自然数体系的构造性原理（一）

一、自然数体系的符号组合之惑

自然数是最早出现在人类生活中的数，早期的自然数只能记数，后经漫长演变，形成了现在的既能记数又有算术功能的完备的自然数体系。从数的演变历史来看，很难想象现在的十进制自然数体系能有某种构造规律。然而，事实上确实可找出构造规律。换言之，即我们确实可以通过揭示的构造规律，系统化、程序化地构造出各种进制的自然数体系。

莱布尼茨虽然个人独立创造出了0、1二进制自然数序列，但是他并没有给出自然数符号体系的构造方法、原理。众所周知，当前的十进制自然数序列中，8，9的后继用1和0左右组合成的”10”，这样组合之所以未被质疑，并不是因为大家都知晓这样组合是基于了某种已明确了的构造原理，而是因为这样组合构造的自然数序列及数关系，被人类的生活实践验证为是正确的。譬如人们通过3个4相加的和与2个6相加的和相等，从而判定8，9的后继序列10，11，12等数的组合是正确的，所以就这么约定俗成固定下来了。至于为什么这样组合，组合的方法原理是什么，是否还有其它组合模式，至今未见学界有系统性的论述。

二、元序列是构造自然数体系的核心概念

不仅现今的十进制数体系有构造性规律，但凡完备的数体系，都有相同的构造规律。借助元序列及其衍生的组合码、元序列码、空位号等概念，可以直观解构自然数体系的构造性原理，理解了这三个概念，自然数符号体系的构造性原理并可一目了然。

2.1、元序列

不论何种符号、何种进制数的自然数序列，都可以通过“元序列”得以建构。

何谓“元序列”？指构造者为了构造一套数体系，用自主选择的两个或两个以上有限个数的符号，在一维空间上对它们的排列位置作定格后，所形成的一组静态的符号序列。构造者用这组符号序列，按一套固定的符号组合方法操作，并可通过符号组合构造出一套自然数体系来。

（提示:笔者在下文中用单书名号“〈〉”号把组成元序列中的符号括起，以及用下横线把这组符号序列连贯起来，作为对元序列及其一维性的标记。）

构造元序列是构造数体系的第一步，构造元序列的符号是广义的，实物、字符、图形等，但凡视觉上有封闭轮廓的形相物个体都是符号，都可以用来构造元序列。譬如用自然界中排成一排的“马”，“鸡”，“狗”，“牛”四个实物，以及一个表示序列起点或空位的任意字符“○”，就可以构造出一个元序列〈○，马，鸡，狗，牛〉，基于这个元序列，按照本文第三章节给出的自然数符号体系的构造方法、原理，就可以组合构造出一套五进制的数体系。

元序列符号是构造自然数符号体系的物质材料，也是产生自然数个体的母体，自然数的一切性质皆源于元序列，元序列的性质特征、功能体现在以下几个方面。

2.1.1、元序列中的打头号必须是空位号、起点号

我们知道，自然数符号体系中既有表示数量“无”的符号，也有表示数量“有”的符号[1]4且“有”的表达维度中，还存在着用单个符号表示的“有”，和用多个符号组合“虚构的有”的区别，因此我们有必要对元序列中的一些符号的内涵属性，作出必要的说明、解释。

本章节这里先对元序列中的表示“无”的自然数符号及其在自然数体系中的不可或缺性作出说明、解释：

中国先秦哲学家老子说过”万物生于有，有生于无”这句话，这句话一定程度上概括了人类的数量认知规律。分析表明，人类对数量变化的理解只能“从无到有，从少到多”[1]，4。或者反过来说，数量的变化只能“从多到少，从少到无”。这里需要举例说明:譬如8点时操场上空空如也，8:12时飞来2只麻雀，8:15时又飞来3只麻雀，8:17时一次性飞走了5只麻雀，8:18时操场又空空如也。以上陈述的三个量变过程，用自然数及其运算就可以很好地解释、表达:0+2=2；2+3=5；5-5=0。

