数学

虽然叫做悖论, 但其实是严格符合逻辑的, 这里的逻辑指的是集合论公理体系.

一个三维或者更高维 球面或者球体 存在一个分割, 使得 经过一些旋转和平移操作后 我们可以得到两个不相交的球面或者球体.

这个悖论(或者定理) 说明了, 不是所有的集合都是勒贝格可测集... 因为勒贝格可测集的测度是旋转和平移不变的, 但是球体的测度是 正的, 就是球的体积不是0, 如果所有子集都可测, 那么对球体的(有限)划分, 每一个子集做平移旋转之后的测度是不变的, 所以无论怎样我们不能得到两个球体的集合,说明一下, Banach-Tarski Paradox 的根本原因是群 SO(3)的一个特殊性质, 我们首先可以知道 SO(3)群是一个不可交换群, 但是 SO(2)和SO(1) 都是可交换群, 但是 SO(3) 不仅仅是一个不可交换群, 它还有特殊的子群, 叫做自由群(free group), 并且这个自由群的生成元素(generator) 可以是2, 3...或者可数个, 数目什么的不重要。

我们取 有两个生成元素的自由群, ＜a,b＞, 额, 先说一下自由群的含义,F{X}(一个包含X的群) 是一个基于 集合 X 的自由群, 那么 对于任何一个 群 G, 对于任何一个 X--＞G 的函数 h, 总能找到一个фₕ 是一个 从 F{X} --＞ G 的一个群同构(group homomorphism), 使得, h=фₕ 。ι，ι 是从 X --＞ F{X} 的 单射, 然后 F{X} 被定义为满足上述条件的最小群, 存在性由Zorn‘ Lemma 保证, 但是最小群并不是唯一存在的, 但是没有关系, 所有的最小群都是同构的。

从上述叙述中, 我们可以直接构造基于任何集合的自由群, 对于现在的情况, 一个基于两个元素的自由群的含义就是：

＜a,b＞(源)={所有含有α，b，α⁻¹，b⁻¹的有限长度字符串} , 这里面的 a^{-1} 和 b^{-1} 只是另一种符号罢了, 定义 1=空字符串, 群运算=字符串连接(就是把两个字符串连在一起变成一个字符串 比如 abaaabbbxbbbaba=abaaabbbbbaba), 如果字符串中含有比如说 (αα⁻¹) 就把两个字符删去, 然后, ＜a,b＞={所有能删去的字符都删去的有限长度字符串}, 上面定义的群运算的确是一个群运算, ＜a,b＞现在是一个群, 满足自由群的定义.

这个基于2个生成元的自由群有一个很给力的性质,

考虑：

F(a)={所有能删去的字符都删去的有限长度字符串, 字符串不是空的, 字符串第一个字符是 a};

F(b)={所有能删去的字符都删去的有限长度字符串, 字符串不是空的, 字符串第一个字符是 b};

F(a')={所有能删去的字符都删去的有限长度字符串, 字符串不是空的, 字符串第一个字符是 a'};

F(b')={所有能删去的字符都删去的有限长度字符串, 字符串不是空的, 字符串第一个字符是 b'};

I={k空字符串};

a',b' 表示α⁻¹，b⁻¹ 懒得总用那个不给力的公式编辑器了

上面5个集合是相互没有交集的, 而且它们的并集是 ＜a,b＞

然后我们 给力的发现,

a(F(b)+F(b')+I)=＜a,b＞

b(F(a)+F(a')+I)=＜a,b＞

+ 表示集合的并集.

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回到 SO(3), 存在a,b 是 SO(3) 的元素, 使得 ＜a,b＞ 是SO(3) 的子群. 这个性质是一个不是很容易证明的性质. 但是 SO(2) 是一个可交换群, 意味着所有的子群都是可交换群, 意味着所有的子群都不是自由群, 所以对于 SO(2) 上面的讨论是没用的.

三维的球面是一个集合, SO(3) 可以作用在这个集合上, 就是我们理解的旋转, ＜a,b＞ 子群就也可以作用在这个集合上, 考虑一个等价关系, 如果 x,y 是球面的点, x,y 等价意味着 存在一个元素 g 在 ＜a,b＞ 里使得 x=g(y), 这里面 g(y) 表示 y 经过由g定义的一些列旋转之后的球上的点. 可以看出来, 这是一个等价关系, 也就是说, 这个等价关系规定了球面的一个划分, 由选择公理, 从每一个划分的子集里面选一个元素, 这些元素组成集合 E

(a)=F(a)E

(b)=F(b)E

(a')=F(a')E

(b')=F(b')E

E

这五个子集的并集是整个球面,这五个子集是没有交集的然后我们这些子集做一个修改,把 E 集合并到 (a) 里面 构成一个新的(a)然后 观察 a( (a') ) ,这个集合 = (a')+(b)+(b') , 然后并入 (a) 得到 一个球面然后观察 b( (b') ) , 这个集合= (b')+(a)+(a') , 然后并入 (b) 得到一个球面所以 我们把一个球面分成了 4 份, 互不相交, 其中两份可以旋转, 就是 (a') 通过 a 旋转, (b') 通过b 旋转,到这里, 我们已经可以得到两个球面了, 如果你想要得到两个不相交的球面的话在经过一些平移操作就行了,到这里, 如果你想得到球体的话, 那就对球体分割成球面, 每个球面都可以有上述分割, 由于旋转操作实际上跟半径什么的不相关, 上述操作后可以得到两个球体.

到这里, 我们可以找到生成元更多的SO(3)的自由子集, 经过相似的操作之后我们可以得到更多的球面, 或者球体.

到这里, 我们可以找到 SO(n) n＞2 群的自由子群, 上述操作可以得到 n维 n大于二 球面或者球体的分割使得经过一些旋转之后得到多个球面或者球体.

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