同余理论

在学习数论时，同余理论是绕不开的一环，但是，一个显著的问题就是同余问题非常复杂，多项式的同余方程解的数量远比多项式代数方程多，这种解的多样性导致了，对于一个一般的同余方程，根本就没有简单的方法获得所有的解。

f ≡ 0 mod α

f＝0 ⇔ f ≡ 0 mod α

实际上，代数方程可以看作是模零同余方程，由此我们可以将方程转化为代数方程

f＝kα

f＝k0＝0

可以发现，同余方程的实质是多项式的乘积分解。由此我们可以直接构建一般同余理论，或者说抽象同余理论。

抽象同余理论

【以下会直接使用深奥的数学概念，最好关注于模式，而不是具体的术语，如此才有可能体会到一些实质内容】

对任意结构的乘积分解获得的理论就是同余理论。

F＝A · B

F ≡ 0 mod B

F ≡ 0 mod A

F＝A · B＋C

F ≡ C mod A，B

那么实际上同余理论是数学对象乘积结构的反结构。

也就是说，给定一个任意的数学对象空间，在其上定义乘法运算，由此获得乘积空间，考虑乘积空间上的方程或者曲面就可以获得满足方程的解，或者落在曲面上的点，这些解和点就是同余方程的解。

实际上意味着对于任意数学对象而言，只要存在乘积结构，就必然可以诱导同余理论，就像代数结构中，出现了乘法，就可以考虑乘法逆元一样。

同余理论与代数结构的差异在于，同余理论允许复杂的代数结构，也就是说运算不局限于乘法一种，可以包括加法，乘法，指数，对数，三角，任意算子，他们的综合运算构成的运算闭包就是方程，考虑这个方程的乘积分解性质就是同余理论。

也就是说

Alg[A，＋，·，exp，ln，cos，sin，S[–]]＝BC

左边指的是集合在任意多种代数运算下的运算闭包，右边则是集合中的元素乘积。

这让我想起来了泛代数理论中的同余与商代数。实际上，他建立起了商代数结构，也就是将运算定义在同余类上，或者说等价类上。

由此，我大概明白了泛代数在研究什么问题了，他研究的是各种代数构造的最一般推广形式，这些推广形式定义在极为基础的数学结构上，比如集合，幂集，偏序集，格上，因此，通常而言，泛代数是无法学习的，因为他所考虑的对象太过基本了，单纯学习理论没有任何意义，需要考察所有的经典代数结构，获得基本模式后，感到疑惑，由此询问模式本身的含义，才有学习的动机。

这就像过去，考虑范畴，对于乘法感到疑惑，由此深入半群，考察分析，对拓扑和序产生疑问，由此深入偏序集与格，考察环论与理想论，对于集合代数感到疑惑，由此深入幂集上的运算结构。具体理论是通往抽象理论的台阶。

由此，代数结构论可以看作是范畴论，而代数运算论就可以看作泛代数，代数模式论就是直觉模式，代数几何论就是图表示与动力系统，代数变换论为抽象群论。把这些具体领域一一搞清楚后，就能建立起来代数学的大统一理论。

有趣的设想。

具体同余理论

上面探讨了抽象同余理论的代数基础，商，等价类，乘积分解。下面考虑具体同余理论遇见的困难。

同余理论实际上为乘积分解，所以我们就需要考虑什么时候可分解，什么时候不可分解，假如可分解，意味着什么样的条件，假如不可分解，是什么导致了不可分解性？

其实，在数论中我们已经获得了这些知识，可分解代表了整除，也就是可以通过ℤα 生成，也就是说元素属于某一个理想，理想就是一种乘积等价类，可通过乘积连接的元素集合，可以定义为乘法可达性，乘法封闭集。可分解的元素必然落于模a的理想中，不可分解性质，一种是乘积不可达性质，也就是乘法无定义，就比如无乘法定义的集合，自然不能分解，还有就是单向元素，或者说乘法具有序结构， α → b → c ，这就是无幺半群，比如正自然数加法集合 [1，2，3，. . .；＋] 其中元素1就不具有理想，当然这里是把自然数加法看作了抽象乘法。这是乘法自身的缺陷导致的，无幺半群存在不属于任何理想的元素。所以对应的性质就是无幺环的理想论性质相当差，需要引入新的概念来定义无理想元素。带幺环保证了理想分类的有效性。

