数学三角形定理与中心集群（三）

由上图我们设BC,AD交于无穷远点P∞，从而P∞的极线为FH，过点O，于是P∞和O共轭，而三点形DCP∞外切于椭圆，于是OD,OC共轭，即AC,BD共轭。证毕。

引理也证明一下吧:

如图，三角形JKI外切于二次曲线Γ，L为J的共轭点（即L在HG上），则LK,LI共轭。

证：

设ML与Γ交于另一点N，NH,GM交于P，NG,HM交于O。则PLO是自极三点形，于是PJO共线，而O,L,K的极线分别为LP,OP,MG，它们共点于P，于是O,L,K共线，同理P，L，I共线，而LK的极点是P，P在LI上，于是LK,LI共轭。证毕。

几何角度 可以这样理解:

如图 ，抛物线是和无穷远直线l∞（红色直线）相切的二次曲线， 设切点为F∞。

而题主图中的坐标系比较特殊，它使得抛物线的对称轴垂直于x轴，事实上本质是使得无穷远处的切点为y轴上的无穷远点。那么我们要证明的是“P的横坐标确定，GH的斜率也随即确定”。而注意到，斜率k确定了实际上是确定了这条弦所在的直线上的无穷远点（1,k,0）（齐次坐标表示)。，于是我们要证明的就转化为“P的横坐标确定，GH上的无穷远点也随即确定”。

为了解释这个问题我们来先看看中点的等价定义:

线段AB的中点为 AB所在直线上的无穷远点M∞，与A,B构成的点列的第四调和点，即存在中点P，使得（AB,PM∞）＝-1。

结合极线的调和性，就可以这样定义二次曲线的弦的中点:弦所在直线上的无穷远点的极线与弦的交点。

好了，那么回到原来的问题，由抛物线的性质，弦GH所在直线的无穷远点I在F∞的极线上，这说明无穷远点I的极线经过F∞，即I的极线平行于y轴，垂直于x轴，这意味着I的极线上的点的横坐标是唯一的，事实上这一结果才是上文提到的“使得无穷远处的切点为y轴上的无穷远点”的作用。

而由中点的定义我们知道这条线还过中点P，而这时候如果确定了P的横坐标，意味着这条极线也就确定了，那么极线对应的极点P自然确定，即确定了GH所在直线上的无穷远点，亦即确定了GH所在直线的斜率。证毕。

对于焦点在x轴上的抛物线，结论变为“中点的纵坐标确定，则弦所在直线斜率随即确定”（这里默认斜率存在的情况），可以如法炮制。

向量AC·向量BD＝（向量BC-向量BA)·向量BD

＝向量BC·向量BD-向量BA·向量BD

＝（BD² BC²-DC²)/2-（BD² BA²-AD²）/2

＝[（BC² AD²）-（DC² BA²)]/2。证毕

利用这个定理和内积的定义就可以求对角线夹角余弦值了即

cosθ＝[（BC² AD²）-（DC² BA²)]/（2AC·BD)，此外，平面内，不管是凸四边形还是凹四边形都成立，空间里即对于三棱锥这个定理也成立，因为放在空间中证明过程是一样的，并且如果C在BD上也是成立的。

1)证明：

如下图，由内切圆性质，易知A,P,N共线且AN是∠DAB的平分线，其他四条蓝色直线同理。为方便，我们约定四边形A,B,C,D的四个内角分别为∠A,∠B，∠C，∠D

于是∠JPN＝∠APD＝180°-（∠A ∠D)/2

∠JLN＝180°-（∠B ∠C）/2

故∠JPN ∠JLN

＝360°-（∠A ∠B ∠C ∠D）/2＝180°

于是J,P,N,L四点共圆。

2)

由1)得到∠JPN＝∠APD＝180°-（∠A ∠D)/2

∠JLN＝180°-（∠B ∠C）/2

于是由四边形JPNL为矩形可以得到

∠JPN＝∠APD＝180°-（∠A ∠D)/2＝90°

于是∠A ∠D＝180°，故AB∥CD，同理可以得到另外一组AD∥BC，于是四边形ABCD是平行四边形。

本文从欧氏几何角度对完全四边形的若干常见的基本性质进行讨论。

笛沙格对合定理‬

如图，同心圆过无穷远直线上的虚圆点I,J，无穷远直线（蓝色)关于同心圆的极点是同一点O，这说明这些同心圆属同一个二次曲线系，即OI×OJ λ（IJ)²＝0， 因此 由线束的笛沙格对合定理知过A作的两切线属于同一对合的对应直线，由此得到二次曲线Γ（未画出)上的对合，故连线过定点。

依曼海姆定理（伪内切圆性质） 及内心性质（有的地方戏称为鸡爪定理）可得 H为内心及HT＝TC且∠ACT＝∠ACB ∠BCT＝∠ACB ∠CAT＝∠ADB

则AH/AT＝HD/HT⇔AH/HD＝AT/HT⇔AC/CD＝AT/HT⇔AC/CD＝AT/CT⇔sin∠ADC/sinA/2＝sin∠ACT/sinA/2＝sin∠ADB/sinA/2⇔sin∠ADC＝sin∠ADB ，显然

习题

设非退化二阶曲线Γ:

S≡XᵀMX＝0，记IᵀMJ＝JᵀMI＝Sij，平面上三点A,B,C（迳用字母表示其齐次坐标），设由Γ确定的配极变换为φ，则φ（A)＝MA，φ（B)＝MB，φ（C)＝MC，设ABC的配极三点形为A'B'C'（字母已对应好，即A↔A'，B↔B'，C↔C')，则

A'＝MC×MB，B'＝MA×MC，C'＝MA×MB，则直线AA'＝A'×A＝MC×MB×A＝（AᵀMC)MB-（AᵀMB)MC＝SacMB-SabMC，

即AA'＝SacMB-SabMC 同理直线

BB'＝SbaMC-SbcMA

CC'＝ScbMA-ScaMB，则显然AA' BB' CC'＝0，故三线共点。

透视中心的极线为透视轴利用配极原则即可。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。