Rudin工具箱与极分解技巧

目录

前置定理 ▹

预备知识：复数的极分解 ▹

1.9（e）：复可测函数的极分解 ▹

定理6.12：复测度的极分解 ▹

应用 ▹

定理1.33：积分的绝对值不等式 ▹

定理1.39（c）：积分的绝对值不等式的取等条件 ▹

定理6.13：绝对连续测度的全变差的Radon-Nikodym导数 ▹

定理6.14：Hahn分解定理 ▹

Rudin书中极其频繁地使用“极分解”技巧。尽管他在书中用此术语有具体所指，笔者仍然坚持用它指代更为广泛的一类技巧。它有函数的版本，也有测度的版本，主要的精神都是一样的：把一个东西的“正的”部分留下，把一个“数”甩出来，两部分分离以分别操作。

前置定理

“极分解”技巧有函数的版本，也有测度的版本。我们先说函数的版本，从函数的版本中获得灵感，以更好地理解测度的版本。

预备知识：复数的极分解

对于复数 z ∈ ℂ ，存在 α ∈ ℂ， |α|＝1 ，使得 z|α| .

由于这个结论太简单，我们一般都显式地写出α＝eⁱθ 来，其中 θ＝Arg z 称为辐角。

1.9（e)：复可测函数的极分解

Rudin在1.9节的断言（e）处给出了复可测函数的一个分解：

若 f 为 X 上的复可测函数，则存在 X 上的复可测函数 α ，使得 |α|＝1 ，且 f＝α|f| .

显然，要选取也只能选取

f

α＝─

|f|

，只要说明它是可测的就可以了。需要注意的是 E＝f⁻¹(0) 中的那些点。利用连续函数复合可测函数可测，研究 ℂ\{0} 上的连续函数

z

φ(z)＝─ 。

|z|

为了规避困难，令

α(x)＝φ(f(x)＋χᴇ(x))

α 与 φ 的不同就在于在 f＝0 处（也就是 E 上）取到 α＝1 。可以验证α 可测且满足要求。

定理6.12：复测度的极分解

设μ 是 X 的 σ– 代数 𝕸 上的复测度，则存在一个可测函数 h ，使得 |h|＝1 对所有的 x ∈ X 成立，并且 dμ＝hd|μ| .

容易看出h 的存在性，这由Lebesgue-Radon-Nikodym定理（定理6.10）保证。平均值技法（定理1.40）指出 |h| ≤ 1，α. e. 。取 Aᵣ＝{|h(x)|＜r} ，考虑它的一个划分并结合 h 的定义做估计可以得到 |μ|(Aᵣ)＝0 ，从而 h| ≥ 1，α. e. ，由是知 |h|＝1，α. e. ，在零测集上重新定义 h 不影响上面任何步骤。

应用

定理1.33：积分的绝对值不等式

若f∈L¹(μ) ，则 |∫xfdμ| ≤ ∫x|f|dμ

为证明此式，令z＝∫xfdμ ，它是一个复数，从而可以作极分解 z＝α|z| 。立即有：

|∫xfdμ|＝|z|＝α⁻¹z＝α⁻¹ ∫xfdμ＝∫xα⁻¹fdμ

仔细观察这奇妙的步骤。我们通过极分解把 z 从绝对值符号 | · | 中“解放了出来”，宛如“极限脱出”。而后，把 z 还回积分的形式，这时就可以利用积分的线性性把单独的常数 α⁻¹ 再“塞进积分号”！

现在，注意到∫xα⁻¹fdμ 是非负实数，而复函数积分相当于实部虚部分别积分，则其积分值正如复函数 α⁻¹f 的实部 u＝Re(α⁻¹f) 单独积分，即有

fxα⁻¹fdμ＝∫xudμ

而 u 的实部满足下面的估计式

u＝Re(α⁻¹f) ≤ |α⁻¹f|＝|f|

代入即得到结论。

定理1.39（c）：积分的绝对值不等式的取等条件

上面的定理有一个取等条件。

设f∈L¹(μ) ，若|∫xfdμ|＝∫x|f|dμ

则存在常数 α 使得 αf＝|f|，α. e.

考察定理1.33的证明，下面的不等号要取等：∫xudμ ≤ ∫x|f|dμ ，即是说 |f|＝u，α. e. ，即 Re(α⁻¹f)＝|α⁻¹f|，α. e. ，从而 f＝α|f|，α. e. 。

定理6.13：绝对连续测度的全变差的Radon-Nikodym导数

设μ 是 𝕸 上的正测度， g∈L¹(μ) ，且 λ(E)＝∫ᴇgdμ ，则 |λ|(E)＝∫ᴇ|g|dμ .

这种与绝对值和积分号的转圈圈有关系的命题便是极分解技巧的用武之地。对|λ| 极分解得到 dλ＝hd|λ| ，其中 |h|＝1 处处成立，由 dλ＝gdμ 代换知 hd|λ|＝gdμ ，两边乘 ˉh 得 d|λ|＝ˉhgdμ 。只需要断言

ˉhg＝|g|，α. e.[μ]

而这只要注意到ˉhg 是非负实数。

定理6.14：Hahn分解定理

需要特别强调，只有实测度才有通常意义上的Hahn分解定理，其原因将在下文的证明中看出。

设μ 是 X 的 σ– 代数 𝕸 上的实测度，则有 A，B ∈ 𝕸 ，使得 A∪B＝X ， A∩B＝∅ ，并且使 μ 的正变差 μ⁺ 和负变差 μ⁻ 满足

μ⁺(E)＝μ(A∩E)，μ⁻(E)＝μ(B∩E)

Rudin在书中是这样描述这个定理的：

换句话说，X 是两个不相交可测集 A 和 B 的并，使得“ A 携带 μ 的全部正质量”，并且“ B 携带 μ 的全部负质量”.这对 (A，B) 称为由 μ 所诱导的 X 的Hahn分解.

证明的方法依然是做极分解。取 dμ＝hd|μ| ，但是这里我要说道说道。之所以限制 μ 是实测度，就是因为它逼迫得 |h|＝1 只能取两个值： h＝1 或 h＝–1 。这是一个天然的二择！根据 h 的取值把 X 划分成两部分：

A＝h⁻¹(1)，B＝h⁻¹(–1)

再定义 μ(E∩A) ， μ(E∩B) ，利用

1 1

μ⁺＝ ─(|μ|＋μ)，μ⁻＝─(|μ| – μ)

2 2

立即可得结果。

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