数学（一）

目录

＜序＞ ▹

一、探本溯源：数学的起源 ▹

二、学以致用：数学的作用 ▹

（一）分数（分面包）▹

（二）勾股定理（建造房屋等） ▹

（三）几何的发展（希腊文明） ▹

三、一物多象：数学的定义 ▹

（一）数学与哲学 ▹

（二）数学与艺术 ▹

1、数学与音乐 ▹

2、数学与美术 ▹

＜结语＞ ▹

附录 ▹

数学，大概是我们生命中最抽象又最实用的一门学科，它带给不同人的感受也大相径庭：有的人甘之若饴，有的人恨之入骨。

不管是喜欢还是讨厌，但当我们轻松地完成一次扫码支付时，数学的艰深与实用，在此刻达到了完美统一。从小学生都会的加减乘除，到复杂到全世界只有几个人能看懂的推理演算；从我们住的房子、用的手机、听的音乐，到物理、化学、天文、气象、经济等等几乎所有学科，都是在数学的指导下实现和演进的。

总有一些人，他们对数学有着天生的敏感，始终被数学眷顾。正是因为他们的存在，如此艰深抽象的数学，才能孤傲地站立在科学的潮头。我们把他们称为“被数学选中的人”。

神奇的是，虽然我们生命中遇到的一切事物，都和数学有关，我们却看不见摸不到它。数学的整个架构，是人类在寻求万物规律时，人为定义出来的。也就是说，数学时我们想出来的。【这不禁让我想起读书时百思不得其解的一个问题。在语文课本《假如给我三天光明》中，海伦 凯特的老师可以教她认识“苹果”这样的实物，也可以让她感受“水”这样的存在，但是“思想”这样的虚拟存在，是如何被教给一个聋哑人的呢？】它只存在于我们的大脑里，却真实地符合万物的规律，这实在是一件奇妙的事。那么我们片中这些“被数学选中的人”，他们会用什么词来形容数学呢？

韩文：控制力、性感、天马行空。

孙斌勇：纯粹。

潘宣余：简单、深刻、普遍、对称。

陈楚楚：逻辑性很强，公式很美。你看了就喜欢，说不上来。

孙斌勇：而且可能会有用。

邵昊：很用层次感的一门学科。

杜嘉铭：它比较干净。

徐佳轶：比较浪漫的。

刺激的。

李佳：数学是很合理的。

杜嘉铭：它是基本无懈可击的，就因为这个，它有比较给人安全感。

谢松宴：数学是这个样子的：苏轼说过“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”每个人看到的数学面相不同，我看到的数学的面相，它确实非常和谐、非常引人入胜。【确实，“一千个人眼中有一千个哈姆雷特”。】

潘宣余：如果你手上有一只苹果，或者有一只篮球，我不管你手上拿的是什么，我用一样的力丢出去，我能描述它的下降的轨迹。这个轨迹只要一个方程就可以描述。将千千万万的现象，用一个方程描述【数学具有高度的抽象性】，然后这种就是简单。

韩文：就是因为它具备了控制力，看似严谨的理性，然后又具备天马行空这样感性然后又很大胆的状态，很野，所以它自然就很性感。

在数学家眼中，数学充满着如恋人般的魅力。但对大部分普通人来说，数学代表着深奥、枯燥，绞尽脑汁并屡屡束手无策。为什么我们和这些“被数学选中的人”感受如此大相径庭呢？我们有必要了解一下，数学是如何在人类世界中诞生和发展的。当我们明白了令人头疼的定理、公式、论证是如何一步步出现并与人类互动的，我们会意识到课堂上学到的，可能真的不完全叫数学。

一、探本溯源：数学的起源

没有人知道数学是什么时候，是如何在人类族群中诞生的。最早的考古物证是非洲南部出土的一块狒狒的腓骨，上面清晰地呈现29道“V”字形刻痕。它距今约37000年，它的用途可能是记录时间的变迁。

