完全四边形性质（一）

1.概念

1.概念:

完全四边形指欧氏平面内无三线共点的四条直线两两相交所构成的四条边和六个点组成的图形。其中，无公共边的任意一对点叫做对顶点，对顶点的连线叫做完全四边形的对角线。

如下图，完全四点形ABCDEF，其中AD,BF,CE是它的对角线。

2.重要的点和线:

1):密克点

首先先来介绍一个大家比较耳熟能详也比较重要的概念——完全四边形的密克（Miquel）点，如下图，在完全四点形的构图中，有四个三角形，这四个三角形的外接圆共点，称为密克点。

证:

如图，设两个外接圆交于除了D以外的点O，由对称性，只要证A,C,O,F共圆即可，而

∠EFO＝∠EDO＝∠BCO（即∠ACO)，于是∠EFO＝∠ACO，故A,C,O,F四点共圆，同理A,B,O,E共圆，即四个三角形的外接圆共点于O.证毕。

五点共圆:

利用密克点的性质还可以证明著名的五圆定理:如图，五角星AHEBD的五个三角形的外接圆两两相交，除了图形固有的五个点KIJFG外，还有五个交点OPLMN,则这五点共圆。

证:如图，（蓝色为辅助线）由对称性，只需证PLMN共圆，只要证∠LPM＝∠LNM。

由图可知L,N分别为完全四边形BIAJHF和BIAFEG的密克点，于是ALFNB五点共圆，同理DPJME五点共圆，故∠LPJ＝∠LAJ＝∠LNF，∠JPM＝∠JEM＝∠FNM，于是∠LPJ+∠JPM＝∠LNF+∠FNM，即∠LPM＝∠LNM，证毕。

2):密克点在四条边上的射影共线

如下图。

利用西姆松定理可以很快证明:由于ODBC共圆，所以J,I,H共线，同理I,H,G共线，于是四点JIHG共线。这条线也称为完全四边形的西姆松线。

3)牛顿线

如下图，完全四边形三条对角线的中点共线，此线称为牛顿线（想也不用想肯定是牛顿老爷子证明过的啦 ＾＿^）。

这个定理的证明有很多种，这里举个利用梅涅劳斯定理的方法。

先介绍一下完全四边形的一个重要性质——梅涅劳斯定理:如下图，一直线l截三角形ABE三边于F,D,C，则有（EF/AF)·（AC/BC)·（BD/ED)＝1

如果用单比来描述则会比较简便即:

（EAF)(ABC)(BED)＝1，其中，直线l称为梅氏线，被截三角形称为梅氏三角形。

用梅涅劳斯定理的逆是证明三点共线的重要手段，即满足（EAF)·(ABC)·(BED)＝1，则有F,C,D三点共线。接下来就可以证明牛顿线定理了。而辅助线的做法也比较巧妙。

证:如图，取三角形ACF三边中点L,K,I，由中位线定理显然有K,I,G共线 KJL共线和LHI共线，于是(LKJ)·(KIG)·(ILH)＝(FCD)·(AFE)·(CAB)＝1。

其中，第一个等号右边的式子是以BDE为梅氏线，三角形CAF为梅氏三角形的梅涅劳斯式。等号左边的式子是将三角形LKI看做梅氏三角形，而结果等于1，由梅涅劳斯定理的逆知JHG三点共线，即牛顿线。

完全四边形的一般性质

如图，①完全四边形的四个三角形的外接圆圆心O₁O₂O₃O₄连同密克点M五点共圆（红色圆）。

②完全四边形的四个三角形的垂心共线（红色)，称为垂心线。

③以完全四边形的三个对角线段为直径的圆圆心共线（牛顿线）且三个圆共轴，该轴恰为垂心线。

④垂心线平行于西姆松线（蓝色)，牛顿线与这两条线垂直，且密克点M到西姆松线的距离是到垂心线距离的一半。

证：

①

如图，蓝色的是辅助线，由对称性只要证O₁O₂MO₃共圆，只要证∠O₁O₂M与∠O₁O₃M互补。由连心线的性质得直线O₁O₂平分∠CO₂M，于是只要证∠O₃＝∠CO₂M/2＝∠CDM＝∠FEM，而O₁O₃是连心线，故∠O₃＝∠FO₃M/2＝∠FEM，所以∠O₃＝∠FEM。证毕。

②和③可以放到一起证明

如图，以△EDF的垂心H₃为例，设三个圆与△EDF三边分别有交点I,J,G，由直径所对的圆周角是直角以及垂心的定义可以知道EI,FJ,DG交于垂心H₃，由垂心的性质有

