SEP：阿尔希塔斯（三）

阿尔希塔斯的解法被恰当地誉为“所有解法中最杰出的”，是“三维空间中的大胆构造”（Heath 1921，246）；Mueller 称其为“空间想象力的杰作”（1997，312 注 23）。我们之所以能够了解阿尔希塔斯的解法，要归功于欧托基乌斯，他在公元 6 世纪收集了大约 11 种解法，作为他对阿基米德《论球体与圆柱体》第二卷的注释的一部分。欧托基乌斯关于阿尔希塔斯解法的资料最终来自亚里士多德的学生欧德谟，后者在公元前 4 世纪后期写了一部几何学史。这个解法很复杂，这里不可能一步一步地讲解（关于这个解法的详细论述，见 Huffman 2005，342-401）。阿尔希塔斯的做法是构造一系列四个相似三角形（见下图 1），然后证明这些边是成比例的，使得 AM : AI :: AI : AK :: AK : AD，其中 AM 等于原始立方体的边长 (G)，而 AD 是 AM 的两倍。因此，体积是以 AM 为边的立方体的两倍的立方体，应该以 AI 为边来构造。真正的困难在于构造这四个相似三角形，其中给定的原始立方体的边长和长度是该边长两倍的线段，是相似三角形中的两条边。构造这些三角形的关键点 K，被确定为两个旋转平面图形的交点。第一个图形是一个半圆，它垂直于圆 ABDZ 的平面，从直径 AED 开始，在点 A 保持不动的情况下，旋转到位置 AKD。第二个图形是三角形 APD，它从圆 ABDZ 的平面向上旋转到位置 ALD。当这两个图形中的每一个旋转时，它都会在一个半圆柱体的表面上画出一条线，该半圆柱体垂直于 ABDZ 的平面，并以 ABD 为底面。这种构造的大胆和想象力在于，设想旋转的半圆在半圆柱体表面上画出的线与旋转的三角形在同一表面上画出的线，在点 K 相交。我们根本不知道是什么促使阿尔希塔斯做出了这种惊人的空间想象力的壮举，以便构造出边长成适当比例的三角形。关于最近试图将阿尔希塔斯的解法置于他那个时代的数学背景下，并使其不那么“神奇”的尝试，见 Menn 2015。

图 图 图 1 在后来的传统中，据说柏拉图批评阿尔希塔斯的解法是诉诸于“使用工具和机械的构造”（普鲁塔克，《席间闲谈》VIII 2.1 [718e]；《马塞拉斯传》XIV 5-6）。柏拉图认为，几何学和其他数学的价值在于，它们能够将灵魂从感性领域转向理智领域。几何学所处理的立方体，不是一个物理立方体，甚至不是一个立方体的图画，而是一个理智立方体，它符合立方体的定义，但不是一个感官对象。阿尔希塔斯通过使用“需要大量普通手工工艺”的物理工具，并实际上构造了机器来确定这两个比例中项，他关注的不是理智世界，而是物理世界，因此破坏了几何学的价值。柏拉图与阿尔希塔斯之间的争论是一个有趣的故事，但很难与阿尔希塔斯的实际解法相协调，因为正如我们所看到的，他的解法并没有求助于任何工具或机器。这场争论的故事最早出现在公元 1 世纪普鲁塔克的著作中，也很难与我们关于提洛问题故事的最早资料来源——埃拉托色尼——相协调。埃拉托色尼本人发明了一种确定比例中项的仪器，即中项比例规（mesolab，“中项获取器”），他讲述提洛问题的故事，正是为了强调早期的解法，包括阿尔希塔斯的解法，都是以几何证明的形式出现的，不能用于实际目的。他明确地将阿尔希塔斯的解法称为 dysmêchana，“几乎不是机械的”。一些学者试图通过关注普鲁塔克和埃拉托色尼的不同文学目标来调和他们的说法（Knorr 1986，22；van der Waerden 1963，161；Wolfer 1954，12 ff.；Sachs 1917，150）；一些学者认为，阿尔希塔斯解法中半圆和三角形的旋转，可以被视为机械的，因为其中涉及运动（Knorr 1986，22）。然而，普鲁塔克关于柏拉图和阿尔希塔斯之间就几何学中使用机械装置而发生争论的故事，可能是后来的传统杜撰出来的（Riginos 1976，146；Zhmud 1998，217），也许是作为一种关于力学的创世神话，这个神话将力学与哲学的分离解释为两个哲学家之间争吵的结果。在《理想国》中，柏拉图批评了他那个时代的立体几何，但他的批评并没有提到使用工具的问题。相反，他的批评集中在立体几何未能发展成为与平面几何和天文学并驾齐驱的连贯学科（528b-d）。这种对立体几何的忽视，被归咎于希腊城邦没有重视这些困难的研究，缺乏一个领导者来组织这些研究，以及该领域现有的专家们的傲慢自大，他们不愿意服从这样一个领导者。由于阿尔希塔斯对立方体倍积问题的解法表明他是当时最杰出的立体几何学家之一，因此，我们很难不认为柏拉图把他视为那些傲慢自大的专家之一，他们专注于解决有趣的问题，但未能建立起一门连贯的立体几何学科。由于阿尔希塔斯是塔兰托的一位重要的政治人物，因此，柏拉图也可能是在批评他没有让塔兰托成为一个重视立体几何的国家。

