笛沙格对合定理简证

本文将对射影几何的一个基本定理——笛沙格对合定理做一个介绍。

定理内容：

对于平面内给定的无三点共线的四点，确定了一个二次曲线的四点形束（包括退化的和非退化的），称每一个过这四点的二次曲线（退化的和非退化的）为一个元素，一不过这四个点中任何一个点的直线与任意元素的两个交点为同一个对合的对应点，特别地若交点重合则为对合的一个不动点。

接下来做一个证明：

先从完全四点形开始，这个定理的弱化形式，即一直线与完全四点形的三对对边的三对交点为一对合的三对对应点。（每一对对边即一个退化的二次曲线，也是四点形束中的一个基元素）

如图 ，完全四点形ABCD，一直线（橙色)MK交其三对对边于M，N J，K L，O三对交点则这三对交点属于同一对合的三对对应点。

由对合的定义，要证此结论只需证（LO，NJ）＝（OL，MK)即可。

注意到点列L，O，N，J与点列E，O，C，A关于D透视而E，O，C，A与L，O，K，M关于B透视，于是有（LO，NJ）＝（EO，CA)＝(LO，KM)＝(OL，MK)。证毕。

接下来把这个性质推广到非退化的二次曲线上。

如图，二次曲线GFIHP是四点形束GFIH中的任意一个元素，直线SU交完全四点形及此非退化二次曲线于S，R T，U Q，P三对交点（当然和FH，GI也有两个交点，图中未画出。) 由于对合由两对对应点唯一决定，而我们已经知道，S，R 和 T，U是对合中的两对对应点了，于是要证明PQ也是这个对合中的一对对应点只要证（SU，QP）＝(RT，PQ).

而（SU，QP）＝I（SU，QP）＝I(FH，QP)，由二次点列性质可知I(FH，QP)＝G(FH，QP)，而线束G(F，H，Q，P)与点列（T，R，Q，P)透视，于是G(FH，QP)＝（TR，QP) 。故（SU，QP）＝（TR，QP)＝（RT，PQ) 证毕。

特别地如果直线过对边的交点中的任意一个（L或，K，或J）那么它将对应到自身，也就是说它是这个对合的一个不变元素。

更特殊地，如果直线过其中两个交点，这个时候这条直线是对边三点形也就是自极三点形的一条边，这两个交点就是对合的两个不动点，它们调和分离其他的对应元素，这就变成了完全四点形的调和性质，和极线的调和性。

利用对偶原理还可以将此定理变为其对偶形式——完全四线形外切于二次曲线，过不在任意一条边上的点P做两条切线，并与完全四线形三对对顶相连，所得到的四对直线是以P为中心的对合线束的四对对应直线。

添加一个代数法的证明

我们知道平面内两条非退化二次曲线一般有四个交点

设两条二次曲线Γ₁:S₁≡XᵀAX＝0，Γ₂：S₂≡XᵀBX＝0相交于四个点，则由Γ₁，Γ₂确定了一个二次曲线束：S≡Xᵀ（A+tB)X＝0，t∈R∪｛∞｝

设一直线l（不过四个交点中的任何一个)与Γ₁交于两点P，Q，则存在λ使得l上任意一点M＝P+λQ，考察l与二次曲线束中的元素的两交点，则它们的参数应满足：

（P+λQ)ᵀ（A+tB）（P+λQ）＝0即：

λ²Qᵀ（A+tB）Q+2λPᵀ（A+tB）Q+Pᵀ（A+tB）P＝0这是关于λ的一元二次方程，则

λ₁λ₂＝Pᵀ（A+tB）P/Qᵀ（A+tB）Q＝PᵀBP/QᵀBQ （常数)，因为l不过Γ₁Γ₂的公共点，故PᵀBP/QᵀBQ ≠ 0，故λ₁，λ₂符合对合方程，因此l与曲线束的交点对是同一对合的对应点对。

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