1960年，比利时考古学家在非洲南部伊尚戈地区发掘出了一根狒狒腓骨，它制作于约20000年前，骨头上的刻痕分成不对称的3列，这引起了科学家的无限遐想。例如被用来作为一个计算工具、用于简单的数学流程或者用来构造一个数字系统。当然也有人认为，这些图案被过度解读了。这些刻痕可能只是为了增加抓握时的摩擦力。这块“伊尚戈骨”长久以来，称为窥探远古人类对数学理解的重要证物。

人类大概是从70000年前开始走出撒哈拉大沙漠的，就是靠着这些协同协作，然后代代繁衍，不断地奋斗，慢慢地扩展到了这个地球的每一个角落，有了我们现在这个世界的局面【天行健，君子以自强不息】。细想这是一个很复杂的动力系统，里面必然又很深刻的数学。

郭园园：公元前3000年4000年那个样子，他忽然间意识到，这5只羊和5头牛有一个共性，就是这个5。它把这个“5”抽象出来了，这个就是人类认识上一个巨大的进步，他已经有数字抽象的概念了。

我们至今也不清楚，30000多年到50000多年前，这段漫长的岁月里，数学在人类中是如何不断演进的？又有哪些在远古时代就被数学选中的智者，依靠一己之力，使数学产生了跨越式的进步。

两河流域的美索不达米亚文明，为后人留下了数学发展的物证。那是一些粘土泥板，上面记载了各种精密的运算表，比如倒数表、平方表、立方表，甚至更高次幂表。这个时期的数学称为巴比伦数学。

粘土随处可寻，在潮湿的时候可以书写和修改，又可以长时间保存。这些古巴比伦人的习惯，使今天的我们得以了解5000年前人类的数学水平。有些令现代人汗颜的是，我们今天相当多人的数学水准，远不及数千年前的古人。

二、学以致用：数学的作用

在人类文明的早期，数学是人们为了解决日常实际问题而自发创造出来的工具：如何分配物姿、如何记录收支、如何建造房屋等等，都需要数学的帮助。

（一）分数（分面包）

埃及文明的书写记录载体是莎草纸，这种易碎的物质能保存下来，本身就是一个奇迹。

成书于3600年前的莎草纸卷，“莱茵德古本”和“莫斯科古本”上，记录了80多个数学问题和解答，很多问题是和分面包有关的。

这大概是由于古埃及人没有货币，而用面包和啤酒来作交易的原因。有一道题是：

如何让10个人平分9片面包？也就是每个人怎么拿到9/10片面包？

古埃及人明显已经熟练掌握了分数的运用。在莎草纸上，这道题的答案是9/10=2/3+1/5+1/30。实际的操作方法是：

将其中5片平均分为2块，正好10块，每人拿1块；

把剩余4片平均分成3块，一共12小块，每人再拿1块，还剩2小块；

把这2小块每块再平均分成5块，这样每个人又可以再拿1块，正好平均分完。

这样切的话，每个人分得的面包不但数量相等，连大小和块数也是一样的。

（二）勾股定理（建造房屋等）

在中国的记载中，公元前1000年左右，商高与周公对答时说：“勾广三，股修四，径隅五”。这里的“勾”就是小腿，“股”是大腿。这是古人从自身身体上发现并引申出的：

直角三角形中的两条直角边，如果一边的长度是3，另一边是4，那么斜边的长度就是5。

勾股定理，几乎被所有远古文明独立发现，大概是由于人们在丈量土地和建造房屋时，要经常计算直角三角形的边长。

相传古埃及人用12段等长的绳子围成一个环形，然后把其中的5段拉直，固定两端，把另一边的绳子拉到一点拉紧，就构成了一个直角三角形。可以想见，古人通过多次尝试，便可找到这一规律。

他们把这样的绳套摆在地基上，用以建造建筑的直角。这是勾股定理在生活中自发而神奇的运用。

（三）几何的发展（希腊文明）

在古文明中，数学的大部分概念就是数字。公元前500年开始，希腊文明使数学产生了重大突破。泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图、亚里士多德、阿基米德，这些如雷贯耳的名字，把数学作为一门科学学科建立起来。希腊数学最突出的成就之一，在于对几何的发展。

