数学分析综合（二）

此外，前述有理数也不能与位数一一对应，指的是按康托这么每一位对应一个有理数的方式，也就是函数关系。任何对应，都是在一定的方式下的，也就是函数关系下的，没有无往而不适的所谓抽象的对应。我们说什么和什么对应上了，并不是永远就非得对应，而是在这个函数关系下，它们对应上了。有理数的可数性，是怎么实现的？也就是证明的？用类似对角线法的方法可以证明吗？也就是把有理数表示成无穷小数，一一排列，能证明有理数可数？有人认为，可数的位数不能与实数一一对应，就是实数不可数。这是大错！可数、不可数的定义中，没有也绝对不会有这个对位数要求。如果有，定义中就要老老实实地写上，数学不是要求严格吗。“位数”的属性不仅仅是其总数可数，而且还有位数的每一位是多态的(多进制下的)，而这个多态，又恰恰是用于表示不同的实数的。其目的恰恰就是用较少的位数去表示尽可能多的实数，以压缩表示空间。如果位数与实数一一对应，表面上是一个一一对应，但由于每一位的多值性，这实际上是一个一对多的对应，用函数的话就是“隐函数”、“复合函数”的概念。打个比方：如果有人拿一元钱的票子，换另一人十元的票子，说咱们一一对应，一张换一张。任何人会换吗？谁都知道十元钱的票子可以顶十张一元钱的票子。这里直接把“十元钱”对应于对角线法中的“位数”，把“一元钱”对应于表中的实数个数，再多动动脑子想一想，看谁还会不明白？而康托对角线法等于是说，既然十元一张的票子与一元一张的票子可以张张地“一一对应”，于是所有一元票子的总价值就不可能等于所有十元票子总价值。是这样吗？我们多印一元市值的票子，完全可以使二者等值。只要不再要求张张一一对应，而是按市值对应，即每一十元票子可以对应十张一元票子即可了。实际上，之所以央行在已有一元票子的基础上还要发行印刷十元票子，是为了用较少的纸张更多地表示钱的市值，目的与功效与人们创建多进制一样。不得不用如此浅显的例子讨论数学、逻辑方面的问题，只能说是不得已，而且还很必要。

2. 戴德金分割中的矛盾分析

从另一个角度，我们也可以看到如果实数不可数，将使理论极其尴尬。我们知道，戴德金分割唯一地决定了一个实数，同时任何两个实数间都有无穷个有理数，无论这两个实数靠的有多么近。没有两个戴德金分割是完全相同的。也就是，必然会有出现在这个戴德金分割右边的有理数，却出现在另一个戴德金分割的左边。由于有理数的个数可数，就算会出现极端情况，也就是每两个戴德金分割左右边不同的有理数只涉及一个有理数，戴德金分割也只能有可数个。更何况每两个不同的戴德金分割左右不同的有理数，实际是无穷多个，也就是，戴德金分割的总数绝不会比只涉及一个有理数的情况多，如果不少的话。也就是，要么有理数也不可数，要么就是实数可数。二者必居其一。但我们早就知道，有理数是可数的，于是唯一的可能，就是实数可数。如果我们依然坚持对角线法无问题、实数不可数的结论，就会产生矛盾。这实际可看作是一个实数可数的间接证明。

总之，根据戴德金分划理论，每一个戴德金分划决定一个唯一的无理数；同样，反之亦然，每一个无理数决定一个唯一的戴德金分划。但按康托对角线法，无理数是不可数的。但有理数可数。于是，可数的有理数，可以实现不可数个只由有理数构成的戴德金分划，就是戴德金分划理论成立的必要条件。此问题似乎这么多年，就没有人明确提出过。但显然是个问题。其实，两个不同的戴德金分划，充其量也只能有一个有理数不同。即在戴德金分划A中有一个有理数在分划的右集合(元素都大)中，在戴德金分划B中，该有理数在分划的左集合(元素都小)中。而且这两个分划只有这个区别，其它元素(有理数)在分划的左右位置不变。由于最极端情况下，也就是不同分划，只涉及一个有理数，那么，有理数的总数是可数的，于是，戴德金分划的总数，充其量也是可数的，不可能不可数。除非一个戴德金分划可以对应起码无穷个无理数，但这显然不符合戴德金分划理论。此问题应该称之为“戴德金分划悖论”，其实本质地说明了现有实数不可数理论是有问题的。

