哥德尔定理【悖论本质与新解释】二

曾经有人仿国外论点，稍加修改，提出或基本沿用了一个悖论的定义：悖论就是从某些看起来合理或公认正确的背景知识中，合乎逻辑地推导出来或可以推导出来的两个互相矛盾命题的等价式。对照笔者前面及以往有关文章中给出的悖论的定义，正如有人批评的那样，此定义显然是不完备的。首先，“某些”、“看起来”、“公认”、“背景知识”等就不是一个准确的概念，本不应出现在定义中。“某些”，究竟具体是哪些？“看起来”，究竟是不是？“公认”，究竟多少算公认？百分之几？有一个人不同意是不是就不是公认了？“背景知识”所指为何？都是不明确的。“合乎逻辑”也没有像笔者这样明确指明是推导的中间过程，还是包括形成悖论的那个作为前提的、隐含矛盾的前提。难怪有人提出，既然推出了矛盾，肯定就是在什么地方出了推理问题，怎么还会绝对地“合乎逻辑”？最后，此定义尽管加进了很多并不明确的前提条件，但最终落在了“两个互相矛盾命题的等价式”上。而这实际上就是一个明确的矛盾，它可以由悖论推理来推出，但仅仅是悖论的结论，而不是悖论本身。因此不能作为悖论的定义。一句话，此悖论定义不行。

有人提出的另一种等价于悖论定义的说法是：悖论作为一种特殊的推论，虽然其推论形式是合乎逻辑的，但它的结论确实是以逻辑矛盾的形式表现出来的。悖论的结论不仅违反逻辑规律，而且与常理也不容。因此，悖论具有两面性，它是一种合乎逻辑的悖理。

首先，“悖论”与“悖理”，基本就是同义词或近义词，用一个定义另一个是循环定义。比如，说“悖理具有两面性，它是一种合乎逻辑的悖论”也是完全可以的。其次，该悖论的定义或描述中说，悖论的推理是“合乎逻辑的”，但其结论“不仅违反逻辑规律，而且与常理也不容”（且还不说“违反逻辑规律”必然“与常理不容”，同时“与常理不容”的事物必然在什么地方会“违反逻辑规律”），而这一切说明了什么？只能说矛盾隐蔽在了推理的前提中。所以这个悖论的定义或描述并没有说清悖论究竟是什么，但确实已经到了正确的悖论定义的大门口。“临门一脚”已经呼之欲出，但最终也没有明确给出。而且，什么叫“合乎逻辑的悖理”？既然都“合乎逻辑”了，怎么会还有“悖理”？反之，有了悖理，还能是合乎逻辑的吗？语焉不详。总之，还是没有说清，只是一个表观的描述。

该文献还提出：从思维形式和真值上看，悖论是一种特殊的推论，其前提命题是一个既不能被断定为真也不能被断定为假的命题，它的结论表现为逻辑矛盾，即永假命题。

这个也可以看做是一个悖论定义的陈述，把前提看成某种不可知其真假的命题。这是不对的。实际上，如果改成“其前提命题是一个同为真假的矛盾命题”就好了。也就是，悖论的前提即可为真，又可为假，这当然只能是个矛盾。

有人还说：“......我所同意的‘悖论’定义是：‘如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式。那么，我们说这个理论包含一个悖论。’或者换一种更松散的说法：如果从看起来合理的前提出发，通过看似正确有效的逻辑推导，得出了两个自相矛盾的命题或这样两个命题的等价式，则称得出了悖论。这里的要点在于：推理的前提看似明显合理，推理过程看似合乎逻辑，推理的结果则是自相矛盾的命题或矛盾命题的等价式。”不能不说，这个定义其实也不行。什么叫“看上去是合理的”，究竟合不合理？定义中不应该出现这种模糊不清的描述词汇。是就是是，不是就是不是。而且在这个理论中推出了两个互相矛盾的命题，不一定推出的就是悖论。下面的说法也一样，证明的互相矛盾的命题，不一定就是悖论。悖论是因果性的互推式的这个特殊的证明，而不是一般意义的证明。下面的“推理的前提看似明显合理”，也是语焉不详。按笔者定义，悖论的推理前提就是一个隐蔽的矛盾，这样就明确了。看似明显合理，其实就是隐蔽了不合理。而单纯表达了前者，给人的印象是还是合理的。“看似”，还“明显”，究竟明显不明显？看似明显还叫明显？既然已经明显了何来“看似”？“似”什么？“似明显”？明明是不太明显嘛！