Brisson（2013）对这些证据持怀疑态度，并得出结论，阿尔希塔斯从未解决过立方体倍积问题。他认为，如果在他那个时代就存在对这个问题的解法，那么柏拉图就会提到它，而且，托名阿尔希塔斯的解法中所使用的数学，对他那个时代的人来说是不可能的，因为它使用了圆锥曲线，而圆锥曲线直到 3 世纪才发展起来（2013：220-1）。然而，虽然柏拉图确实批评了他那个时代的立体几何的状态，但他也肯定地说，有人在研究它，而且他们的一些成果具有魅力和美感（《理想国》528c-d）。阿尔希塔斯的立方体倍积问题完全可以被列入这些成果之中。此外，阿尔希塔斯解法中使用的数学，绝不依赖于圆锥曲线，而是依赖于欧几里得《几何原本》第 1、3、4、6 和 11 卷中出现的数学，这些数学依赖于阿尔希塔斯活跃的 4 世纪的几何学（Heath 1921，Knorr 1986，Mueller 1997 和 Menn 2015 都认为这些数学适合阿尔希塔斯）。生活在阿尔希塔斯之后两代人的梅奈赫莫斯，是第一个使用圆锥曲线解决这个问题的人（见 Menn 2015：415-6）。Brisson 不得不否定这样一个明确的传统，即早在 4 世纪，欧德谟就已经知道了阿尔希塔斯的解法，并假设这个解法是由后来的传统中的一位编纂者发展出来的，但这样一个编纂者不可能发展出这个解法中复杂的数学，而且，如果他是一位如此有成就的数学家，他就会把它归功于阿尔希塔斯，这是不可信的。

2.2 音乐与数学

早期希腊科学最惊人的发现之一是，音乐的基本音程，即八度音程、四度音程和五度音程，对应于弦长的整数比。因此，如果我们拨动一根长度为 x 的弦，然后拨动一根长度为 2x 的弦，我们就会听到这两个声音之间相隔一个八度音程。如果两根弦的长度之比为 4 : 3，我们就会听到一个四度音程，如果长度之比为 3 : 2，我们就会听到一个五度音程。这种音乐声音现象受整数比支配的发现，一定在毕达哥拉斯学派的观念中发挥了核心作用，菲洛劳斯首先表达了这种观念，即所有事物都是通过数来认识的（DK 44 B4）。和声理论的下一步，是用数学比率来描述整个八度音阶。最早对音阶的这种描述，出现在菲洛劳斯的片段 B6 中。菲洛劳斯认识到，如果我们从任何一个音符开始，向上移动一个四度音程，然后再向上移动一个五度音程，那么最终的音符将比第一个音符高一个八度。因此，八度音程是由一个四度音程和一个五度音程组成的。用数学术语来说，支配五度音程 (3 : 2) 和四度音程 (4 : 3) 的比率，是通过将这些项相乘来相加的，从而产生一个八度音程 (3 : 2 × 4 : 3 = 12 : 6 = 2 : 1)。比起始音符高四度的音符和比起始音符高五度的音符之间的音程，被认为是音阶的基本单位，即全音，它对应于 9 : 8 的比率（比率的减法是通过将这些项相除或交叉相乘来进行的：3 : 2 / 4 : 3 = 9 : 8）。因此，五度音程被认为是一个四度音程加上一个全音，而八度音程可以被认为是两个四度音程加上一个全音。四度音程由两个全音和一个余数组成，这个余数的比率是 256 : 243 (4 : 3 / 9 : 8 = 32 : 27 / 9 : 8 = 256 : 243)。因此，菲洛劳斯的音阶由以下音程组成：9 : 8、9 : 8、256 : 243 [这三个音程构成一个四度音程]、9 : 8、9 : 8、9 : 8、256 : 243 [这四个音程构成一个五度音程，并完成了从起始音符开始的八度音程]。这种音阶被称为毕达哥拉斯全音阶，是柏拉图在《蒂迈欧篇》中构建世界灵魂时采用的音阶 (36a-b)。