3. 康托超限数理论中的隐含矛盾

综上可以看出，所谓传统康托理论(集合论)中的“层次无穷”的相当繁杂而无任何实际用途的“超穷数”系统，是传统理论的“定理”性的结论，它完全脱离数学其它分科的实践。某种意义，是康托的无奈之举。正是由于对角线法，康托不得不得到这个结论。这个结论显然并不符合他实无穷的初衷。因为由康托定理，没有最大集合。只能是一个向上“开口”的无穷大，本质显然是回到了潜无穷。而康托一再倡导的实无穷，不得不退居次席，成了在局部才可以实现的了。所以对康托而言，他想必很清楚，他的理论在总的方面是失败的。

特别值得一提的是，笔者最近发现，康托的理论，实际是隐含矛盾的。因此这就不仅仅是一个繁琐、无用的问题了。这个矛盾是：康托从实无穷的自然数集合(阿列夫0)出发，用不断、反复求子集合的集合的方法，依次得到基数序列阿列夫0、阿列夫1、阿列夫2…等等。由与康托对角线法密切相关的康托定理，没有最大基数，因此这个序列没有最大元素。如果这个序列被看作潜无穷过程，那么，由于其与自然数集合是同构的，也就是一一对应的，于是，为了理论的一致性，这里的自然数集合也应该是潜无穷的。而如此一来，就不会再有基于实无穷的“所有子集合的集合”，也就是不可数集合存在；而如果该阿列夫序列可以被看作一个实无穷集合，于是其必如自然数集合一样，有一个所有子集合的集合(幂集合，不可数)，而这个集合按定义，应该还在原先的那个阿列夫序列之中。也就是原序列的元素之一，而不是在原序列之外。也矛盾。此矛盾笔者称之为“潜无穷、实无穷悖论”。它充分说明康托理论是隐含矛盾的，并不像以往人们认为的没有矛盾。因此，我的努力，实质上是试图恢复康托的初衷。但颇具辩证意味的是，这是通过指出其对角线法的逻辑问题来实现的。显然，一些人认为的康托现有理论如果被修改，就会导致现有数学大厦的倒塌，会彻底破坏全部数学的基础的看法是没有任何根据的。

4. 康托定理与康托对角线法的同构性分析

康托定理在集合论中的地位毋庸讳言。其与对角线法的关系，早被论及。但笔者一直似未见具体分析。笔者早年的著作中，对此曾有分析 [ 4] [ 5] [ 6]。笔者甚至怀疑，有人也许认为对角线法“过于”直观、简单(这倒成为缺点了？)，不够“数学”或所谓的“专业”，因此在自己的相关著作、讲义中绝口不提对角线法，而以更复杂、抽象的康托定理为出发点去讨论问题，讲授课程。笔者百思不得其解。只能说，把一些简单的概念搞的复杂一些，玄虚一些，是一些学者不自觉的本能罢了。此类做派，绝对无补于问题的讨论。笔者这里就是要揭示二者间的同构性，以期还理论的本来面目。下面直接引述陶诗轩的实分析一书中康托定理的证明(详见附录)。将该证明中的A看成对角线法中在对角线上逐位求反后得到的那个实数；而将x看成是对角线上的每个具体的自然数，这里不是指位数；f(x)指的是对角线法中纵列所列出的那些实数。这里重点举例讨论一下x与f(x)间的关系。

如： 0.1⋯=f(x)≠x=00.1⋯=f(x)≠x=0 ，这里左边列出的是康托二维表中的第一个实数，其小数点后的第一位是1；而最右边的x=0，是指对角线上对第一个实数的第一位“1”求反后的那个数，当然为“0”；

0.10⋯=f(x)≠x=010.10⋯=f(x)≠x=01 ，这里左边列出的是康托二维表中的第二个实数，其小数点后的第二位是0；而最右边的x = 01，是指对角线上对第二个实数的第二位的“0”求反后的那个数“1”，加上前面的第一步得到的“0”，为“01”；

0.001⋯=f(x)≠x=0100.001⋯=f(x)≠x=010 ，这里左边列出的是康托二维表中的第三个实数，其小数点后的第三位是1；而最右边的x = 010，是指对角线上对第三个实数的第三位的“1”求反后的那个数“0”，加上前面的第一、二步得到的“01”，为“010”；

依次类推。注意，这里的01 ≠ 010，个位看成在右边。

可以看出，这里的关键是条件“x不属于f(x)”，由上面的讨论，这是由“逐位求反”得到的，它当然依赖于二进制下的每位有两个状态这个前提。而同时实际在系统中又假设了f(x)表示了所有幂集的元素(也就是所有子集合)，于是x又应该属于f(x)，也就是它的元素，从而产生矛盾。于是，我们看到康托定理的“证明”与康托对角线法间的本质相关性。尽管通常它们被隐藏在了那些看似“严格”、抽象、费解的数学行话下了。二者是同构的。我经常、同时也完全有理由怀疑，专家们对他们频繁使用的这些“行话”的真实理解是否到位。

