数学分析综合（四）

至此，对哥德尔定理问题可以总结归纳如下：

由于一个形式系统中对命题的判定、证明只能是在有限时间、步骤内实现的，因此其逆命题不可判定的结论不可能在有限步或时间内达到，因此本质上在形式系统中无法真正被表达。哥德尔在证明中对全称量词下命题的表述(比如定义。有限字符即可充分实现)与真正表达(需要无限的字符，实际不可能在现实中实现)没有进行区分。这并不奇怪，在有限步内不能确定的“命题的不可判定性”，只能是在无限时间意义上的。有限时间或步骤下只能得到“还没证”、“未判定”这样的命题。哥德尔在此处没有明确表述；因此哥德尔意义上的不可判定语句(并非仅仅是其定义)等等，并不真的存在。希尔伯特纲领仍有实现可能。总之，哥德尔定理的实质，是对不可判定及与其相关的不可证需要无限的时间这个事实没有充分领悟，这当然涉及到量词“对所有n”或“不存在n”云云的实际实现(证明所要求的)而非仅仅是语言刻画即定义。既然有“不存在n”，怎么会有一个依赖于自然数n的哥德尔数？此外，都说哥德尔定理与康托对角线法有渊源，我们说，集合元素间的一一对应必须依赖于具体的对应方式也就是函数关系，根本就没有什么普适的一一对应关系。因此，可数的证明，只需有一个特殊的对应方式把所证集合与自然数一一对应起来即可。而不可数，则需要所有对应方式(函数关系)都不能建立起这种一一对应关系才行。而都知道，这样的函数关系有无穷种，因此理论上不可数根本就不可证。换言之，不可数的定义要求，因为它是一个普遍的、一般性的有关一一对应下的函数关系的结论，因此不能再依赖于任何具体的一一对应函数关系。但实际上被认为是证明了实数集合不可数的康托对角线法却恰恰没有做到这点(当然由前述理由也不可能做到)，它隐含了具体的对应方式(详见下文及参考文献笔者的讨论)。类似，可证、可判定概念要求步骤有限(进而时间有限)，因此作为其反命题的“不可证”、“不可判定”，必然涉及无限，也就是本质上是实现不了的。

11. 图灵机停机问题的讨论

对于图灵机停机问题，已知与康托对角线法是同构的。不过纵向以不同的图灵机去代替不同的实数，横向以图灵机的输入状态去代替位数，但这里可作每一位有可数无穷种不同的状态而不是多进制的有限种状态。如此，这个二维表中的每一个位置表示具体图灵机的输出状态。下面如所周知地仿对角线法逐位逐行求异，得到无法有算法列出全部可停机的图灵机。但事实上，我们由 图1可知，那里的第三维在二进制下只有两个状态，十进制下有十个状态，而这里的图灵机情况，是“每个输入”(对应于康托对角线法中的“每位”)有可数无穷种状态。也就是 图1此时扩展成了一个完全的三维表。如此而已。而三维立方体中的每一个点，早就证明是可数的，也就是可以遍历的，因此我们完全可以仿这里实数对角线法的做法，把图灵机不是布置成一列，而是布置在一个平面上，对角线也不是二维正方形的对角线，而是三维立方体的对角线，如此，由于图灵机的所有输入产生的所有输出在这张三维立体表中都有了充分的表达，于是不应该再有如康托对角线法的逐位“求异操作”，由此可以破解图灵机停机问题(也就是所谓“希尔伯特问题的不可解性”)。总之，与哥德尔定理中的“不可判定”概念、实数的不可数性概念相仿，

Figure 1. Diagram of binary double diagonal lines

图1. 二进制下双层对角线示意图

图灵机的所谓“不停”状态，本质上是“永不停”，与前二者一样，都需要“经过”无穷多步骤、时间才可确定，换言之，也就是不可在有限的步骤、时间中确定，也就是实际不可确定而已。三个问题在这方面是同构的。同时，这三个问题都是递归可枚举但非递归的(补集不是递归可枚举的)，原因经上面的分析已经可以一目了然了：三个问题中的补集(不可判定、不停机、不可数)，都要在无穷步骤下才可真正实现，也就是实际上无法实现，这就是它们非递归的根本原因。篇幅所限，不再详述。