顺便提下，单纯的自指并不构成悖论，比如定义 a = {a | a∈a }就不构成悖论。而单纯的自指否也未必就构成悖论，比如单纯的 a∉a、也不构成悖论。只有当将其定义成一个集合时，也就是a = {a |a∉a}它才是一个悖论。因为矛盾被隐藏在了a = {a }中了，它实际上就等价于a∈a与a∉a构成了矛盾。由于这个矛盾是隐蔽的，隐蔽在了集合的定义中了，因此是悖论。而a∈a ∧a∉a 或a∈a = a∉a或a∈a当且仅当 a∉a则就是一个赤裸裸的矛盾了。当然，a≠a也不构成悖论，它就是一个明显的矛盾。

二、悖论与反证法的区别所在和悖论的另一种等价的推导

反证法实际是： ┐a → ┐b∧b ( ┐b与b都为1的意义上，也就是推出了一个矛盾）→ （1→ 0）→ ┐┐a → a。也就是从 ┐a出发，推出了一个与a与┐a无关的矛盾，得到一个非真的（1→ 0）式子，从而否定前提 ┐a，得到a。

而悖论如果也看成是（套用反证法的作法）： ┐a → ┐a∧a → ┐┐a → a ，则不通了。因为 ┐a∧a 中的a，就是直接从前提┐a 推出的，再否定它为 ┐┐a 就没有道理了。

悖论的推理实际也可以是 ： ┐a → a → ┐a∧a ，因为a为从┐a直接推出的，它是在┐a成立的前提下才有的，所以可以视为是推出了一个包括前提假设的矛盾。这个悖论的推导似乎未见以往有人论述，这是因为它不太明显。人们只是注意于直观的悖论推导（简化）a → ┐a及┐a →a或更简化的a ↔┐a，实际上，它们都是等价的，可以互推的。

这样的一个揭示，在下面的哥德尔定理的悖论本质的分析中可以派上大用场。

三、哥德尔定理分析及其悖论本质：哥德尔定理悖论

著名的哥德尔定理是说，存在一个真而不可证（非定理）的命题。但真即不可为假，这当然需要证明后才可能确定。一个证明后才可确定其结论命题，却居然是真而不可证的，这当然是个矛盾。如果命题本身定义矛盾，则尽管冠之以“定理”之名，但无定理之实。因为这个所谓的“定理”仅仅是定义出的，而不是直接从系统公理推出的真正意义的定理。这种悖论或矛盾的出现，并不意味着系统本身的公理系统不一致（有矛盾）。毕竟，任何人都可以随意构造一个矛盾甚至悖论。比如，如果有人说人又死又生这个明显的矛盾，谁又能管的了他？因为在任何系统中，都可以定义（写出）矛盾语句或构造出一个悖论，这个不算系统不一致（有矛盾）。但一些悖论因定义而生矛盾，如罗素悖论（隐蔽矛盾）。系统规定不允许其出现即可以清除。即：使其中的“隐矛盾”显化，即可。哥德尔定理也一样，它实质上是混淆了“定理”这个名词、命题本身与定理的实质之间的区别。后者归根结底必须是直接或间接从公理出发的一个证明步骤（证明串），如果仅仅一个名词“定理”，当然是可以定义“定理∧┐定理”或其隐蔽形式。哥德尔用名词“定理”、“可证”、“不可证”（当然是以数字形式的“哥德尔数”表达的）代替了实际的证明过程。用名代实。比如公理集合论，当然可以用一些公理来消除罗素悖论。再一个例子，如“沈卫国”一词，当然能够以“沈卫国好”与“沈卫国不好”共同构成一个矛盾句，但作为其代表的沈卫国这个具体的“人”，则不可能又好又坏地是一个矛盾人。哥德尔定理实际上是混淆了这点，只有定理之名，而无定理之实，因此不能证明系统的不完备或有矛盾。因那不是真定理，它没有真正的证明过程。因此定理一词，有二种，一种为实定理，由证明过程而得之的，一种为“虚定理”，只是“定理”二字。就如：名词“沈卫国”也可实可虚。实，它可以代表沈卫国这个人。虚，就这三个字，不代表任何其它意思。哥德尔定理实际是用虚代实，所以错了，搞复杂了。说“沈卫国：= ┐沈卫国”是虚的，就是一个矛盾。而实，则说系统内“沈卫国这人”不存在，系统外或在“元系统”中存在，行吗？同时也更不可能在系统内又存在又不存在。正如定理的实际证明过程对又同时错。总之，定理是证明出的，不是定义出的。不可证也是证出的（证明不可证），不是定义出的。可证也是证出的，证明为一过程而非定义。哥德尔定理中的不可证、定理均为定义出的名词而已。这种定义出的东西，哥德尔以一个“原定理”、“元数学”这样的名词而掩盖。意思为系统外的名词、证明等等，实际上，它就是系统内的名词定义，即没有实质内容的、只是冠之以“定理”、“可证”、“不可证”之名的名词、概念。如，著名的哥德尔句“本命题不可证（非定理）”，完全是人为定义出的，直接给出的，而不是实际有个什么证明过程最终得到的不可证或非定理。实际上，笔者认为，公理系统中应该加一条公理：定理，必有证明过程才可达到一个断语。