由以上分析，康托定理的有效性与康托对角线法一样，是成问题的，其结论对无穷集合而言，必须被否定。也就是，它与康托对角线法一样，也是要依赖于特殊的对应方式的，因此不能由此得到普遍性的结论。由特殊到一般的推理，只能是推测性的，而不是确定性的。

特别值得注意的是，既然康托定理与康托对角线法同构，那么，反过来，由康托定理，我们也可以看出康托对角线法的本质。上面那个对A的定义很明确，正如我们不断强调的，康托对角线法中在对角线上靠逐位求反得到的那个实数(康托定理中是自然数集合的一个子集合)A，不过是定义出来的(见上面引文中A的定义)，而并不是证明出来的。这正是笔者一再强调的事实 [ 7] [ 8] [ 9] [ 10]。从与康托对角线法同构的康托定理，我们很清楚地看到，最后的那个悖论性的矛盾，是直接由A的定义推出来的。而同样的结果，在康托对角线法中，却被认为是“证明”出来的。

5. 再论“层叠集合观”的困境及与康托定理有关的内在矛盾及测度论所隐含的问题

由康托定理导致的“层叠集合观”，仔细分析，实际要依赖于时间进程。因为显然，所谓“某集合的所有子集合的集合”，该集合自己要先已存在，然后才谈得上其子集合。这里的“先”、“然后”，都是时间的顺序、进程概念。时间是无尽头的，显然趋于无穷，而层叠集合观所要求的一个比一个大的集合，也没有最大的。二者完全协调，而且时间进程的无休止，是更基本的因素。如果说所有的“所有子集合的集合”，不必依赖时间因素，行不行？我们说不行。如果在某时刻、瞬时，所有的“所有子集合之集”也就是所有层叠集合中的各层的集合都同时存在，则必是一个“实无穷”的结构，而按照康托定理，这是不可能的。而在某一时刻(没有哪怕再小的时间进程)的一个潜无穷序列是根本无法描述、定义、想象的。因为显然，在某时刻，是不可能想象什么“一个比一个更大的集合”的。注意，这里的无穷与层次，与自然数的情况不同。自然数虽然一个也比一个大，而且无穷尽，但仍可以将其看成一个整体，也就是实无穷的“自然数集合”。但由康托定理，这在层叠集合观中不再被允许。康托定理不能承认有这个最大集、整体集存在。因其“证明”的就是这样的整体实无穷集合不存在。但如果时刻、瞬时不能有这种层叠集合，在依赖时间进程的层叠集合观也有问题：因为它有一个每层的“产生”速率问题。这个速率本无限制，也就是在某瞬时可以趋于无限，于是这又成了瞬时下的实无穷观了，因此，无论怎么看，层叠无穷观都是内含矛盾的。既然这个类似悖论的矛盾是由康托定理而产生的，这就说明康托定理的结论有问题，其证明过程有问题。根据本文前面对康托定理证明过程的分析，这个问题并不难发现。也就是那个“x不属于f(x)”的条件是一种特殊的对应方式，不具普遍意义。其与康托对角线法同构，本质上并无不同。值得注意的是，在康托定理的实际证明也就是与康托对角线法类似的证明中，x的个数是可数的，也就是可以列出的。但一般的康托定理的结论，是对任意大的不可数都成立。显然，这是一个超出其实际证明的一个推论，而且是未经证明的推论。也就是在这个推论中(不是实际的证明中)，上面所说的x的个数，可以是任意大小的不可数的。而如果x就已经是不可数的，难道还有“比不可数还不可数”这么一说吗？就算没有，两个不可数集间不可一一对应，究竟指的是什么，如何验证？我们看到，康托对角线法以致实际的康托定理的实际证明，都是由可数推及不可数，但不可数是如何可以推及“更不可数”的？对角线法肯定不行，因为不可数集已经肯定不能被排成一个纵列了，所以无法再作此假设，前提不再存在，也就谈不上以下的证明过程了。康托定理的证明，表面上与对角线法不同，但经本文前面的分析，其实本质一样。总之，退一步讲，就算康托对角线法等证明方法确实已经证明了有不可数集(笔者早已论证，这实际上并未实现)，康托定理为人们所忽略的是，也不能外推到比实数集更大的集合(理由上面已经讨论了)。以下我们可以更仔细地讨论一下这个问题。我们说，可数，就是任选一个可数集中的数(或更一般地“元素”，且无论多大)，然后按某种次序(比如从小到大，或像数有理数那样的排列顺序)，总可以数到该数。而不可数，则同样任选一数，就找不到这样的规律、顺序等来保证可以数到该数。这就意味着，我们如果定义、规定了一个在不可数集域上的性质、对应关系，或与其它不可数集合全域上的一个性质、对应关系，我们不但无法一一验证它，也无法保证该定义、规定的可实现性或真实性。而这一切，都由康托定理、也仅由康托定理得之。由此看来，康托定理如果无瑕疵，对能否与可数集一一对应，起码是可验证的(因为前文已述，如果可数其任何元素就总可以按某顺序、规律早晚被数到)。但对两个不可数集间的一一对应关系可否实现，就无法验证了。也就是无法定义(无法确定定义本身是否正确)，而这个结果正是由康托定理得到的。但康托定理本身(在得到、推广到两个不可数集间的对应关系时)就依赖于(建立在)这个不确定的、无法验证的不可数集间的某对应关系之上的(如康托定理证明中的定义“x不属于f(x)”)。即：如果康托定理成立(可验证、可定义)，则可得到对不可数集间的对应关系而言，它不可验证；由此又可推出(得到)康托定理对不可数集的论域本身是不可验证的，也就是说，康托定理对不可数集间的对应关系的断语是不成立的。因为成立与否不可验证，因此与其初衷也就是原先的结论矛盾。以往，人们显然只认为由康托定理推出了层叠无穷，而没有意识到层叠无穷观所面临的问题，在康托定理的实际证明过程中已经存在了，因此这个证明大成问题。