因此结论是： 正是由于哥德尔定理得到了一个事实上为真，但却在系统中不可证且不可判定的命题，因此有人认为，机器、算法不可能超越人脑，人的智力比人工智能强。也有人认为，这一结论的理由不充分，其中包括哥德尔本人。但未见他们提出令人信服的理由或证明。此问题争论了几十年。由于本文给出的分析，可以看到，一个不可判定命题在系统中只可定义，不可真正在有限域上被表达。因此，根本在系统中就得不到那个我们明明可以知道其为真，但却不可判定的命题。因此，据此为理由认为人脑比机器、算法强的论点，也就不可能成立。计算机、算法、人工智能，起码在理论上，并没有一定不能超越人脑的限制。就是有，也是物质、材料，具体说就是分子、原子层面的区别所致，而不是逻辑、数学、算法层面的。

12. 一种不需要极限及无穷小概念的微积分新诠释

在前期工作的基础上 [ 11]，可知在新的解释及理解下，牛顿、莱布尼兹法求导(第一代微积分)实际完全足够，它是充分的。而且不再以极限或无穷小作为理论的必要条件，更何况这个极限并不真的存在。由此，消除了微积分理论中表观上的矛盾(贝克莱悖论)，因此理论不但再无明显或潜在的逻辑问题，而且可以达到理论的极简化以利于教学和理解。

一、除法、比式、消去运算的实质

之所以要着重澄清这些相关概念，是因为牛顿、莱布尼兹在求导过程中，首先就作了除法，以“消去”分母中的自变量。极限法(第一代微积分)也一样。

除法：某数或量，被分成若干份，每一份是多少。

比式：最终得到的数值或变量，实际是折合成分母为1时的分子值。比如物理上“速度”这个概念，就是“单位时间物体所运动的距离”，而“单位数值”就是“1”。因此速度的数值可以不写分母上的“1”，但反映真实关系的物理“量纲”，却还是一个“比式”形式，也就是“距离/单位时间”。

消去：实际就是做除法和求比式的值。也可以说前二者是通过消去操作来具体实现。结果当然分母被“消去”的部分应该就是“1”。消去，就是分子、分母中的相同部分都为“1”。如12/3，消去分母上的3，就是(4 × 3)/3 = (4 × 1)/1 = 4/1，当然数值就是4，但4严格而言丢失了“比式”这个信息。比如4就只表示“4个人”，而4/1严格而言可以表示“每一组4个人”。后者信息量大。

二、导数

1、导数定义(第一定义)：曲线上某点的切线斜率。

比如物理上的瞬时速度概念，应该定义成：物体受力做变速或曲线运动，在某瞬时该力突然解除，物体做匀速直线运动时的速度。

由于以上定义，只要能够求出曲线的切线斜率的，都可以。因此求导方法不拘于一种牛顿、莱布尼兹法。但由于该法非常有效且影响广泛，因此值得详察。

注意，以上导数的定义，与传统牛、莱法或极限法(标准分析)的区别：虽然在数值上相等，但传统定义会产生贝克莱悖论的区间无穷小或并不真的存在的极限。而这里的定义完全没有无穷小和极限的任何表述。其实它就是宏观量。当然不排斥无穷小，但其不是必要条件。

2、牛顿、莱布尼兹求导法的实质

设有曲线在横坐标x点的增量(坐标差)函数 Δy=f(x,Δx)Δy=f(x,Δx) ，其中Δx为曲线上二点(x及x + Δx)间的横坐标(自变量)差或曰增量。现将其写成过此二点的、并且仅取此二交点值的该曲线的割线方程形式为 Δy=K(x,Δx)⋅ΔxΔy=K(x,Δx)⋅Δx 。这里的K为该割线的斜率，它同样是x及Δx的函数。显然，如果割线上的点，并不局限于它与曲线的交点，因此不失一般性，我们令该割线方程中不包括在斜率K中的Δx为Δg，其为割线上任何二点(不局限于与曲线的交点)的坐标差或增量。相应地，Δy也变为Δh，也就可得到割线上的不拘于与曲线的交点的一般方程 Δh=K(x,Δx)⋅ΔgΔh=K(x,Δx)⋅Δg 。显然，当该割线与曲线的二交点合为一点时，也就是当Δx=0(特别强调，根本无须什么Δx→0)时，该割线变为切线。由此，我们可以得到导数的一般定义：