此外，自然语言，作为一个广义的形式系统（符号更多）也可以纳入哥德尔数中去。哥德尔数是减少符号数增加空间点位，而自然语言系统则相反，是增加符号数，空间点位归为1，但二者等价。自然语言可用哥德尔数表示，反之必也一样。正如哥德尔数可以表示形式系统，反之也一样一样。再翻译成自然语言系统，也可以。只有繁简的区别，而没有本质的区别。原则上，哥德尔数可以用一进制数表之，它只有空间占位，符号只有一个。反之，点位为1，符号数庞大也可以。笔者之所以提出这个问题，就是把所谓的通俗化的自然语言描述哥德尔定理与看似“高大上”的、鲜有人问津的所谓“专业”行话表达的哥德尔定理等价化。只要自然语言表达的哥德尔定理自己是准确无误的，就可以以其为基础进行讨论，而不是像有些人那样，自己其实也不真懂，却把正常的讨论推到“哥德尔数”这种鲜有人懂的象牙塔中去束之高阁。总之，笔者的意思，哥德尔定理如果是可表达的，就必须准确无误地可以用自然语言表达出来，否则就不是真懂。换言之，我们讨论哥德尔定理问题，完全可以基于自然语言对其的描述，如果不能，则说明这个定理毫无讨论的必要，它不接地气。一个不能“翻译”成自然语言的所谓“定理”，根本称不上是定理。而如果可以翻译，则针对形式语言哥德尔数还是自然语言的描述，本质是一样的，而后者显然更直观。

哥德尔从一个特殊的自反性的语句，得到一般性的只有真正的推理才能达到的关于定理结论，本身就不对。除了那个语句本身，还有什么是不可证的？没有。罗素的话很对，1965年罗素应Schilpp的邀请，写下如下对哥德尔工作的评论：“在《数学原理》出现后不久，哥德尔提出了一个新的困难。他证明，在任何系统的逻辑语言中，有些命题可以被陈述，但不能被证明或证伪。这被许多人（我想不是由哥德尔）认为是对我和其他人提出的数学逻辑的致命反对。我从来没能采纳这种观点。持这种观点的人认为，没有一个系统逻辑理论可以具有普遍的真理性。奇怪的是，他们从未将这一观点应用于初级的日常算术。在他们这样做之前，我认为他们可以被忽略。我一直认为，数理逻辑中有些命题是可以陈述的，但既不能证明也不能证伪。其中有两个命题在《数学原理》中占有相当重要的地位，即选择公理和无穷公理。然而，对许多数理逻辑学家来说，哥德尔的工作的破坏性影响似乎比对我的破坏性影响大得多，并被认为需要对数理逻辑的范围进行极大的限制。… 我坚持这样的观点：一个人应该制定他能想到的最好的公理集，并相信它，除非出现实际的矛盾”。他又说“当然，我意识到哥德尔的工作具有根本的重要性，但我对它感到困惑不解。这让我庆幸自己不再从事数理逻辑研究。如果一组给定的公理导致了矛盾，那么很明显，至少有一个公理必须是假的。这是否适用于小学生的算术，如果是这样，我们能相信年轻时被教导的任何东西吗？难道我们要认为2+2不是4，而是4.001？显然，这不是我们的初衷”。

显然，罗素观点的要义，是承认数理逻辑中的确有些命题是可以陈述的，但“既不能证明也不能证伪”。但他显然认为，这无关紧要，本来就是如此，是题中应有之义。不新鲜。不应该做过多的解读。从哥德尔的论述中引申出一些危言耸听的观点（很多人素好如此，有意无意为吸引公众眼球）。罗素举出选择公理和无穷公理作为无法证明和证伪的例子，但笔者认为其实一个矛盾命题或悖论命题，也是既不能证真也不能证假的。因为矛盾命题即“又真又假”，不能证“真而非假”，也不能证“假而非真”，即：从“非真且真”是推不出“真且非非真”的。而悖论，则是即可以证真，有同时可以证假，可互推真假，互为真假，a → ┐a及┐a →a，最终仍旧为 ┐a∧a（二者都为真）。但这只是人为定义出来的矛盾，或隐蔽在一个命题中的矛盾（悖论），是“孤立”的，特殊的，不具有普遍意义，不会对公理系统造成很大的冲击，以至于危及系统的一致性或完备性的大问题。我想，这也是罗素上述引文的意思吧。