当乘法良定义时，所有的元素都归属于某一理想，这时的不可分解性来源于不匹配，比如2＝1 * 2 ≠ 3n ，元素属于一个理想，不属于另一个理想，所以在一个理想中可分解，在另一个理想中的不可分解。这就是整除理论，只有整除才具有可分解性。所以，数论本身就是元素与理想的匹配理论，自然的所有的数论内容都会围绕理想展开。所以代数数论是本质的，初等数论是表象，只要考虑同余与整除，理想的概念就会自然诞生。

上面讨论的是数论中的同余，而根据抽象同余理论的观点，任意代数结构都可以定义同余，所以函数论中也具有同余理论，最简单的就是多项式的同余，f ≡ gh，f ≡ f/g ，前者是多项式，后者则可以看作分式。多项式同余理论的难点在于多项式乘法的奇异性，乘法只会提升次数，不会降低次数，所以低次多项式具有基本的地位，可以构成多项式环的理想，这就是代数几何原理。将任意高次多项式分解为低次多项式的乘积组合。

但是，代数几何中出现了新的奇异性，那就是基本域的问题，函数需要定义在特定的数字结构上，这些数字结构所成的域或者环对多项式环具有深刻影响，整多项式的因式分解性质很差，有理多项式性质要好一些，但是实际上与整多项式差别不大。实多项式与复多项式的性质要好太多了。所以多项式理论很难处理，多项式本身具有奇异性的乘法结构，而基本域也具有奇异性。

一般的函数论则是考虑所有类型的运算，加减乘除，微分积分，算子映射，这些运算本身的关系就错综复杂，所以一般函数论的发展非常的缓慢，存在极大量的奇异结构，可分解计算情形反而是非常稀有的。每一个重要的可分解公式都可以诱导一种专门的函数理论。

在函数之外，还有其他形式的同余理论，几何形的同余理论，这个理论是陌生的，因为如何定义几何形的乘法都是个问题，不过，我们可以通过几何形的等价类间接定义，什么样的几何形是等价的？这就是几何形与变换群的内容了，在特定变换群作用下不变的几何形即为等价的，那么实际上所有的几何理论首先要搞清楚的问题就是等价变换群的形式与实现，这就是爱尔朗根纲领的含义，几何=变换群。所以几何形是一种对称结构，天然的保持着对称性，比如保形性，保持圆的形状，保持角度，保持距离，其实这代表了一种非常深刻的背景，同余理论的最自然载体就是几何学，当我们把同余所要求的等价类内蕴的定义为特定几何形时，就可以通过几何形的变换，组合与分解诱导出对应的代数理论。这就是数形结合的真谛。将代数等价转换为单独的几何形。

由此获得

代数空间 → 代数等价类空间 ⇔ 几何形空间 ← 几何形变换与组合

左边为代数理论，右边为几何理论，整体为代数与几何的统一性理论。

关键的联系就在于等价类如何转化为几何形，这种构造是非凡的，每一种具体实现都代表了一种非凡的数学理论。

其实可以提到同调与上同调，同调就是几何等价类，上同调就是函数等价类，也就是代数等价类，于是同调与上同调的联系就是几何形与代数等价类的联系，这就是代数拓扑理论的深刻性。未来的所有的代数理论都会以上面这个公式为基础。

那么差不多该结束了，这篇文章浅谈了同余所代表的数学思想，简单介绍了抽象同余理论的泛用性与具体同余理论可能遇见的实践性问题，最后给出了几何与代数统一公式。可以称之为数论角度的数学体系。主要的线索是等价类，理想，整除，可分解性，不可分解性。几何形与代数等价类。

自然的下一步就是将描述实现为可行的理论，我觉得还是要从代数等价类与几何形入手，考虑一下代数对称性对应于何种几何形。其实有很多种例子了，那就是物理与数学的对应，物理是几何与现象，数学为代数与对称性，所以物理理论实际上已经给出了大量的实例，平移对称性与直线，旋转对称性与圆，方程与能量等值面，所以，几何与代数的统一或许意味着物理与数学的统一。

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