数学家希帕克斯，使用相似三角形定理，估算地球半径为3944.3英里（约合6348公里），而现代科技测量结果为3961.3英里（约合63475公里），仅仅相差17英里（约合27公里）。他估算地球到月球距离为238000英里（约合383024公里），现代测量数据为240000英里（约合386243公里），误差只有0.8%。

欧几里得，是古希腊最著名的数学家之一，他在公元前300年左右完成了《几何原本》，它深远影响了后来整个欧洲的数学，也是世界上最成功的教科书。《几何原本》，把当时人类掌握的几何知识，以一种极度严密的逻辑关系联结起来，使数学这门学科体系化。直到今天，全世界中小学生学习的大部分几何知识，都囊括在这本两千多年前的教科书里。

数学在人类智者孜孜不倦地追求之下，由一种从生产生活中总结出来的工具，历经代数学的发展、解析几何的出现、微积分的创立、函数概念的发明、非欧几何的研究、应用数学的蓬勃、逐渐演变为引领整个自然科学发展的知识体系。

王涛：为了生产生活，人类发明了算术；为了丈量土地、计算面积，人类又发明了几何；为了量天测地，又发明了三角。近代以来，人类面临的问题又更加地复杂。比如说，为了计算天体运动，人类又发明了微积分；那么为了描述自然界的一些现象，人类又发明了常微分方程和偏微分方程等强有力的工具。那么以至于到我们现代的最先进的数学，现在已经应用到5G技术、人工智能等各个方面。应该说，人类文明的发展，和数学密切相关，而且是正相关的。

孙斌勇：我们数学就相当于做了一个知识库，做了这么一个理论体系。而其他的学科，不管是物理还是其他的计算机什么，都可以把这个东西作为一个工具去用它。我们只是造了一个工具。

袁亚湘：如果假设外面有个比我们更高级的生物，弄个望远镜来看我们。你如果看到我们，比方说，20000年以前的地球，或者 2000年以前的地球，和现在。大家想，我们这个星球，我们这个人类之所以这么进步，这种神速，真是不敢想象。人类有了数学，才会有后面这些所有的科学。没有科学，这个社会怎么进步？所以从这一点，怎么说数学的重要性都不为过。

三、一物多象：数学的定义

回到我们的主题：数学是什么？

我们可以认为，数学是打开各个自然学科大门的钥匙。

数学自诞生起，就一直推动着天文和物理学的发展。古希腊人采用大量的数学知识，来解释和预测恒星和行星的位置。

伟大的天文学家托勒密，建立了完整的星球运行模型，当然现在我们知道它是错的。地心说统治了人类2000多年，直到17世纪，随着解析几何和微积分等一批重要数学成果的诞生。牛顿的绝对时空理论横空出世，尽管它依然是错的。

但数学的方法论，彻底改变了人类文明的进程，影响了后来的整个科学体系。

1915年，爱因斯坦发表了广义相对论。人类对于时间和空间的认知，终于走到了全新的阶段。而在此之前的1854年，黎曼数学的几何理论，早已在那里等着爱因斯坦的出现。

王涛：那么中国古代数学有一个词，叫筹人。所谓筹人，就是指从事天文和数学研究的人。也就是说，从古代来看，数学和天文学是不分家的。

刘洁民：我们可以把数学理解成，人的胳膊的一条大臂，那么这条大臂它够不着宇宙模型的那样一个目标；但是它在这个上面有一个小臂，那么这就是物理学；然后物理学再上边是天文学。你可以想象天文学是长在小臂上的这只手。那么这只手，最后就抓到了那个宇宙模型。【在文学的世界里，诗人靠想象实现了“手可摘星辰”；而在科学的世界里，天文学家以数学为梯实现了“手可摘星辰”。浪漫与理性的殊途同归。】【细想，人类社会的传承不也正是如此？一代一代，薪火相传，即使一代人没有走到理想中的目的地，但绵延不绝地坚持，终可达到。】

