罗素悖论

本文介绍罗素悖论。

朴素集合论大约是这样考虑集合是否存在的：如果你能描述元素的性质，那么存在一个集合，它包含所有符合该性质的元素。这也是为什么在朴素集合论中我们会这样表示一个集合：{x：φ} ，其中 φ 是元素的性质。这就引发了著名的罗素悖论。

罗素悖论

考虑这样一个集合：R＝{x：x ∉ x} ，它是所有不属于自身的元素的集合。既然我们能够描述集合中元素的性质，那么这个集合就应该存在，但真的是这样吗？

假设该集合存在，我们不禁想问这样一个问题：R是否属于它自己？如果R∈R 那么 R 需要满足集合 R 中元素的性质： x∉x ，也就是说 R∉R ；如果 R∉R ，显然 R 符合我们所描述的性质： x∉x ，那么 R∈R 。于是： R∈R 当且仅当 R∉R ，这显然是矛盾的。所以我们的假设是错误的，即不存在这个集合。

和罗素悖论有异曲同工之妙的，类似这样的集合也是不存在的：S＝{x：x }。

证明如下：

假设S 是存在的，让 n 是 S 中最小的数（这暗示了 n∈S ），那么 n 就是“最小的不能用二十个字以内定义的自然数”。一不小心，我们用18个字定义了 n ，所以 n∉S 。矛盾由此而生： n∈S∧n∉S 。所以 S 是不存在的。

公理化集合论的补救

会产生矛盾命题的系统显然不能让人满意，也承担不了构建数学的使命。公理化集合论采取了一些措施，使其不会产生上面说的两个矛盾的集合。那就是公理化集合中的子集公理：对任意的集合A，都存在一个集合B，其元素是集合A中满足一个给定条件的元素。 ∀A∃B∀x(x∈B ↔ (x∈A＆φ(x))) 其中 φ(x) 是 x 满足的条件，必须为一阶逻辑公式。至于为什么有了这个公理就可以避免产生上述的 R 和 S 。

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