine curve的进一步的参考的资料可以先看下这个outline
里面有一些不错的notes推荐，比如Morrow的Bourbaki seminar: Fargues-Fontaine curve and diamonds
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