上述可见，“空空如也”也是一种量的状态，显然应纳入到数量系统的符号体系。显见地，若没有表示“空、无”的空位号，以上自然事物的量变过程，我们就无法用数量语言具体描述。可见空位号对于一套完备的数量体系而言，是不可或缺的必要条件[2],272。

数序列的组合构造需要从元序列中的第一个符号开始，所以元序列中打头排列的符号必须是空位号，然后才是依次表示基数｛|｝，｛|，|｝，｛|，|，|｝，……的符号。

2.1.2、空位号的位置决定了元序列的结构与进位方向‬

元序列是数位上的位值的一维展开图，所以当我们开始用元序列构造数体系，首先要把元序列的左或右、上或下某个方向端点的那个符号设置为空位号，空位号方向是数体系的进制进位方向，空位号在元序列中的位置确定了，数体系的进位方向就明确了，数序列的展开方向也就明确了（与进位方向相反）。元序列一般是左右式结构，空位号一般设置在左边，譬如当前通用的阿拉伯数字的十进制数和0、1二进制数，空位号都设置在左边，所以是从右向左进位，数序列的展开方向则从左向右。玛雅数字（图2）的元序列是上下结构的，空位号设置在下方，所以是从上往下进位。中国八卦图中的二进制卦数的元序列也是上下结构，由于卦恰巧是用阴爻阳爻两个符号构造的，所以（图1）中的八卦数的空位号，设置在上或下都行，设置在上还是下，可由解读者自定义。

（图1），中国八卦二进制数。图中的八卦数的元序列是形似“二”样的上下式结构，从图中八卦数与十进制数的对应看，图中的八卦数是以阴爻为空位号的，即以全阴的坤卦为0（以“坤”为起点号），全阳的乾卦为7，是乾向坤的方向进位。若“逆数”[3]，以阳爻为空位号，以全阳为起点号开始构造数，“卦序的逆数从《坤》卦向《乾》卦“[3]，则全阳的乾卦为0，全阴的坤卦为7。

2.1.3、空位号的信息涵义是由它在元序列中的位置定义的

数序列的组合构造是从元序列中的第一个符号开始的，所以元序列中打头排列的空位号既是元序列的起点，也是数序列展开的起点，从这意义上，空位号也叫起点号。

通过上述（2.1.2章节）不难发现，空位号的性质、内涵是由它在元序列中的位置定义的，与空位号的视觉形态其实无关。所以印度婆罗门数字中的第一个数符号“◆”（见图3），以及玛雅数字中的第一符号“ ○ ”（见图2），都是有效的空位号，它们的信息意义与现在的阿拉伯数中的0是相同的。

（图2）玛雅数字

玛雅数字是20进制，其元序列是上下结构，空位号设置在下方。玛雅数的元序列是0～19二十个数位上的符号自下而上的依次叠加。可以把玛雅数的元序列想象成“一栋层楼高度不等的20层楼”。

（图3），印度婆罗门数字。其元序列是〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉。

2.1.4、元序列中的符号个数是数体系基底数的定义者

一般而言，元序列中有多少个符号，就能构造出多少进制的自然数体系，譬如0、1二进制数用0和1两个符号，所以是二进制；十进制数用0~9十个符号作为元序列构造的，所以是10进制。

这里需要解释一下:元序列在数系统层面上，是数位上位值态的一维展开图，所以数位上的位值样数，就是元序列中的符号样数。元序列中有多少种符号，数位上就能表达多少样的位值态。上文已充分阐释，数系统中空位号必不可少，所以数位上的位值样数是包括空位号在内的，所以十进制数数位上表示基数的值态实际上只有1～9九种，0、1二进制数的数位上，能表示基数的只有“1”。

