【SEP】定义（二）

有时人们说，定义仅仅是缩写的配方。因此，怀特海和罗素对定义——特别是那些在《数学原理》中使用的定义——说它们是“严格意义上的排版印刷的便利(1925,11)”这种观点只有在常规同质定义下才有可能成立——即使在这里也是站不住脚的。（怀特海和罗素自己的观察清楚地表明，他们的定义不仅仅是“排版印刷的方便”)第二种定义认为定义仅仅是缩写，这种看法对我们现在要讨论的第二种定义来说根本不可信。

在第二类定义中，称之为异质（heterogeneous）定义，被定义的术语和被定义项属于不同的逻辑范畴。因此，举例来说，一个一般性的术语（例如，“ man”）可以用一个句子的被定义项来定义（例如，“x是一个man”）。另一个例子，一个单称词项（例如，“1”）可以用一个谓词来定义（例如，“等于1”）。异质定义远比同质定义更为常见。例如，在熟悉的一阶语言中，通过同质定义去定义一个一元（one-place）谓词G是没有意义的。这些语言没有用于形成复合谓词的资源;；因此，G的同质定义的定义必然是原子的。然而，在异质的定义中，定义很容易变得复杂；例如，

(4) Gx=dfx＞3&x＜10.

如果语言有一种抽象的方法——例如，形成集合——我们可以给出一种不同类型的异质定义G：

(5) the set of Gs=dfthe set of numbers between 3 and 10.

请注意，诸如(4)之类的异质定义不仅仅是缩写。因为，如果它是，表达式x在它不会是一个真正的变量，定义将提供没有指导的作用，G的上下文，以外的Gx。此外，如果这些定义是缩写，它们将受制于这样的要求，即被定义项必须短于定义项，但不存在这样的要求。另一方面，对定义的真正要求几乎没有意义。下列规定不是一个合法的定义：

(6) Gx=dfx＞y&x＜10.

但是，如果它仅仅被看作是一个缩写，那么它并没有什么不合法的地方。

有些规定性定义只不过是缩写的手段（例如，规定公式中括号的省略的定义；见 Church 1956,11)。然而，许多规定性定义不是这种类型的；它们在我们的论述中引入了有意义的项目。因此，定义(4)赋予了G一个有意义的一元谓词：G借助(4)表达了一个特定的概念。相比之下，根据第(6)条的规定，G不是一个有意义的谓语，也不表达任何类型的概念。但是这种差异的根源是什么呢？为什么(4)是合法的，而(6)不是？一般来说，什么时候定义是合法的？定义项必须满足什么要求？那么，对于这件事，被定义项是什么呢？该被定义项必须是，例如，原子，在(3)和(4) ？如果不是，那么在被定义项中有什么限制？

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