Δh/Δg(当Δx=0,Δg=1 时)=K(x,Δx)⋅Δg/Δg=K(x,0)⋅1/1=K(x,0)Δh/Δg(当Δx=0,Δg=1 时)=K(x,Δx)⋅Δg/Δg=K(x,0)⋅1/1=K(x,0)(1)

几何意义上，也就是曲线的切线斜率。代数意义上，就是该曲线与某一直线联立求得重根解时该直线方程中自变量的系数，即斜率。显然，此定义下不存在贝克莱悖论，也不再需要什么无穷小、极限概念。而且实际与所谓“第一代微积分”的牛顿、莱布尼兹求导方法相一致，也是他们实际所做的，只不过把他们无意中做除法后得到的结果彻底解释清楚了。换言之，笔者所做的，只是彻底诠释了牛顿、莱布尼兹求导法，并给出相应的导数定义，使其今后可以放心大胆地使用而已。注意，当曲线与割线的两个交点合二为一时(Δx = 0时)，作为导数第一定义的1式最左边的比式的分母Δg =1而不是0，因此不再涉及分母为0所产生的一切问题。这是由于变量除法所要求的Δg/Δg = 1/1 = 1，而如果把导数直接定义成曲线函数与其自变量的增量比Δy/Δx，则无论Δx=0还是Δx→0，显然函数中的所有自变量Δx均为0，因此会产生分母为0(也即0/0)的问题(贝克莱悖论)。

很重要的一点，设x1为上述x及x + Δx之间的一点，可令

K(x,Δx)=K(x1,0)K(x,Δx)=K(x1,0)(2)

等式的左边为曲线两点间的割线斜率，等式右边为此两点间的一点x1的切线斜率(也就是传统上的该点的导数)。由于二者数值相等(平行线斜率相等。实际上，这就是著名的中值定理)，因此该曲线在x1 点的导数(切线斜率)，完全可以也定义成过曲线横坐标x、x + Δx两点的割线斜率(可看成是导数的第二定义)，在物理上，就是某时段的“平均速度”。因此，结合导数的两个定义可知，导数在物理上就是速度——无论是瞬时速度还是平均速度。而由2式，x、Δx、x1三者知道两个，即可求出第三个。于是，导数由原先的只涉及一点可以扩展成涉及两点。

由(1)式可以看出，极限法(标准分析、所谓第二代微积分)求导所倚赖的曲线函数增量Δy与其自变量增量Δx之比在0点的极限根本就不可能存在：如不做除法，分子、分母中的Δx都为0进而得到0/0。而做除法，由1式可知，此时只有系数K中的Δx = 0，而分母中的变量无论写成什么，都始终等于“1”。因此不存在趋于0或等于0的问题。也就不能把它的运算结果看成是曲线函数的自变量Δx→0(而又不等于0)的结果。

同时，以最简单的自函数y = x的增量函数Δy = Δx为例，当Δx = 0时，有Δy = 0，即0 = 0，不能由除法得到有意义的增量比值函数Δy/Δx的值，因为0除以0为0/0。人们承认这是个问题(导致贝克莱悖论)，才有极限法的标准分析，认为Δy/Δx在0点虽然没有有意义的函数值(即函数值为0/0)，但却可以有有意义的(非0/0型的)不可达意义的极限值。进而用此极限值定义导数。但是，我们看到，当Δx→0时，其极限值当然也为0，Δy = Δx等式两边在0点的极限值仍旧是0，也就是0 = 0，除法仍旧不可为。而不能做除法消去分母上的Δx，我们就无法求出Δy/Δx在Δx = 0点的有意义的极限值，即充其量得到无意义的极限0/0，与函数值一样。而要想做除法，Δx最小也得是无限小ε，绝对不可能是0，如此，Δy/Δx有意义的极限就不是Δx→0了，而是Δx→ε。即为ε/ε = 1/1而非0/0(但如此，如所周知，会在二次函数等曲线方程的求导中产生无穷小的舍弃问题)。以上，实际可以看成Δy/Δx在Δx=0点没有有意义的极限值(即非0/0型的)的一个最简证明。

