数学：确定性的丧失（三）

因此，数学家们只能得出这个令人沮丧的结论：数学中没有真理，即作为现实世界普世法则意义上的真理。算术和几何基本结构的公理是受经验启发得出的，因而这些结构的适用性是有限的，它们在哪里是适用的只能由经验来决定。希腊人试图从几条自明的真理出发和仅仅使用演绎的证明方法来保证数学的真实性被证明是徒劳的。

对许多富有思想的数学家来说，数学不是一个真理体系这一事实实在是难以接受。似乎上帝想用多种几何和代数来使他们困惑，正如他曾用不同的语言困惑了建筑巴别塔的人们那样。因此他们拒绝接受这些新的发明。P89

1921年爱因斯坦给出了关于数学与物理世界的关系的精彩的叙述：只要数学的命题是涉及实在的，它们就不是可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在。……但是，另一方面，作为一般情况的数学和作为特殊情况中的几何，它们的存在是由于我们需要了解真实客体的一些性质。

数学并不是一个真理体系这一认识确实振聋发聩。让我们首先看一个数学作用于科学的结果。从伽利略时代开始，科学家们就认识到，科学中的基本原理与数学原理相反，必须来源于实践。尽管两个多世纪的时间里他们相信他们所发现的是自然界的设计之中所固有的，但是到了19世纪初他们认识到科学定理并不是真理，甚至数学的原理也是来源于经验而且并不能肯定它们的真实性。这一认识使科学家们意识到只要他们使用数学的公理和定理，他们的理论就更加脆弱。自然法则是人的创造物，是我们，而不是上帝，才是宇宙的法则制定者。自然法则是人的描述而不是上帝的命令。P92

正如W·詹姆斯所说：“人的智力生命几乎完全取决于他的理性知识取代其感性知识的程度。我们的经验正是来自于这样的感性知识。”而这种理性知识并不是感性知识的真实表述。

人的精神支柱、推理框架以及所有已建立的思想权威都随真理的丧失而失去了，“人类推理的骄傲”随着真理大厦的坍塌而崩溃了。历史的教训是，我们最坚定的信念不是凭主观所作出的论断。事实上它们是最不可信的，它们标示的不是我们的成功而是我们的局限性。P94

然而，在这一领域的发现却令人吃惊：他们曾一直认为是高度逻辑化的科学实际上完全是不合逻辑地发展着的。

亚里士多德指出：对某一概念的定义必须用已知的概念来描述，因为不可能有无源之水。所以他断言，必然有未定义的概念做为开始。P96

对于这一缺陷有两种可能的解释，一种可能是欧几里得未必赞同必须有未定义概念；另一种可能是像他的一些支持者所说的，他意识到了一定会存在未定义概念。他只是希望，他的原始定义能给出它们所定义的概念的直观意义，由此即可判断他们所遵循的公理是否正确的了。然而，即使是后一种情况，欧几里得也不应该把这些定义放到他的正文中去。但无论欧几里得的目的是什么，实际上从他以后，两千多年来追随他的数学家们都无一例外地忽略了未定义概念的必需性。帕斯卡曾在《几何精神论》（1658年）中要求人们注意这种必需性，但他的提醒未被人们所理睬。

欧几里得的公理是一种什么样的情况呢？他可能是依据亚里士多德的观点，阐述了五条可普遍应用于推理的公理，和五条仅用于几何学的公设。第一条公理是说，等同于同一事物的事物彼此相等。欧几里得把“事物”这个词解释为长度、面积、体积和整数。当然，“事物”一词未免过于模糊。另一个使人误入歧途的公理是这样的：彼此重合的事物是相等的。他运用这一原理证明两个三角形全等，因为他认为通过将一个三角形放在另一个三角形之上，加上另外一些给定的条件，可以发现这两个三角形是一致的。但是，在将一个三角形放在另一个三角形上面的过程中他必须移动这个三角形，而在这一过程中他假定了运动中三角形不改变性质。实际上这个公理就是说，我们所处的空间是各向同性的，也就是说，无论放在哪，图形的性质始终不变。这或许是一个合理的假设，但却是一个额外的假设。除此之外，运动的概念定义中也没有涉及到。