2.1.5、元序列的每个符号都指代了一个唯一的集合及基数

自然数是通过一个一个表达位上的符号系统表示“基”（共几）或“序”（第几）信息的，虽然自然数个体的符号系统分为单符号态和多符号组合态的两类，但是这两类自然数在自然数序列上享有的占位权是同等的，譬如“5”和“5555”，这两个自然数的符号个数虽然不同，但是它们在自然数序列中的地位是平行的，都只享有一个表达位。因此，我们在思考自然数序列中的自然数个体时，要以表达位、表达系统为单位，要把单符号的自然数和多符号组合态的自然数都视为一个自然数系统。

自然数系统既能作基数用途表示“共几”，又能作序数用途表示“第几”，虽然在具体的应用语境中，任一自然数个体表示的信息内涵只能指向“基”或“序”之一，并不能同指，但是如果我们只是讨论自然数的一般性质，不涉及自然数的具体用途，也不妨把自然数的基数和自然数的序数合在一起统称为”自然数的基序”，这样在阐述自然数的一般性质时会方便很多。

自然数符号系统表示的基数内涵是如何产生的呢？传统上认为，是人们在生活实践中通过对实物个数与数符号及其读音的约定，逐渐创造了自然数系列。譬如用两只鸭子或两根手指头与数符号”2”及其读音”èr“作对应约定，用人的五根手指与符号5及其读音“w ǔ”作对应约定等。

先物结构主义代表夏皮罗认为:“结构先于对象存在”，“位置即对象”，“自然数的本质在于它是自然数结构中的位置”[4]，这几句话在本文这里可这么贯穿解释:“夏皮罗认为自然数序列的结构先于自然数个体存在；每个自然数系统表示的基数内涵，都来自这个自然数系统在自然数序列中的位置”。这里先搁置夏皮罗理论的缺陷不谈，仅就“结构先于对象存在”、“位置即对象”这两个命题的直觉所指来看，大体是符合实践事实的。

实践表明，自然数序列中的所有自然数个体所表征的基数内涵，都可以通过这个自然数系统与元序列起点号之间的空间位置关系推导得出。

例如在元序列〈○，马，鸡，狗，牛〉中，（对应的自然场景描述:某人走在一条0.5米宽的农村小道上，走到○位置时停了下来，他抬头看到前方依次伫立着一匹马、一只鸡、一只狗、一头牛），马相对起点号“○”的位置而言，显然是第“马”个元素物；鸡是第“鸡”个元素物；狗是第“狗”个元素；牛是第“牛”个元素。我们观察自然界中的一排树、一排房屋可知，在一维的符号序列中，由于每个符号系统只能占据一个排列位，所以自起点号到达序列中的某个序数符号系统的位置，期间遍历、累数过的符号系统的总个数是固定不变的，且这个总数能被“唯一的集合及其基数”指代。譬如在以上序列中，我们从“○”点到达“狗”点，历经、累数过的符号系统的个数，可以被这些元素构成的一个唯一的集合｛马，鸡，狗｝及其基数所指代。（解释:“唯一性”体现在这个集合的构成元素种类及其组合顺序上）。

显然，以上提出的用集合中最后那个元素（元序列符号）指代整个集合及其基数的方法论，逻辑上是严密的、可行的，因此我们认为:可以用“狗”指代集合｛马，鸡，狗）及其基数；可以用序符号“鸡”指代集合｛马，鸡｝及其基数；可以用序号“牛”指代集合｛马，鸡，狗，牛｝及其基数；可以用“马”指代集合｛马｝及其基数。

以上操作意图说明:我们用元序列中的符号指代集合，最终目的是为了用一个符号指代几个符号才能呈现的基数信息。譬如我们用元序列中的符号“牛”指代特定集合｛马，鸡，狗，牛｝，目的就是为了用“牛”这1个符号指代这个集合中的4个符号才能表示的基数信息，达到基数信息表达的高效性、经济性。