阿尔希塔斯将和声理论提升到了一个全新的理论和数学复杂程度。托勒密在公元 2 世纪写道，阿尔希塔斯是“所有毕达哥拉斯学派人物中最致力于音乐研究的人”（A16）。首先，阿尔希塔斯对音调提供了一种一般性的解释，他认为，声音的音调取决于声音传播和传播的速度（B1）。因此，如果一根棍子快速地来回挥动，它就会产生一种在空气中快速传播的声音，这种声音的音调，会被认为比一根棍子缓慢挥动时产生的声音的音调要高。阿尔希塔斯将音调与速度联系起来是正确的，但他误解了速度的作用。音调不取决于声音到达我们耳朵的速度，而是取决于在给定时间段内撞击的频率。一根振动得越快的弦，产生的声音的音调就越高，但如果介质相同，那么所有声音，无论音调如何，传播的速度都是一样的。尽管阿尔希塔斯对音调的描述最终是不正确的，但它却很有影响力。它被柏拉图和亚里士多德继承并加以改造，并一直是古代的主流理论（Barker 1989，41 注 47；Barker 2014：187）。其次，阿尔希塔斯将新的数学严谨性引入了毕达哥拉斯的和声学。用整数比来分析音乐的一个重要结果是，认识到不可能将基本的音乐音程分成两半。八度音程不是被分成两个相等的两半，而是被分成一个四度音程和一个五度音程，四度音程不是被分成两个相等的两半，而是被分成两个全音和一个余数。全音不能被分成两个相等的半音。另一方面，将一个双八度音程分成两半是可能的。从数学上讲，我们可以通过认识到，可以在对应于双八度音程 (4 : 1) 的比率的各项之间插入一个比例中项，从而看出这一点，使得 4 : 2 :: 2 : 1。因此，双八度音程可以被分成两个相等的部分，每个部分的比率都是 2 : 1。支配基本音乐音程 (2 : 1、4 : 3、3 : 2、9 : 8) 的比率，都属于一种被称为超特殊比率的比率类型——粗略地说，就是 (n + 1) : n 形式的比率。阿尔希塔斯做出了一个至关重要的贡献，他提供了一个严格的证明，证明了超特殊比率的数之间不存在比例中项（A19），因此基本音乐音程不能被分成两半。阿尔希塔斯的证明后来被托名欧几里得的《音律论》所继承，并略作修改（命题 3；见 Barker 1989，195）。关于阿尔希塔斯的证明，见 Huffman 2005：451-70 和 Barker 2007：303-5。

