自然数体系的构造性原理（三）

4.3、自然数体系从有限向无限跃变的认识论解释

我们知道，理论上纯字符可以在纸张、电脑等二维面上沿着一维线无限次地组合排列下去（实际输写时可以一行一行上下衔接），所以我们可以在大脑中，把元序列中的三维或二维的实物符号统一作二维化处理，然后用二维化了的元序列符号在纸张平面上组合“虚构元素物”，从逻辑上无限延伸元序列的长度，把有限的元序列变成了无限序列。

不难发现，是符号组合法的巧妙运用，才使得数体系的构造摆脱了有限元素物对应有限数的困境，使得数体系实现了从有限到无限的飞跃。

本构造论不仅完成了对自然数体系的自然性溯源，也能解释为何自然数起步于有限个数的自然物，却能不受宇宙中的自然物基数的限制的原因，——因为我们人类不仅可以通过增加元序列符号，无限提高数体系的进制率，指数级地提高数符号的基数表达能级，还可以通过乘方法表示法无限增加数的位数，所以可以自由构造自然界中根本不存在的基数，譬如“1000⁹⁹⁹⁹⁹”这个大自然数（仅用了9个符号！这个大自然数若是100进制数的呢？），它表示的基数毫无疑问已远超过人类已知宇宙的量子数的总和（已知宇宙的粒子数≈3.28×10⁸⁰）。

4.4、本构造论的数学哲学意义

4.4.1、对“基数”概念的分类

我们知道，从作为个体的自然数系统在整个自然数序列中的物理占位看，序数系统仅是对自然数个体在自然数序列中的物理位置点的单指和标记，所以任一序数，不论其位数多么长，它在自然数序列中的那个物理位置点都是直观、自明的，并不具有抽象性。说明数学哲学经常谈论的“抽象数学对象”、“抽象实体”，在以自然数为对象时，实际上只能指“自然数的基数”。

这里应当进一步指出:数学语境中的基数概念抽象度是不同的，可分为两类:一类是可以被物理对象直观刻画的具体性的基数，例如“●●”、“|||”、“二”等；一类是有物理基础，但是又不能被物理对象直观呈现的抽象的基数，例如“有理数集合的基数”、“自然数集合的基数”、“超穷基数阿列夫零”等。显然地，以上所说的两种抽象度不同的基数概念是事实的，且这两种基数概念的内涵、外延都是明确的，因此我们认为可以把以上两种基数作进一步的逻辑分类及概念命名:把能被物理对象直观呈现的基数称作“物基数”；把有物理基础但又不能被物理对象直观呈现的基数称作“相基数”。

有了以上基数概念的抽象度分类（分类的意义可见于下文阐述中），我们就很容易明确在以“自然数”为抽象数学对象的讨论中，“抽象数学对象”、“抽象实体”究竟指自然数的哪个方面。显然不能指直观性的序数，只能指“基数”，——要么指可物理化例示的“物基数”，要么指抽象的“相基数”。另外还需指出:数体系的构造必须基于物理材料及空间，所以自然数符号指代、表征的基数是“物基数”，并不是抽象的“相基数”。

4.4.2、夏皮罗对“位置即对象”的解释是错误的

夏皮罗先物结构主义虽然正确指出了自然数符号系统表征的物基数，来自自然数系统之间的一维空间结构关系，但是夏皮罗并未认识到自然数的基数只能通过序数符号指代的原理。

夏皮罗直觉地认为”位置即对象”，他认为3+9之所以能等于12，是3、9、12三个自然数符号系统在自然数序列中位置的缘故[4]，说明他并未认识到3、9、12最初只能是自然数序列上的三个占位的序号、三个位置点，并不是这三个序数符号指代的物基数“|||₃”、“|||||||||₉”、“（||…|₁₂）”本身。从数体系的构造角度看，自然数序列中的任一自然数系统，只能先是序数系统，对序数系统作指代解码和进制解码后，完成了对这个序数符号系统的物基数信息的读取，这个序数系统才能成为物基数的表达系统。譬如“58”这个数，直观上我们并不能看出它表示的物基数，我们需要对58作指代解码和进制解码，——观察元序列〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉中各符号的位置顺序，知道符号“5”可指代唯一集合｛1，2，3，4，5｝及物基数“|||||₅”（原理见2.1.5章节），符号“8”可指代物基数“||||||||₈”，根据元序列的符号个数可知这是个十进制数，然后我们根据十进制数的倍率，把十位上的5指代的物基数“|||||₅”累加十批次，然后再加上个位上的符号8指代的物基数“||||||||₈”，把58分解成5×10+8，这样才完成了对序数系统“58”表征的物基数的读取。完成读取后，58才能成为一个基、序同体的自然数。

当然，这是从数体系的构造逻辑上说的，日常人们在使用自然数工具时，并不需要每次都对自然数符号系统作指代解码和进制解码，——我们很小时已一次性地完成了对阿拉伯数字的十进制数符号的指代解码（一般十岁之前就学会了加、乘口诀表，加、乘口诀表的建构就是基于符号指代物基数原理的，譬如4（||||）+2（||）=6（||||||）），在我们大脑记忆中，已不知不觉把各种物基数譬如五根手指、两只耳朵与其指代符号5、2划等号了。

