超宇宙计划【第三版本】一

1122弗里德曼事实上，ZFC的湿和扩展在某种意义上太好了，因为直到最近，它们已经足以满足集论作为数学基础的需要。另一个困难是通过高度极大性原理的宽度极大性(幂集)类比来从最大选代概念中挤出更多内容，这引起了反思，作为数学的一个分支，集合论的发展是如此引人注目、多样化和不断变化，以至于不可能选择那些对新公理的选择被视为“最正确”的观点来研究这一主题，我在这篇文章的目的是为以下三个预测提供证据.丰富的集论实践，作为数学的一个分支，集合论的发展是如此丰富，以至于永远不会就一阶公理(除了ZFC加上小的大的基数)最好地服务于这一发展达成共识.基本需求，正如AC现在因其在数学实践中的重要作用而被接受一样，对数学中独立性结果的系统研究将发现与CH(因此V=L)相矛盾的一阶陈述，这些陈述最适合解决这种独立性.最优极大性准则，通过超宇宙计划，我们将有可能得到一个最优的非一阶公理来表达集论宇宙在高度和宽度上的极大性；这个公理将有与CH相矛盾的一阶结果(因此V=L).作为这三个预测的综合，我提出了以下乐观的情景，以便在集合论真理的研究中取得进展.集合论真理的命题，将会有集合论的一阶陈述，它们很好地服务于集合论实践的需要，并在数学中解决独立性问题，并且可以从集合论宇宙的高度和宽度的最大值中推导1.这样的陈述将被视为集合论的真实陈述.本文有一个相反的观点：一个与V=L相矛盾的一阶命题要成立，我认为它必须能很好地满足集论实践的需要和解决数学中独应性的需要，并且至少必须与所表述的集论宇宙的极大性相容1关于可导性概念的讨论见最后的第4.12小节.HYPERUNNERSE计划根据最优极大性准则，事实上，在我看来，这种说法的真实性的证据强度是由它满足这三个条件的程度来衡量的，这篇论文的一个重要结果是CH的失败，因此，我的部分预测是CH将被视为错误.请注意，在论文中，我没有提到真一阶公理，而只提到真一阶命题。原因是以下附加索超出了一阶，对于与V=L相矛盾的一阶公理的真实性，永远不会有共识；相反，真正的一阶命题只会作为真正的非一阶公理的结果而产生，这种说法的一个原因是一阶陈述不足以捕捉集论宇宙的极大性，本文的计划如下，首先，我将回顾一些流行的一阶公理，这些公理很好地服务于集论实践的需要，并为上面的丰富度预测进行论证，其次，我将讨论数学中关于独立性所知甚少的知识，讨论作为上述基础预测证据的强迫公理的作用。到目前为止，这篇论文的主要和中心目标是第三部分，我在其中介绍了超宇宙计划，包括它的哲学基础和最新的数学发展.2集论的实践集合论是一个新兴的学斜，充满了新思想和新发展不断导致新的观点，自然，这些观点中的某些观点在大量被证明的新结果中脱颖而出，而且值得关注其中的几个，以揭示确定特定的新公理是“正确的公理”的困难。我已经强调了需要为与V=L相矛盾的公理寻找真理的证据，但纯粹从一个公理的价值来发展好集合论，我将其称为第一类证据，这是不可能的，詹森的深入工作揭示了这个公理的力量，揭示了V=L的力量，实际上，当与小的大基数结合在一起时，它似乎给了我们一个对所有自然集论陈述完整的理论！这是一个了不起的成就，充分证明了基于第一类*证据，V=L是正确的