此外，如果实数集合(连续统)是可数的，积分中的“测度”概念应该更加清晰与完备。我们知道，测度是定义在连续统之上的，而且具有“可加性”，也就是可数性。但连续统如果是不可数的，其子集合当然也不可数。也就是没有可加性(或对等的“可减性”，即可数地不断减少)。于是，必须具有可加性、可数性的测度，显然对整个连续统(实数集)是非完备的。这是因为可数的集合，不可能和不可数的集合的元素一一对应所致。因此本质上，根本无法证明现有很多数学结论是正确的，理由再简单不过了：所有数学命题、运算规则、运算步骤及这里提到的测度都只能是可数的，而数学所要研究、表达的对象、元素、集合却是不可数的，由不可数的定义即知，它不可能被可数地表达出来。也就是说，测度甚至整个数学规则、步骤、运算等，对其所要研究、表达的对象(数系、元素、集合)是不可能完备的。而如果连续统可数，这个问题自然就不存在了。而整个数学理论的基础，也可以大为简化、精练而获得澄清，很多内在的矛盾也可以实质性地被消除。正如普特南等所说的，“如果有某种方式可以使连续统可数，那数学基础方面的很多问题都可以迎刃而解”(大意)。

6. 可数、不可数概念的概率角度分析

从概率的角度，也许可以对可数、不可数概念有一个更深入的理解。我们说，随机地、“盲目”地“点”整个自然数集合中的某一个，点中任何一个自然数的的概率是可数无穷分之一(注意不应是0)。但我们去“点”一个实数集，点中任何一个实数的概率难道是“不可数无穷分之一”？我们一个一个去“点”具体实数时，不正是一个可数的过程吗？按可数定义，可数集合中的任一元素，总可以在某“数法”(对应关系)下被数到。于是才会有某一个元素被数到的概率问题；而按不可数的定义，前文已述，在任何“数法”(对应关系)下都不能保证任何元素肯定会被最终数到，也就是总有元素永远不会被数的，而且极其多。而更其重要的是，不会被数到，也就是无法被“计数”或“统计”，如此，怎么可以有概率值？也不会有层叠无穷观所必需的一一对应概念(就算我们说A与B不能一一对应，那也必须有个C，它可以和A或B一一对应，因此还是离不开一一对应概念的)。

总之，“选取”实数的的动作只能一个一个地选，因此只能有可数无穷多。而实数如果是不可数的，也就意味着只能在一个实数的真子集中去选取。也就是有些实数是没有任何机会被选到的。但具体是哪些或哪个或那些个呢？问题出来了。正如我们按此法选自然数一样(自然数虽然无穷多，但任何一个都不能说没有机会被选到)，任何一个实数也都有机会被选到。更明确地说是可数地被选到，因为前面说了，“选”这个动作本身，就是个可数过程。于是，所谓不可数无穷多的实数被选到的机会不得不说是可数无穷多分之一。这难道还不是一个矛盾？因此，从这里也可以看出不可数概念、层叠无穷观的内在困难。

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