数体系的使用者可以基、序不分，但是作为数体系本质的解释者并不能基、序不分，更不能误以为数体系的建构就是基、序同步，——用一个符号系统与一种物基数作对应约定的方法构造的。不难想到，假如我们直接约定令符号“2”及其读音与“||”划等号，约定令符号“3”及读音与“|||”划等号，…，约定令符号“☆”与“（||…|₁₁）”划等号，……，这样造数的话，越来越多、越来越大的物基数我们如何书写？越来越多的基数对应的符号样数，我们大脑如何能记得住？这样的造数理念也被人类几千年的数字史证明是错误的。诞生于公元前2000年前的罗马数（图6）、埃及数（图7）等古数体系，就是按这种理念构造的，所以这类数体系都存在相同的缺陷，不仅书写麻烦，且都没有现代的完备数体系中不可或缺的空位号数，——因为最小的物基数是“|”，用物基数与符号约定的方法造出的数体系，必然没有空位号数。

（图6）罗马数字

（图7）埃及数字‬

上述可见，用物基数与符号直接约定的方法并不能造出完备数体系，我们只能一方面用有限个符号按固定的组合规律，组合构造无限多有序且有规律的自然数序数系统；一方面采取强记住元序列号码的排列顺序以及各自指代的物基数的方法（譬如强记1～9十个符号在元序列中的位置以及这9个号码各自指代的物基数），通过对序数系统作指代解码和进制解码，读取序数系统各数位表征的物基数信息（元序列首位号不指代任何基数，仅指代“空位”）。这样才能构造出既能无限计数，又能作算术运算的完备数体系。

综上所述可见，“符号位置”只能产生序数系统，并不能直接产生数量属性的“数学对象”（物基数），夏皮罗依据冯诺依曼序数和策梅洛序数[4]，直接把序数符号3、9、12与它们各自表示的物基数划等号是错误的，用集合构造的冯诺依曼序数、策梅洛序数，并不能解释“数符号位置值”、“数符号组合”、“数符号指代”在自然数体系中的不可或缺性作用，不能解释多位数自然数表征的物基数是如何可能的。夏皮罗提出的“位置即对象”命题，虽然指出了自然数的部分自然性本质，但是论证、解释并不成功。

.4.3、本构造论对数学虚构主义是批判的

由于数学实在论未能解构自然数体系的构造性，未能从认识论角度指出“虚构的自然数”表征的物基数的真实性所在，所以数的实在性受到了各方的质疑。形式主义对数的实在性的质疑集中反映于一句话:“任意大基数的实在性是无法想象的”[6]；艺术虚构主义则认为“数学对象类似于作家笔下虚构出来的作品，数学对象就像小说中的虚构人物”[7]；“自然数是我们虚构出来的用来计算的，真实存在着的是宇宙中的具体事物的数量性质和关系，我们虚构的自然数可以与这些真实的具体的事物的性质数量与关系相对应”[8]。上述可见，在虚构主义看来，自然数体系与艺术品无异，是无物理对应性的人脑的想象、虚构。

在本构造论看来，符号组合“虚构”的只是序数符号系统，“虚构”的序数系统与与元序列中的序数并不存在逻辑上的断裂，而是一脉相承的，“虚构”的序数系统表征的物基数与元序列中的基数是同样实在性的，每个序数系统表征的物基数都有其物理来路。譬如自然数“10000000802”，从符号组合角度看；这个数是从“01”开始组合，组合到第”一百亿零八百零二”次时所形成的组合型态；从进制角度看，这个数是号码机（见图4）从“00000000001”开始，在“N0”按钮上物理按压了“一百亿零八百零二”次（物基数）所形成的读数（序数），也是号码机个位上的滚轮滚动过的总次数。

综上分析可见，自然数体系并不是虚构主义以为的无物理对应的虚构体系。不仅自然数的基数是实在性的，由自然数运算产生的有理数也都是实在性的，负数、有限小数、无限循环小数等是物基数的逻辑化“变形”（限于篇幅，不再深入），并不是人脑的无逻辑虚构。

五、结束语

本文从自然基础（事实）、符号学、进制理论、认识论等多个角度，对自然数体系的物理实在性、逻辑实在性作出了实事求是的解析、论证，为数学的实在性、科学性作出了辩护。另外，本构造论提出的符号组合方法论，是一种独立于进制理论的自然数体系解释论，对于自然数本质的解释更直观、更深刻。

参考文献：

[1]韩雪涛.数的故事[M].湖南:科学技术出版社，2014：p4、p5、p49

[2]柯资能.略谈易卦与二进位制——兼与魏安明先生商榷[J].自然科学史研究,2000(03):271-273.

[3]张西平.莱布尼茨和白晋关于二进制与《易经》的讨论[J].中国哲学史,2020(06):5-14.

[4]康仕慧,张汉静.数学本质的先物结构主义解释及困境[J].科学技术哲学研究,2013,30(05):11-18.

[5]叶峰.数学理论与虚构作品[J].科学技术哲学研究,2020,37(03):1-6.

[6]江怡.当代西方数学哲学中的实在论与反实在论[J].浙江学刊,2004(02):74-81.DOI:10.16235/j.cnki.33-1005/c.2004.02.008.

[7]康仕慧,郭贵春.论数学中的虚构主义[J].自然辩证法研究,2010,26(02):18-23.DOI:10.19484/j.cnki.1000-8934.2010.02.005.

[8]刘晓力，叶峰.当代数学哲学中的实在论与反实在论[R]，

[9]陈定学.自然数体系的符号学原理[Z].知乎， zhuanlan.zhihu.com/p/21...。

[10]陈定学.明确自然数符号体系的符号学原理及其意义[Z].

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