更具体来讲就是，今天的宇宙学很大程度上是建立在爱因斯坦的广义相对论的基础上。而广义相对论，是直接地以带有张量形式的黎曼几何作为基础的。没有数学中的黎曼几何，就没有爱因斯坦的广义相对论；而没有广义相对论，就不可能有今天的宇宙学的一个状态。

（一）数学与哲学

但人们很难给数学下一个清晰完整的定义，因为它是抽象的，是连接人类抽象思维和现实世界的通道。它可以把抽象化的理论作用于现实，指导人类不断改造世界。更重要的，它把现实事物抽象化，从而探究宇宙万物的规律。由此看来，数学也是一种哲学。

潘宣余：我想人类世界的结构是方方面面的。为什么我们人类喜欢结构？因为结构带来了秩序。我们其实最喜欢的就是秩序。【降低熵值，正是人们的追求。】

王涛：大自然的很多事物，有时候就是和数学的这种秩序是如此地吻合。比如说冬天的雪花，那么它们是很完美的六边形或者六边形的衍生物。它们都是由自由相似的组成，那么在数学上叫做“分形”。

我们先不说这个概念，我们只说“相似”这个概念。那么数学上有相似，自然界也有相似，这难道仅仅只是巧合吗？

郭园园：就是大自然在进化过程中它很神奇，你就觉得它好像具备人类的思维一样。比如说向日葵，它种子结的时候表示出来的这种螺线、包括松果的螺线、包括花瓣的生长、树枝的生长，它都表现出斐波那契数列这种特殊的模式。

斐波那契数列，是13世纪的意大利科学家斐波那契通过“兔子问题”引申出的一种数列排布。

有一对小兔，它们两个月就可以变成可繁殖的大兔，大兔每月可以生一对小兔，一年之后会有多少对兔子呢？

这个数列是1、1、2、3、4、8、13......从第三项起，每一项都是前两项之和。

向日葵种子和松果的螺线，左旋和右旋的数量都是斐波那契数列；百合花有3瓣花瓣、梅花有5瓣、向日葵有21或34瓣、雏菊有34、55和89三种数量的花瓣。这些数字都复合斐波那契数列。

如果把斐波那契数列种的数字，后一项除以前一项，随着数字的增多，这个比值越来约接近于1.61803。而1.61803和我们熟悉的黄金分割数关系密切【有趣！有趣！】。这些大自然与与数学之间的神奇联系，又在向人类暗示着什么呢？

【不但数学和自然界存在惊人的类似，其实很多学科之间和自然界之间、很多学科之间也存在着非常多的共性。譬如：

农民会在歇脚的时候，拿着锄头欣慰地看着眼前繁茂的作物想着，秋天到了，会“种瓜得瓜，种豆得豆”；

文学家翻阅过历史长河中的种种人事，颇有感慨地写下“爱出者爱返，福往着福来”；

数学老师，会强调可以利用“等价原则”，把式子的一种形式变换为另外一种形式；

而物理学家，则大手一挥，给出了“能量守恒定律”。】

潘宣余：所以如果当我们需要理解自然界的事情的时候，我们第一个想的事情，就是我们能不能将自然界的许多现象数字化？

韩文：数学就是这样，它其实彼此之间也许可能都没有交集，然后（数学家）在做着一些你无法理解甚至数学家互相之间也无法理解的事情。但是它们的共性，我觉得都是在寻找规律，并且去解释现实中的问题。

（二）数学与艺术

1、数学与音乐

数学与音乐存在某种惊人的共性。

付晓东：毕达哥拉斯，他把一根琴弦平均地分成1/2段、1/3段、1/4段，由此得出来这个世界的和谐的比例是1：2：3：4。那么在这个过程里面，我们就产生了声音里面最重要的四个音，就是1、4、5、1。

熊立群：古琴的13个徵，它都是通过数学的这种计算而来的，从而确定每个音的音高，就是有效弦长的1/2处，所以来确定7徵的位置。那么其他的徵位，也是按照比例的不同来确定它的位置。

韩文：音乐就是sin函数，正弦函数，因为它是波。我们能够听到的每一个音符的振动，就是不同的sin波。那你不同的音乐里面，对于你的音乐的组成，本质上就是一堆正弦函数的组成。

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