另一方面，笔者前期论文中已有表述，所谓“不可达极限”，就是在某点没有函数值或函数无定义，但却可以有极限。但这个区别于可达极限的不可达极限，显然不能由极限过程本身求得。原因很简单，正是因为按定义，这个极限值是极限过程永远也到达不了的，怎么可能再由这个极限过程本身得到该极限值？这直接违反定义。也就是说，这个极限实际是事先假设函数在该点有定义，直接舍弃或无视贝克莱悖论中无意义的0/0部分，只保留有意义的那部分，权当“求出”了该点的“函数值”，再认为函数极限过程是以该点的该“半截”函数值为极限的。然后又不得不由于众所周知的原因，说该点极限值，是函数永远不可达的，但可以不断趋近它。总之，这个“半拉”函数值进而极限值，都是有问题的。贝克莱悖论并没有被消除，而仅仅是被无视。具体到微积分求导问题，函数的增量比值，在增量为0的那一点，没有有意义的值(为0/0，或会产生贝克莱悖论)。但标准分析认为在0点可以有不可达极限值。但以往人们都忽略了，这个不可达极限由前述理由可不是由极限过程本身得到的，而是事先在0点用函数求出来的(由前述，当然是“错误地”求出的)，但显然，如此求出的极限值，既然是在会产生贝克莱悖论或0/0值的那一点，因此这个所谓的不可达极限值和函数值一样(函数值有的问题它也都有)，也会有贝克莱悖论，其固有的矛盾不可能仅仅由于把函数值换成极限值换了个名词就被摆脱。实际上也就是增量比值函数的极限过程所趋近的，仍旧是一个与函数值一样的、在0点会产生矛盾的极限值(即得到0/0)。换言之，这个极限作为有意义的值并不存在。显然，人们以往为了回避函数在0点的贝克莱悖论(有0/0)，弄出一个在0点没有函数值的极限值；但却忘了或没有意识到，为了求出这个极限值，我们还得事先求出0点的函数值，而这个函数值由于会产生矛盾，正是我们所要回避的。这实际是典型的循环论证。由于这个过程很隐蔽，人们在求极限值过程中不自觉地舍弃了贝克莱悖论中无意义的0/0部分而保留有意义的部分，就此认为悖论解决了。由这里的分析可以看出，这当然不是事实。

三、微分

由导数的第二定义，因而原先x1 点的微分，由(2)式可得

K(x1,0)⋅Δx=K(x,Δx)⋅Δx=ΔyK(x1,0)⋅Δx=K(x,Δx)⋅Δx=Δy(3)

因此，由(3)式可以看出，微分也可以被定义成当自变量由x点起始有增量Δx时，函数的增量Δy，完全没有了什么增量Δy的“线性主部”dy之类的说法，干净利索。

以著名的二次曲线y=x2为例，令

2x+Δx=2x12x+Δx=2x1(4)

(4)式等号左边为割线斜率(第二定义下的导数)，右边为x1点的切线斜率(第一定义下的导数)，由 x1=x+Δx/2x1=x+Δx/2 可知， x＜x1＜x+Δxx＜x1＜x+Δx ,x1即为中值。如将4式两边乘以自变量Δx，则可得函数微分，即

2x1⋅Δx=(2x+Δx)⋅Δx=2x⋅Δx+Δx2=Δy2x1⋅Δx=(2x+Δx)⋅Δx=2x⋅Δx+Δx2=Δy(5)

很显然，这正是我们十分熟悉的二次曲线函数的增量。它是个精确值，不需要什么线性主部dy，也没有什么“高阶无穷小”和极限之类拖泥带水的说法。物理上，如果某时段的平均速度乘以此时段，当然就是此时段的运动距离的精确值，不必再纠缠于某点的瞬时速度。

由以上分析我们可以看出，新诠释下的微分法实际就是变分法，二者是一致的，甚至后者还更本质。过去常有究竟是微分法基本还是变分法基本的争论，有人认为微分法的极限理论是“精确的”，而变分法是“近似的”。现在看此种看法是不对的。因此之故笔者把新诠释下的微积分命名为“增量分析”。

由于导数的定义无涉无穷小或极限，因此微分的定义，也无涉函数增量的线性部分，它就是函数的增量本身，等于自变量增量的中间某点(中值)的导数(第一定义)或更直观地就是割线的斜率(导数第二定义)与该自变量增量的乘积。因此在此观点下，所谓的中值定理就不是定理，而是微分定义的出发点。如此，函数自变量的微分定义问题即以往dx=Δx疑难问题不再存在。函数自变量的微分，就是实实在在的自变量的增量Δx，无涉什么dx。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。