另外，欧几里得还运用了大量他没有阐述的公理。高斯注意到这样一个现象，欧几里得提到了位于其他点之间的点和位于其他线之间的线，但是他却没有解释“位于之间”这个概念和它的性质。显然，欧几里得将他头脑中的几何图形引入了他的推理并取代了实际图形所具有的特性，但是并没有在公理中体现出来。图形是一种帮助思考和记忆的手段，但它不能做为推理的基础。欧几里得还用到了另外一个没有明确提出的公理，涉及到专业上称为连续性的问题。莱布尼茨注意到了这一点，欧几里得用到了这样一个事实：A，B两点分别位于线l的两侧，连接A，B两点的线必然和l有一个公共点。在图上当然是很明显的，但是并没有任何公理能够保证这个公共点必然存在。我们甚至不能说线l的两侧，因为这也需要公理作为保证。P98

这个特殊的公式是很了不起的，古希腊人认为三个以上的数的乘积是没有意义的，因为这一乘积没有任何几何意义，而海伦却没有这一种顾虑。在亚历山大里亚希腊人发展的许多纯科学和应用科学中，如历法推算、时间测量、航海、数学、光学、地理学、气体动力学和流体静力学中，无理数被人们随意地使用。P102

从现今的角度出发，和自由使用无理数同样值得注意的就是埃及和巴比伦代数独立于几何的复兴。其杰出代表是海伦和另一个亚历山大里亚希腊人丢番图。他们都将算术和代数独立处理，而不依靠几何引出或依靠几何做为逻辑依据。P103

就算术和代数来说，海伦和丢番图，阿基米德和托勒密的著作读起来就像埃及人和巴比伦的程序化的课本，只告诉我们如何去做。欧几里得、阿波罗纽斯和阿基米德几何的那种有条不紊的演绎证明全然不见了。所解的问题，都是归纳性质的，就是说他们所指明的解具体问题的方法，虽或能应用于一般性的一类问题，但并未规定应用的范围能有多广。各种不同类型的数，整数、分数和无理数（除了欧几里得关于整数的不完善的工作外）都没有确切的定义，也没有一套公理基础来建立演绎结构。

因此，古希腊人留给后人两门截然不同的、发展得不一样的数学分支。一方面是演绎的、系统的、但有些缺陷的几何，另一方面则是经验算术及其延展代数。考虑到古希腊人要求由清晰的公理基础推论得到数学结果这样一个事实，而独立的算术和代数却没有它自己的逻辑结构，因此其出现成了数学史上一个巨大的反常现象。P105

但是在印度人随意地把那些适用于有理数的步骤运用到无理数的过程中，数学却取得了进展。此外，他们所有的算术都是完全独立于几何的。P106

概而观之，印度人注重的是算术和计算方面，而不是演绎结构。他们将数学称为ganita，意思是计算的科学。P107

一方面斯蒂费尔说：

由于在证明几何图形的问题中，当有理数行不通时，无理数取而代之，并且完全证明了有理数所不能证明的结果，……因此我们感到不得不承认它们的确是数，也就是由于使用它们而得到的结果迫使我们必须承认，这些结果在我们看来是真实、可靠和恒定的。另一方面，别的一些考虑又迫使我们全然否定无理数是数。也就是说，当我们想把它们数出来（用十进制小数的形式）时，……却发现它们无止境地往远跑，使我们没有办法准确地捕捉住任何一个无理数本身。……而本身缺乏准确性的特点，使之不能被称作真正的数。……因此，正如无穷大不是数一样，无理数也不是真正的数，而是隐藏在一种迷雾后面的东西。P110

卡丹给出了方程的负数根，但认为是不可能的解，而仅仅是一些记号。他把负数根称为虚构的，正根称为真实的。

庞贝利假定在实数和直线上（给定单位长度）的长度存在着一一对应关系，他还定义了长度的四则基本运算，他认为实数及其运算已通过这些长度及对应的几何运算进行了定义。这样一来，实数体系就在一个几何的基础上合理化了。斯蒂芬也把实数看作是长度，他相信，通过这样的解释，无理数的困难也可以迎刃而解了。P112