弗里德曼对V=Lis的第一类反对意见是，它没有考虑到强迫，这是建应集合论新模型的基本方法，不可否认，即使在L中也有可数模型的强制扩展，但是强制整个L而不仅仅是它的一小部分是更自然的，所以现在我们反对V=L，而支持“V包含L的许多一般扩展”或类似的东西.有很多强制扩展听起来不错，但现在我们的规范宇宙是什么呢？难道我们不应该有这样一个句子，它只在V中为真，而在它的任何固有的内部模型中都不为真，同时又有许多L的一般扩展吗？实际上，这可以通过类强制实现(参见[11]).所以现在我们有了一个很好的第一类公理：V是L上的类泛型正则宇宙，包含L的许多集泛型扩展，这是做集合论的一个很好的背景，因为强制方法现在可用.事实上，我们可以做得更好，取V为L[O，这个模型不仅包含L的许多一般扩展，它也是一个规范宇宙，我们恢复了詹森在V=L下开发的所有强大的方法，现在相对于真正的0#，因此，我们的第一类证据将我们引向极好的公理V=LIO.反对！那么可测量的基数呢？回忆一下一致性强度的重要层次结构：自然理论的一致性强度是有序的(直到双可解释性)，大型基本公理的一致性强度提供了一个很好的一致性强度集合，它是这个层次结构的一个大的初始部分(如果不是全部)的共同final.这并不意味着大基数必须存在，但至少应该有包含它们的内部膜型，所以现在基于第一类证据，我们得到了一些版本的“有大基数的内部模型”，这是一个很有吸引力的环境，可以做好的集会论，此外，请注意，如果我们有大型基数的内都模型，我们并没有失去查看L或其泛型扩展的选项，它们仍然作为内部模型可用，所以我们似乎已经达到了最好的第一类公理。但我们还可以要求更多，回想一下，L有一个很好的内部结构，对于推导V=L的结果非常有用.V不仅可以有大基数的内部模型，而且还可以有类似1的内部结构吗？当然，答案是肯定的，因为我们可以采用这样的公理：“对于某些实x，存在具有大基数的内部模型，并且V=L[x]”，在[14]中提供了一个更好的答案，其中表明V可以与任意大基数一起是L-like的，不仅在内部模型中，而且在V本身中，然而，尽管这听起来很吸引人，但它并不能解决关键问题HrPERUNNERSE计划问题，这就是我们看到集会论的多个视角的地方，没有一个视角声称是“最好的”，即使我们产生了一个很好的公理2，其形式是“有大基数，V是L的正则泛化”，这样做将我们带入一个类似L的环境中来研究集合论，事实上，关于集合论还有其他令人信服的观点，这些观点将我们引向兼类6环境，并相应地得到完全不同的第一类公理，我将提到其中两个。(关于下面提到的概念的进一步信息可在122]中获得).强迫公理有很长的历史，可以追溯到Martin的公理(MA)，其中一个特殊情况断言了N，模型上ccc偏序(即只有可数反链的偏序)的泛型的存在，这个简单的公理可以用来一下子建立大量集论陈述的相对一致性。自然，人们对MA的增强感兴趣，其中一个流行的是造当强迫公理(PFA)，它将这个3增强到更广泛的适当偏序。现在，关于第一类证据，关键是PFA比MA具有更显著的结果，使其成为解决集合论中组合问题的核心和重要工具，基干第一类证据，可以有力地证明其真实性，当然，PFA与任何断言V是1样的公理相冲突，因为它意味着CH的否定，事实上，PFA意味着连续体的大小是k2.第一类证据的多样性不仅仅是6相似和强迫公理；还有一些基本特征，这些是在研究实数集的定义理论和组合性质时产生的自然的和深入研究的基数，这些基本特征中的每一个都是连续体大小的不可数的基本数，现在，考虑到这些特征的多样性，以及它们可以始终彼此不同的事实，采用这样的公理不是很有说服力吗？基本特征提供了一个在连续统大小以下的大范围的不同不可数的基数，因此连续统确实相当大，与1相似公理和强迫公理相矛盾？42事实上，伍丁提出了这样一个公理，他称之为终极L.3对于专家来说，要获得PFA，必须允许N号的不可传递模型，4作为一个具体的例子，让a表示w的无限几乎不相连的子集族的最小大小，b(ā)表示从w到w按最终支配顺序排列的无界(支配)函数族的最小大小，那么b

HYPERUNNERSE计划

定理3.([18])假设大基数存在一个ZFC的可数传递模型M，使得如果一阶句子中在M的外部模型N中成立，那么它也在M的内部模型中成，

证明，对于任何实R，让M(R)表示包含R的ZFC的最小传递摸型，我们假设大基数，因此确实存在这样一个M(R)(仅存在一个不可达的就足以满足这一点)，我们将需要以下大基数的结果：

(+)存在一个实R，使得对于任何R是递归的实S，M(R)的(一阶)理论与M(S)的理论是相同的.可以从大型基数中导出(*)，如下所示，大基数产生投影确定性(PD). Martin的一个定理是PD暗示了以下锥定理：如果X是在图灵等价下封闭的实数的投影集，那么对于某些实尺，要么对于所有R是递归的实SS属于X，要么对于所有R是递归的实SS属于X的补.

现在，对于每一个句子，考虑由这些实数组成的集合X(p)，使得M(R)满足中，在图买等价条件下，这个集会是射影封闭的，根据锥定理，我们可以选择一个实R(p)，使得对于所有R(中)递归的实S，中在M(S)中为真，或者对于-中也成立，现在设R为任意实数，其中每个R()都是递归的，因为中只有可数个，这是可能的，R见证性质(+).假设N是M(R)满足ZFC的一个外族型，且中在N中为真，则中在M(R)的一个内模型中为真，为此，我们需要以下詹森的深层定理。

编码定理(见[6])设α为N的序数高度，则N对于满足ZFC且N是△z可参数定义的实S，有一个LaIS]形式的外部模型.

由于R属于M(R)，它也属于N，因此属于LaIS]，其中S如上所述编码N.还要注意，由于α是M(R)=La[R]摸拟ZFC的最小条件，所以LxIS]满足ZFC，因此La[S]等于M(S)也是最小条件.显然，我们可以选择S是图灵高于R(简单地用它与R的连接代替S)，但现在由于尺的特殊性质，M(R)和M(S)的理论是相同的.由于N是M(S)的一个可定义的内模型，M(S)的部分理论是弗里德曼

语句“有一个内部模型中是△，可定义参数”，因此有一个内都模型M(R)满足中，如所愿.请注意，我们上面为1MH生成的模型，M(R)为一些真实R，是包含真实R的最小模型，因此满足“没有不可访问的基数”，这并非偶然：

定理4.假设M满足1MH.那么在M中：没有不可访问的基数，实际上有一个真实的R，这样就没有包含R的ZFC的传递模型，证明.Beller和David的一个定理(也在[6]中)扩展了Jensen的编码定理，说任何模型M对于某些实R都有一个形式为M(R)的外部模型，其中M(R)是包含R的ZFC的最小传递模型，现在假设M满足1MH并考虑句子“没有不可接近的基数”，这是真的在外部模型M(R)的M，因此在一个内部的摸型M，由此可见，和M、同样的争论设有访问这个句子“这是一个真正的R这样设有传递模型的ZFC含有R”给出了内部模型莫与这个属性对于一些真正的RM；但随后也来有这个属性传递模型的ZFC含有RM也给这样一个模型的LIR] M，因此在Mo，Ma包含L[R]的M.□由此可见，如果M满足IMH，则M中的某些实数没有#，因此黑体字1fa在M中不具有确定性(尽管O#确实存在，lightface TTV，确定性确实成立).

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