FH₃·H₃J＝EH₃·H₃I＝DH₃·H₃G，这说明垂心H₃对三个圆的幂相等即H₃是三个圆的等幂点，三个圆的圆心共线，而由蒙日定理我们知道三个圆心共线的圆不存在根心，所以只能是①三个根轴重合或者②有两个重合，剩下一个平行于重合的根轴③三条根轴都平行，而②③的情况是不会存在“某点对三个圆的幂都相等”这样的情况的，故②③不成立，故这三个圆只能是共根轴，且H₃在根轴上，同理H₁，H₂，H₄也在其上，这就证明了四个垂心共线且垂心线是三个共轴圆的根轴。

④

第四个性质的证明需要用到关于三角形西姆松线的史坦纳定理:一个点关于一个三角形的西姆松线经过这个点与这个三角形垂心连线的中点。（详见另一篇文章《平面几何定理及证明 （2)》）

如图M与各个垂心的连线交西姆松线于W，A₁，Z，E₁，则由史坦纳定理，W，A₁，Z，E₁是中点，所以可以认为W，A₁，Z，E₁做关于M的1:2的正向位似变换得到四个垂心（从这个角度也可以说明四个垂心共线)，于是两直线平行且密克点M到西姆松线的距离是M到垂心线距离的一半，因为根轴垂直于连心线，所以牛顿线垂直于垂心线和西姆松线。证毕。

特殊条件下完全四边形密克点的性质

以下辅助线均用蓝色线代替

1)

如图在完全四边形ABCDEF中，有AB＝AE，BC＝EF，M是其Miquel点O1 O2 O3 O4分别为各外接圆圆心，则有①DM⊥CF②O₃,D,M共线③AM是⊙O₄即三角形ABE外接圆的直径。

① ， ② 将△ACF看做梅氏三角形，BDE看做梅氏线，则有（ACB)·(CFD)·(FAE)＝1，而AB＝AE，BC＝EF，于是得到DF＝DC。

AB＝AE→∠ABE＝∠AEB→∠DMC＝∠DMF，结合DF＝DC及正弦定理可以得到⊙O₁和⊙O₂是等圆，这说明∠DCM＝∠DFM，于是△DCM≌△DFM，故MD是CF的中垂线，自然O₃,D,M共线。此外导角易知∠ABM＝90°，于是AM是⊙O₄的直径，这就完成了三个小结论的证明。

2)当处于如图所示位置的四点CDEF共圆时

则①其密克点I在GH上

证:由圆幂定理得GC·GD＝GF·GE，注意到GC·GD是G对左小圆的幂，GF·GE是G对右小圆的幂，故G是两个圆的等幂点，在根轴HI上，于是G,H,I共线。

②如图，J为圆CDEF的圆心。

有HI平分∠CIF,∠DIE，CJIF共圆，DJIE共圆，JI⊥EI。读者自证不难。

3)若如图所示四点ABDF共圆，

则①其密克点M在对角线CE上

证: ∠DMC＝∠ABD，∠DME＝∠AFD,故∠DMC+∠DME＝∠ABD+∠AFD＝180°，故C,M,E共线。

②如图，1)过E的切线的切点P,Q以及C,G四点共线。2)OM⊥CE。3)G为三角形OCE垂心。4)O,G,M共线。

证:

1)利用极点极线的性质即可，C,G,P,Q在E的极线上。

2)设圆O半径为r，由圆幂定理OC²＝CD·CF+r²＝CM·CE+r²，同理OE²＝EM·EC+r²，于是OC²-OE²＝CM·CE-EM·EC＝CE（CM-EM)＝（CM+EM)（CM-EM)＝CM²-EM²，即OC²-OE²＝CM²-EM²，于是OM⊥CE

3)显然PQ⊥OE,由对称性得到EN⊥OC，于是G为△OCE的垂心，即GOCE构成一个垂心组。

4)由2)得到OM⊥CE，而G又是△OCE的垂心，于是O，G，M共线。

③∠ACF和∠AEB的平分线垂直，留给读者。

④C,E对圆ABDF的幂之和δc+δe＝CE²

证:如图，设过E,C的切线分别为EG,CH，

则δc+δe＝CH²+EG²＝CD·CF+ED·EB＝CM·CE+EM·EC＝CE（CE+EM)＝CE²。证毕。

由以上几个结论还可以得到这样一个结果，设圆ABD圆心为J，AD,BF交于I，NI∩JC＝L CI∩JN＝O，∠ABD和∠AND平分线交于K，分别以C,N为圆心，C,N的切线长为半径画弧交于R，S两点，则以上几个点L,O,K,R,S以及C,N七个点共圆，CN为直径。

注意修正词：嗯 打错了 应该是JI⊥LI 、特属性质1)哪里应该是BC＝EF

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