阿尔希塔斯对音乐理论的最后一个贡献，与音阶的结构有关（关于以下内容的更详细说明，见 Huffman 2005：402-25 和 Barker 2007：292-302）。希腊人使用了许多不同的音阶，这些音阶的区别在于四度音程或四音音阶的构成方式。这些音阶被分为三大类或类型。一种类型被称为全音阶；其中一个例子是上面描述的毕达哥拉斯全音阶，它建立在音程为 9 : 8、9 : 8 和 256 : 243 的四音音阶上，菲洛劳斯和柏拉图都使用过这种音阶。毫无疑问，阿尔希塔斯知道这种全音阶，但他自己的全音阶四音音阶略有不同，它由 9 : 8、8 : 7 和 28 : 27 这三个音程组成。阿尔希塔斯还定义了另外两种主要类型中的音阶，即自然音阶和半音阶。阿尔希塔斯的自然音阶四音音阶由 5 : 4、36 : 35 和 28 : 27 这三个音程组成，而他的半音阶四音音阶由 32 : 27、243 : 224 和 28 : 27 这三个音程组成。关于阿尔希塔斯在每种类型中采用的四音音阶，有几个令人费解的地方。首先，为什么阿尔希塔斯要拒绝菲洛劳斯和柏拉图使用的毕达哥拉斯全音阶？其次，托勒密是我们了解阿尔希塔斯四音音阶的主要资料来源（A16），他认为，阿尔希塔斯采用了一个原则，即所有谐和音程都应该对应于超特殊比率。阿尔希塔斯全音阶和自然音阶四音音阶中的比率确实是超特殊的，但他的半音阶四音音阶中的两个比率却不是超特殊的 (32 : 27 和 243 : 224)。为什么这两个比率也不是超特殊的？最后，柏拉图在《理想国》中批评毕达哥拉斯的和声学，认为它是在听到的和声中寻找数字，而不是上升到普遍的问题（531c）。根据阿尔希塔斯的四音音阶，我们能理解这种批评吗？所有这些问题的答案，都可以在温宁顿-英格拉姆（1932）和巴克（1989，46-52）的著作中找到。关键的一点是，阿尔希塔斯对三种类型中每一种类型的四音音阶的描述，都可以证明与他那个时代的音乐实践相一致；托勒密的批评之所以没有说到点子上，是因为他不了解阿尔希塔斯那个时代的音乐实践，而托勒密生活的时代比阿尔希塔斯晚了大约 500 年（Winnington-Ingram 1932，207）。阿尔希塔斯正在对实际使用的音阶进行数学描述；尽管数学上的考虑确实发挥了作用（Barker 2007：295-302），但他得出这些数字，部分是通过观察音乐家如何为他们的乐器调音来实现的（Barker 1989，50-51）。他没有遵循毕达哥拉斯全音阶，因为它与任何实际使用的音阶都不符，尽管它确实与一种调音方法相符。阿尔希塔斯半音阶四音音阶中那些不寻常的数字，确实与阿尔希塔斯那个时代使用的一种半音阶相符。托勒密认为阿尔希塔斯坚持所有谐和音程都应该具有超特殊比率的原则，这是错误的（Huffman 2005：422-3），尽管巴克认为他可能遵循的是一个不同但相关的原则（2007：301）。因此，阿尔希塔斯对他那个时代的音乐进行了一次精彩的分析，但恰恰是他对实际音乐实践的关注，引起了柏拉图的愤怒。柏拉图不希望他关注他听到的音乐（“听到的和声”），而是希望他上升到思考哪些数字与哪些数字是谐和的，这是一个相当抽象的问题。柏拉图很可能会欢迎一个完全基于数学考虑的谐和原则，例如只有超特殊比率才是谐和的原则，但阿尔希塔斯想解释他实际听到的音乐中的数字。这里有一个重要的形而上学问题。柏拉图呼吁研究数本身，而不考虑感性世界，而阿尔希塔斯像他之前的毕达哥拉斯学派人物一样，认为感性世界和理智世界之间没有区别，他正在寻找支配感性事物的数字。关于阿尔希塔斯是柏拉图在《理想国》中抱怨的对象的讨论，见 Huffman 2005：423-5 和 Barker 2014：192-3。

2.3 对阿尔希塔斯作为数学家的评价

人们对阿尔希塔斯作为数学家的成就，既有高估的倾向，也有低估的倾向。范德瓦尔登甚至将欧几里得《几何原本》的第八卷和被称为《音律论》的关于音乐数学的论文，都归功于阿尔希塔斯，而这部论文在古代传统中被认为是欧几里得的作品（1962，152-5）。尽管后来的学者（例如，Knorr 1975：244）重复了这些说法，但它们的部分依据是对阿尔希塔斯风格的非常主观的分析。阿尔希塔斯确实影响了《音律论》，因为命题 3 是以阿尔希塔斯的证明为基础的（A19），但这篇论文不可能是阿尔希塔斯的作品，因为它的音调理论和它对全音阶和自然音阶四音音阶的描述，都与阿尔希塔斯的不同。另一方面，一些学者对阿尔希塔斯作为数学家的能力表示怀疑，他们认为他的一些作品看起来像是“纯粹的算术”和“数学上的故弄玄虚”（Burkert 1972a，386；Mueller 1997，289）。这种判断主要基于一篇被误解为表达了阿尔希塔斯本人观点的文本（A17），而实际上，它表达的是阿尔希塔斯对他前辈的报道（Huffman 2005：428-37；Barker 2007：193-5）。立方体倍积问题和阿尔希塔斯对音乐数学的贡献（Barker 2007：287 称他为“数学和声早期历史上的英雄人物”），表明毫无疑问，他是公元前 4 世纪前半叶最杰出的数学家之一。这当然是古代人的判断。欧德谟在他的几何学史中，将阿尔希塔斯与莱奥达马斯和泰阿泰德一起，确定为柏拉图那一代最杰出的三位数学家（A6 = 普罗克洛斯，《欧几里得评注》，序言 II 66，14）。内茨（2014）最近指出，有两个网络解释了古希腊数学的大部分进步。后一个网络以阿基米德为典型人物，而前一个网络以阿尔希塔斯为典型人物。内茨认为，我们应该将伯特兰·罗素对毕达哥拉斯的描述，即“有史以来最重要的人物之一”，应用于阿尔希塔斯，这既是因为他的数学天赋，也是因为他身处三个不同群体的关键地位：(1) 意大利南部的毕达哥拉斯学派，(2) 希腊数学家，以及 (3) 与柏拉图进行对话的哲学家（2014：181-2）。

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