反函数定理和隐函数定理

定义在开集D ⊂ ℝⁿ 上的向量函数 f：D → ℝⁿ

若向量函数f 是一一映射，于是能确定一个定义在 f(D) 上的函数， f⁻¹：f(D) → (D)

将它称为函数f 的反函数，函数 f 及其反函数 f⁻¹ 显然满足

(f⁻¹◦f)(x)＝x， x∈D (1)

(f◦f⁻¹)(y)＝y， y∈f(D) (2)

定理23.17 （反函数定理）：设 D ⊂ ℝⁿ 是开集，函数 f：D → ℝⁿ 满足以下条件：

(i)在 D 上可微，且 f' 连续

(ii)存在 x₀∈D ，使 det f'(x₀) ≠ 0

则存在邻域U＝U(x₀) ⊂ D ，使得

1. f在 U 上是一一映射，从而存在反函数 f⁻¹：V → D ，其中 V＝f(U) 是开集

2. f⁻¹在V上存在连续导数 (f⁻¹)' ，且

(f⁻¹)'(y)＝(f'(x))⁻¹，x＝f⁻¹(y)，y∈V (3)

证：

二、隐函数定理

设X ⊂ ℝⁿ，Y ⊂ ℝᵐ，Ω＝X × Y ⊂ ℝⁿ⁺ᵐ，F：Ω → ℝᵐ，考察向量函数方程‬

F(x，y)＝0，x∈X，y∈Y (14)

若存在向量函数f：U → Y(U ⊂ X) ，当用 f(x)，x∈U 去替换方程 (14) 中的 y 时，能使方程 (14) 变成恒等式‬

F(x，f(x)) ≡ 0，x∈U (15)

这时称函数f 是由方程 (14) 所确定的定义在 U 上的隐函数

对上述含函数F ，当固定 y∈Y 时，它关于 x 的偏导数记为

F'ₓ(x，y)或DₓF(x，y)(为m×n矩阵) (16)

当固定x∈X 时，它关于 y 的偏导数记为

F'y(x，y)或DyF(x，y)(为m×m矩阵) (17)

定理23.18 （隐函数定理）：设 X ⊂ ℝⁿ，Y ⊂ ℝᵐ 都是开集，Ω＝X × Y ⊂ ℝⁿ⁺ᵐ （亦为开集）， F：Ω → ℝᵐ 。若函数 F 满足下列条件：

(i)存在 x₀∈X，y₀∈Y ，使得 F(x₀，y₀)＝0

(ii)F在 Ω 上可微，且 F' 连续

(iii)det F'y(x₀，y₀) ≠ 0

则存在在点x₀ 的 n 维邻域 U＝U(x₀) ⊂ X 和点 y₀ 的 m 维邻域 V＝V(y₀) ⊂ Y，使得在点 (x₀，y₀) 的 n＋m 维邻域 W＝U × V ⊂ Ω 内，由方程 (14) 惟一地确定了隐函数 f：U → Y ，它满足

1. y₀＝f(x₀)

2. 当 x∈U 时 (x，f(x))∈W ，且有恒等式 (15) ，即 F(x，f(x)) ≡ 0

3. f在U内存在连续偏导数 f' ，且f'(x)＝–[F'y(x，y)]⁻¹F'ₓ(x，y)，(x，y)∈W (18)

三、拉格朗日乘数法

设D ⊂ ℝⁿ是开集， f：D → ℝ，φ：D → ℝᵐ，n＝m＋r，并改用行向量记‬

x＝(x₁，· · ·，xₙ)＝(x₁，· · ·，xᵣ，xᵣ₊₁，· · ·，xᵣ₊ₘ)＝(y，z)，y∈ℝʳ，z∈ℝᵐ

现在讨论在条件φ(x)＝φ(y，z)＝0 (25)

限制下，求函数f(x)＝f(y，z)的极值。对于这个条件极值问题，它的朗格朗日函数为

L(x，λ)＝L(y，z，λ)＝f(y，z)＋λᵀφ(y，z) (26)

其中λ＝(λ₁，· · ·，λₘ)ᵀ 为朗格朗日乘数向量‬

定理 23.19 ：对以上所设的函数 f，φ 若满足条件

(i)f，φ在 D 内有连续导数

(ii)φ(x₀)＝φ(y₀，z₀)＝0

(iii)rank φ'(x₀)＝rank [φ'y(y₀，z₀)，φ'ᴢ(y₀，z₀)]＝m

(iv)x₀＝(y₀，z₀)是 f 在条件 (25) 下的条件极值点‬

则存在∧₀∈ℝᵐ ，使得 (x₀，∧₀) 是 (26) 式所设函数 L 的稳定点，即满足

L'(x₀，∧₀)＝[Lₓ(x₀，∧₀)＋Lλ(x₀，∧₀)]＝0 (27)

但因Lλ(x₀，∧₀)＝[φ(x₀)]ᵀ＝0 ，故 (27) 式等同于

Lₓ(x₀，∧₀)＝f'(x₀)＋∧₀ᵀφ'(x₀)＝0 (28)

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。