数学联邦政治世界观
超小超大

不可数集问题

命题:对于全序集 (P,<) ,若任何前段的基数都小于 κ ,则 |P| ≤ κ 。[1]

证明:思路很简单,去构造该全序集的一个良序“骨架”。

由选择公理,取P(P) – ∅ 的一个选择函数 F ,来归纳构造 P 的良序子集 {αα|α<γ} 。先取

F({x|∀β<α(x>αᵦ)}),if {x|∀β<α(x>αᵦ)}

αα={

P, else

再令 γ=min{α|αα=P} ,那么易知 {α|αα<γ} 为 P 的无界良序子集。记 Aₓ={y∈P|y<x} 为 x 的前段,可知 P=∪Aα 。

α<γ

其中 |Aα|<κ ,同时必有 γ ≤ κ (否则 {αα|α<κ} ⊆ Aακ ,基数不小于 κ ,矛盾),因此 |P| ≤ κ × κ=κ 。 □

回到本问题,首先固定一个E 的元素 x₀ ,由 E 不可数知 x₀ 前段与后段中必有一个不可数。不妨设后段 P={x∈ℝ|x>x₀}∩E不可数,运用命题结论知存在 P 的某前段基数不小于 ℵ₀ ,即存在 x₁ 使得 |(x₀,x₁)∩E| ≥ ℵ₀ 。

参考

1. Set Theory, Jech习题5.3

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