哥德尔定理证明，由本句非定理（不可证） → 本句为定理（可证），由 ┐a → a ，只有反证法才成立。但反证法之推出矛盾，必应与前提 ┐a 无关，才可否定┐a（说明┐a确实有问题）而确定结论是a（见前面第二小节的讨论），而这里是前提 ┐a本身与结论a构成矛盾，所以不适用反证法。只能说由┐a为真的假设推出了a，即可认为推出了 ┐a∧a（二者都为真），即两个相互矛盾的命题同真，这当然是矛盾。所以结论是错的。即使a为“定理（可证命题）”一词。得到的是 ┐a∧a而非a，所以哥德尔语句表示的饮食矛盾句┐a∧a，意为“定理∧非定理”，而非单纯的“定理（可证命题）”，是个关于定理这个名词的矛盾。它也不是由系统公理推出的矛盾（这种矛盾其实反映了公理本身之间的矛盾），而是定义出来的矛盾，故意、人为制造的矛盾或悖论。第二小节已经讨论了，由反证法，才可以真正地由 ┐a推出一个不涉及前提┐a的矛盾，进而否定前提┐a而得到确实的、真正的a。而悖论性的推导，表面形式上与反证法差不多，但实质是完全两回事，它是首先肯定前提┐a的，由此必然推出┐a与a都真，即矛盾句┐a∧a，如果套用反证法，就是这里有前提┐a推出的矛盾，┐a是矛盾的一方。这个关于前提┐a自身的矛盾┐a∧a，是推不出单纯的a的。即推不出“a且非非a”。因此这不是系统公理之间的矛盾导致的（推出的）矛盾，而实际是人为制造的一个系统中的“废句（矛盾句）”。而任何语言系统、符号系统，显然都有制造废句的能力、权利，这个与系统不一致不是一回事。而只有一个系统中，把矛盾句（废句）认作非矛盾句（正确的句子）时，这个系统本身才是不一致（矛盾）的。总之，产生“黑”不是系统问题，产生“以黑代白”、“黑白颠倒”，才是系统问题。

如果 ┐a → a 是直接的推出┐a∧a（或┐a = a），则其能如此推导的缘由其实就是┐a∧a（或┐a = a）实际上本已隐蔽在了前提┐a中了。否则根本得不到这个结果。因为如果┐a∧a中的┐a与a都为真，则由┐a∧a必然可以得到a真。对a → ┐a也一样。同理。因为前提都是┐a∧a（或┐a = a），因此，这两种悖论的推导，是等价的。但过去往往只知道或只重视表面明显的a → ┐a及┐a →a，而忽视了 ┐a → ┐a∧a（或┐a = a）或┐a∧a → ┐a等。总之，哥德尔定理中涉及的矛盾┐a∧a（或┐a = a）是人为定义出的，不是系统公理间的矛盾而导致（推出）的。

同比，我们是不是也可以问：著名的强化谎者悖论a:= ┐a（本句假），如果套用哥德尔定理的结论，是否也可以是自然语言系统（不管怎样，它最终也可以看成是一种形式系统）内的不可证命题？在所谓系统外或元语言系统，难道┐a也为真吗？但没有人这么认为，普遍地，都把其当成是自然语言系统内的一个地地道道的悖论（矛盾），而且就是人为定义下的悖论、矛盾，而不是公理系统本身的矛盾导致的悖论、矛盾。。

而悖论的解悖，是只有在悖论产生的原因彻底搞清了之后，解悖才有道理，不是头疼医头的单纯的禁止悖论语句，而要要知道为何禁止。如强化谎者悖论，“本句假”产生了悖论，原因也知道了，一说就悖，那就不说。但应该知其然也知其所以然，而不是反之。

哥德尔定理产生的问题，一切全源于一个假设：“形式系统是一致的（无矛盾的）”。这其实也就是 一个假设（元假设），绝非证明（元证明）出来的结论。于是，通过所谓的元证明依据这个假设“证”出的“元结论”：系统不完备，也就只能是一个假设，或基于假设之上的一个推理结论。此外，明明推出了一个悖论（矛盾），却不承认，非说系统一致，没有矛盾，那么，这个已经推出的矛盾（悖论）的正反命题都不是系统中的定理，也就是都不可证，即不可判定。此种叠床架屋式的矫揉造作足以令人生厌：说哥德尔语句（作为一个“元语句”或“元数学命题”）不可判定，就是其正反命题都不可证（都不是系统中的定理），那哥德尔语句是说，本句不可证（不是定理），其反命题是本句可证（是定理），如果二者都不可证，则前者是“本句不可证不可证”，即“本句不是定理不是定理”，那本句可证必然可证，也就是本句是定理必然是定理。同理，如果哥德尔语句的逆命题“本句可证（是定理）”不可证（不是定理），则必有本句不可证（不是定理）可证（是定理），即还是本句不可证（不是定理），与前面第一步的论证结果仍旧构成矛盾，即仍旧是一个悖论。

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