在欧拉的《对代数的完整介绍》（1770年）一书中，他证明了减-b的运算等于加b运算，因为“免除负债即意味着奉送礼物”。他还证明了(-1)×(-1)=+1，因为其积必为+1或-1，而他已经指明1×(-1)=-1，那么(-1)×(-1)必为+1。P115

尽管以往曾有人零星和偶然地用到了字母，但韦达是第一个有意识地系统地使用字母的人，字母的主要的新用途不仅是用于表示未知量或未知量的幂，而且用以表示一般的系数。

韦达将其新型的代数叫做类型计算，以区别于数字计算，他完全清楚当他研究一般二次方程αx²＋bx＋c＝0 时，他所处理的是整个一类的表达式。在他的《分析艺术引论》（1591年）中区分类型计算和数学计算时，韦达划分了算术与代数的界限。P119

第二个将代数推向前台的创举是运用代数公式表示函数，正如我们所知的那样，伽利略引入了用公式描述物体运动的思想。P120

直到1750年，人们才得以放心大胆地运用代数。此时，代数已是一棵枝繁叶茂的大树，但它却没有根。数系和代数学的发展形成了鲜明的对比，几何学是公元前300年前用演绎的方法建立起来的，后面我们将看到几何中的几个瑕疵也易于纠正。但算术与代数学却怎么也找不到逻辑基础，这样看来，缺少逻辑基础，势必会困扰所有的数学家。P122

到17世纪末，数和代数学已被认为是独立于几何而存在的。数学家们为什么没有致力于逻辑上的发展呢？既然有像欧几里得《原本》中所包含的几何的演绎推导结构这样的样本，那么，数学家们又为什么没有发展一个数和代数的演绎推导结构呢？这是因为几何的概念、公理和原理从直观上看，远比算术和代数的易于接受，画图（在几何中称为作图）可辅助解释结构。但无理数、负数和复数的概念却微妙得多，即使可以得到图形，也无法解释数字作为数和建立于数系基础上的字母表示法的逻辑结构。P123

这些表达式，尤其是最后被大家所接受的那个，应归功于费马。下面我们计算一个下落的小球在第四秒时的速度。这个小球的运动状态可用：

d＝16t²

描述。当t=4时，d＝16 × 4²＝256 ，设任意一个时间增量是h，在第(4+h)秒时，小球会下降256英尺加上距离增量k，有

256＋k＝16(4＋h)²＝16(16＋8h＋h²)

或

256＋k＝256＋128h＋16h²

两边都减去256，得：

k＝128h＋16h²

在时间h秒内的平均速度为：

k 128h＋16h²

─＝───── （2）

h h

幸运的是，费马用了这样一个简单的函数而且认为可以在上式右边分子、分母同除以h，这样就得到了：

k

─＝128＋16h （3）

h

然后，他令h=0，得到：

·d＝128

作为第四秒时的下落速度（符号 ·d 是牛顿发明的）。这里的 ·d 就是函数 d＝16t² 在t=4秒时的导数。

推导的问题在于：开始，h不为零，所以才能进行分子、分母同除以h的运算，即前式只有在h ≠ 0 时才正确，这样就不能令h=0而得出结论。而且，对于 d＝16t² 这样简单的函数，（2）式可以简化为（3），而对于更复杂的函数，我们只能导出类似于（2）式的结果，这样，当h=0时，k/h就是0/0，这是没有意义的。P127

在1689年刊于《教师学报》的一篇文章里，莱布尼茨说无穷小量不是真实的数，而是假想的数，但是，他宣称这些假想的或理想的数服从于通常的规律。P134

到这时为止，莱布尼茨表明他的微积分只用到通常的数学概念，但是由于无法使他的批评者满意，他提出了一个称为连续性原理的哲学原理。这个原理实际上和开普勒早已阐述过的几乎一样。在莱布尼茨研究微积分学的早期，1678年3月19日给H·康林（Herman Conring）的一封信中说，这个原理断言：“如果一个变量一直具有某一性质，则其极限也具有同一性质。”

在1687年给培尔（Pierre Bayle）的一封信中，莱布尼茨更充分地表述了这个原理：“在任何假定的向任何终点的过渡中，允许制定一个普遍的推论，使最后的终点也可以包括进去。”P135