根据操作意图说明可见，呈现、统计集合中的元素总数才是我们的最后目的，所以为了表达方便，下文中我们可以把以上集合中的“实物”元素按一一对应法则换成等量的字符元素“|”，然后把元序列〈○，马，鸡，狗，牛〉中的每个序数符号系统可以指代的唯一基数集合及其基数重新表述为:序号“马”可指代基数集合｛马｝及其基数“|”；序号“鸡”可指代基数集合｛马，鸡｝及其基数“||”；序号“狗”可指代集合｛马，鸡，狗｝及其基数“|||”；序号“牛”可表征基数集合｛马，鸡，狗，牛｝及其基数“||||”，然后再进一步表示为数学式:马=|；鸡=||；狗=|||；牛=||||。

符号“○”是这个自然物序列的起点号，是人的视觉观察点位置所在，是序列中各符号位置的共同的参照点，所以“○”自己不指代任何序数或基数，它是它自身。

2.1.6、加、乘关系式表是通过元序列符号指代的基数建构的

找到了元序列中每个序号所指代的唯一基数后，我们并可以对这些符号作两两关系的“加法关系式”的建构。这里的“加法关系式”即我们熟悉的小学加法口诀表中的加法演绎式，十进制数的加法口诀表即0～9十个数两两之间的加法关系式表。

加法关系式表（部分）

○+马=马（|）；……

马+马=鸡（||）；马+鸡=狗（|||）；

马+牛=马○（|||||）；鸡+鸡=牛（||||）

鸡+狗=马○（|||||）；

狗+牛=马鸡（|||||||）；……。

部分关系式的来源解释:按本文给出的符号组合原理（详见第三章节），“马○”这个组合位于这个五进制数序列中的第“|，|，|，|，|”个（指最右的那个“|”），所以“马○”可指代基数“|||||”，这个基数恰好是“马”的基数“|”和“牛”的基数“||||”的累加之和，也是“鸡”和“狗”的基数之和，所以马+牛=马○=鸡+狗。

加法关系式表建构完毕后，我们再根据“m ×n”表示“n个m累加”的乘法理念，通过累加法，结合此数序列，一次性地建构出元序列所有符号两两之间的乘法关系式表（即乘法口诀表）。

（操作提示:为了表达的简略，下文中若基数“|”达到10个以上，就用（||…|）形式以及下角标数字作出标记。譬如“（||…|₈₅）”，意思是括弧内有85个“|”。）

乘法关系式表（部分）

……，鸡×鸡=牛；鸡×狗=马马；鸡×牛=马狗（||||||||₈）；狗×狗=马牛（|||||||||₉）；狗×牛=鸡鸡（||…|₁₂）；牛×牛=狗马（||…|₁₆）。

加、乘关系式全部构造完毕后，我们就可以用这套五进制的数体系记数或者做算术运算（减、除是加、乘的逆运算，不需要建构关系式表）。此五进制数与十进制数是同等完备的，运用这套五进制数作除法演绎，可得除法演绎式“马狗牛·马÷狗鸡=鸡·狗”[9] ，此式与十进制数的除法演绎式“44.2÷17=2.6”等价

通过构造实践可见，元序列各符号的位置决定了这个符号所能指代的基数，任一序数系统表示的基数信息，都可以通过各数位上的元序列符号指代的基数进行总基数计算，只要给出一组元序列，我们就能根据这个元序列的符号个数所对应的进制数，计算出用这种元序列构造的任一“自然数个体”(某种组合型态）所表示的基数，譬如在用〈上，中，下〉作元序列构造的三进制数体系中，“下中下上”这个三进制数与十进制数69是等价的，——即”下中下上”这个数，是元序列〈上，中，下〉从“上中”组合开始，组合、排列到“第69次”时所形成的组合型态（3³х2+3²х1+3¹х2+3⁰×0=69)。反之，我们也可以把任一十进制自然数转换为某种元序列的非十进制自然数，譬如随机给出一个十进制数“81”，这个数在元序列〈a，b，c，d，e〉的五进制数体系中，相当于组合型态“dbb”(5²х3+5¹х1+5⁰х1=81）；在〈东，西，南，北〉四进制数体系中，81则相当于组合型态“西西东西”(4³×1＋4²×1＋4¹×0＋4⁰×1=81）。

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