信念逻辑

我们介绍信念逻辑(Doxastic Logic)。

在认知逻辑中，我们介绍了Kᵢφ，意思是i知道φ是真的。在这里，我们引入Bαφ，意为α相信φ是真的。在通常情况下，Bα满足D公理，即一个人不能相信两个相反的命题，但也可以对这两个命题都不相信。但要明确的是，一旦一个人相信了一个命题，他就不能相信这一问题的反命题，这是一个人信念的一致性：

Bαφ → ¬Bα ¬φ Balief Consistency

事实上，如果一个人知道一个命题，那他一定相信这个命题，也就是说：

Kαφ → Bαφ

有些人也认为这条强内省(strong introspection)公理成立：

Bαφ → KαBαφ

那我们如何用模态世界的观念建构。

”我们可以想象有很多很多世界，包括我们现在所处的世界。一个世界，可以理解为一堆在这个世界中成立的命题的集合。那么我们不知道我们处在哪个世界（没人知道），但我们会无法分辨我们处在哪个世界。凡是任何两个无法被一个人i分辨的世界都会连上一条线，并在这条线上写上i，就表示∼i，那么如果一个处在世界s，那么考虑任意一个无法与这个世界s分辨的世界t（注意，是被i分辨），如果在这些t，都有φ成立，那么就有Kᵢφ。”

“换句话说，我认识中的世界，是许多许多可能的世界的其中之一，如果所有这些可能的世界中都有φ成立，那么在所有这种可能的世界中，都有Kᵢφ。“

那么对于一个人认识中若干个可能的世界，我们可以在这些可能的世界之间建立偏序关系，相当于将一个世界理解为一个数，给世界建立大小关系，更小的世界表示更为可能的世界(more plausible)。用数学语言来表述，就是x≤ᵢ，ₛ y，其中x，y是两个世界，这些符号表示，在i（是一个人）的认识中可能的世界中，i认为世界x比世界y更有可能。

也就是说，所谓相信，在模态逻辑上就是说，在一个人认识中所有的可能的世界中，某个世界最为可能。下面这张图作为一个例子，可以帮助我们直观地理解认知逻辑和信念逻辑：

1 2

◦ → • → ◦

1 2

x：p，¬q y：p，q z：¬p，q

Benthem.J.F.A.K.van:modal logic for open minds

USA: CSLI Publications 2010, 150

在这张图中，标注有数字1的箭头指向1认为更有可能的世界，注意，有且只有1认为可能的世界间被连箭头。标注有数字1的虚线，表示1无法分辨虚线所连接的两个世界，注意，同样地，有且只有1认为可能的世界间被连虚线。这张图表示：K₁ₚ，K₂q，B₁q，B₂¬p。同时，这张图有这层含义：2相信1知道q，但是1不知道q。

同样，引入可以引入条件信念(Conditional Beliefs)，Bψφ，表示在ψ条件下，一个人相信φ。用上面这套架构来描述，就是说，在一个人认识中所有的可能的ψ成立的世界中，某个世界最为可能，即为Bψφ。所以绝对的信念可以表述为B⊤φ。

参考文献

• [1]Garson J.W.: Modal Logic for Philosophers, Second edition, USA: 2013

• [2]G.E.Hughes, M.J.Cresswell: A New Introduction to Modal Logic, London: T.J. International Ltd. 1996

• [3]Benthem, J. F. A. K. van: modal logic for open minds, USA: CSLI Publications 2010

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