数学定理简介

哈恩-巴拿赫定理是泛函分析中的一个重要结论，它允许定义在某一子空间上的线性泛函扩展到整个向量空间中，从而确立了连续线性泛函的“充足性”。此定理的几何形式，分离超平面定理可以用来证明经济学中的第二福利定理。

布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed Point Theorem）

在很多领域中，不动点是稳定和均衡的代表，而不动点定理确立了具有特定性质的映射的不动点的存在性。布劳威尔不动点定理是一个非常常见的不动点定理，它不仅在拓扑和微分方程领域领域有深远影响，还对博弈论和一般均衡理论有重要应用。布劳威尔不动点定理处理的是函数的情况，而角谷不动点定理处理的是多值函数的情况，它是布劳威尔不动点定理的一个延伸结论。角谷不动点定理可以用来证明经济学中的一般均衡的存在性。

斯通-维尔斯特拉斯定理（Stone-Weierstrass Theorem）

维尔斯特拉斯近似定理说，定义在闭区间上的连续函数可被多项式函数任意接近地一致近似。斯通对于维尔斯特拉斯最初的版本进行了改进，他不仅将闭区间一般化为紧豪斯多夫空间，还将多项式一般化为满足一定性质的函数类，从而提出了斯通-维尔斯特拉斯定理。此定理为对难以处理的函数进行多项式近似提供了理论基础，为在各领域节省算力做出了贡献。

伽罗瓦理论基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）

伽罗瓦理论是抽象代数中的美妙的理论，它在群论和域论之间架起了一座桥梁。通过伽罗瓦理论，一些关于域的问题可以被转化为更容易理解的关于群的问题。本篇文章中的伽罗瓦理论基本定理，在一些特定和域和特定的群之间构建起一一对应关系，并且在所谓的正规域扩张和正规子群之间建立一一对应关系。

希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）

代数几何这一数学分支使用几何学语言研究多项式的零点，而希尔伯特零点定理确立了几何和代数的基本关系，从而构成了代数几何的基础。希尔伯特发现了某多项式集的零点和在某集合上为零的多项式集的对应关系，并证明了零点定理和其他重要的相关结论。

代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）

代数基本定理说，任意系数为复数的一元非常值多项式都有至少一个根，即复数域是一个代数闭域。它有非常多的证明方法：它可以用至少五种复分析的方法，至少两种实分析的方法，代数中的伽罗瓦理论，或者拓扑中关于基本群的结论来证明。有趣的是，尽管此定理叫作“代数”基本定理，却没有一种纯代数的证明方法，每一种证明或多或少都需要用到分析中的结论。

欧几里得定理（Euclid's Theorem）

欧几里得定理是一个古老而伟大的结论，它指出素数有无限多个。欧几里得定理有至少11种证明，所用到的工具包括但不限于梅森素数、费马数列、算术基本定理、点击拓扑、级数、容斥原理、勒让德公式、欧几里得引理、莱布尼茨公式和信息论。

四色定理（Four Color Theorem）

四色定理指出，我们总是可以对一个平面地图用四种颜色着色，使得任意两个有共同边界的区域颜色不同。四色定理是第一个用计算机辅助证明的定理。这个定理证明的复杂程度超乎想象。Heesch提出的想法是找出构型的清单。Appel和Haken找到了这样一个清单，它包含了大约1200个构型，且对于其中的某些构型，需要检验数十万种情况才能保证图的其余部分的四着色可以扩展到整个图。所以四色定理的证明成为了第一个无法用人力检验的证明，而只能求助于计算机的力量。

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