当然，他说，绝对相等的东西总有一个绝对是无的差别：

然而，一个过渡的状态或者一个消失的状态是可以设想的，其中实际上仍然没有出现完全的相等或静止，……而是进入这样一种状态，即差小于任何给定的量，在这种状态下，还得留一些差，一些速度，一些角度，但他们每个都是无穷小。……

是否这样一个从不等到相等的瞬间过渡……能够保持在严密的或者形而上学的意义中呢？或者无穷大的扩展会越来越大，或者无穷小的扩展会越来越小，这是合法的考虑吗？目前，我承认这可能尚未解决。……

如果当我们说到无穷大（或者更严格些说，无限制的大）或者无穷小量（即在我们的知识中是最小的）时，就理解为我们意味着无限大的或者无穷小的量，即要多大就多大，要多小就多小，使得任何人得到的误差可以小于某个指定的量，那就足够了。

在这些假定下，我们在1684年10月的《教师学报》中列出的算法的全部规则，都能够不太麻烦地予以证明。

P136

莱布尼茨虽然比牛顿对批评敏感，但却不如牛顿严谨，莱布尼茨认为对他的做法最终验证取决于其有效性。他强调他所创造出的东西的程序性或算法上的价值，在某种程度上，他确信只要他能清楚地表述并且恰当地运用他的运算法则，就可以获得合理的，正确的结果，而不论所涉及的概念的意义是多么模糊。他就像笛卡尔一样地富有远见卓识，他看到了新思想的深层内涵，毫不迟疑地认为一门新科学即将诞生。P137

拉格朗日批评牛顿的方法时指出：关于弦与弧的极限比，牛顿认为弦与弧不是在它们消失前或消失后相等，而是当它们消失时相等。拉格朗日正确地说明：

此方法有很大不便，即它把所考虑的量不再是量的状态下，仍看作是量。因为对两个量，只要它们还保持有限，就总可以适当地构想出它们的比，可一旦它们都变为无，这个比在我们脑海里就不再提供任何清晰而明确的想法了。P146

皮科克声称极限理论令人难以接受，因为它把微分的原理与代数分割开来，赫歇尔和巴贝奇也同意这种观点。P148

18世纪的思想家们所采用的的论据的一个奇怪的特点是它们求助于形而上学，人们用它来暗示数学领域之外还存在一个真理体系，如果需要的话，可以用它来检验他们的工作。虽说它究竟是什么还不清楚，但应用形而上学意在给那些不为推理所支持的论点增强可信度。因此，莱布尼茨宣称形而上学的用处比我们认识到的要多。他把1/2作为级数1-1+1-……的和的证明和他提出的连续性原理，都只不过重申了上述观点。它们被“证明”是形而上学的，仿佛这样就不容置疑了。欧拉也求助于它，认为在分析中也必须默认它，当17、18世纪的数学家们不能为一个观点提供更好的证明时，他们就惯于说这其中的理由是形而上学的。P150

噢，上帝，为什么二加二等于四？——亚历山大·蒲柏P151

威廉·弗兰德（Willian Frend），笛·摩根的岳父，曾就读于剑桥大学的耶稣学院，在他的《代数原理》（1796年）序言中直率地宣称：

用一个数减去比自身大的数是不可理解的，然而许多代数学家都这样做，他们称小于零的数为负数，认为两个负数相乘，其结果为正数。他们提出每一个二次方程都有两个根，这一点，初学者在任一给定的方程均可验证。他们用两个不可能存在的根使得一个方程可解，并试图找出一些不可能存在的数，这些数自身相乘后，得到单位元素1。所有这些都是荒诞不经的，并为通常思维方式所排斥。但是，从一开始采用这些理论就像其他虚构的东西一样，拥有了许多坚定不移的支持者，这些人喜欢对新生事物笃信不疑，对正统思想却深恶痛绝。”

弗朗德在此文中批评了方程根的个数与其次数相等这一普遍规律，认为它只适用于所有根为正的少数方程。对那些接受此规律的数学家，他说：“他们在努力找出方程所有的根，但实际上这是不可能的。为了掩盖自己所提出的规律的错误，他们不得不给一些数起一个特殊的名字。这样，至少在字面上可以使他们的规律看起来是正确的……”。P152

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