（数学）七

数的本质

数是计量工具，本质上是以符号形式对现实世界的抽象认知，为适应人们在生产生活和探索自然与社会的计量需求中逐渐产生、完善。本章介绍了精度、数的本质等概念并举例分析，便于深入理解。

精度是反映测量结果与真值接近程度的量。它与误差成反比，可用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。测量值是相对值，真值是绝对值。当测量一个物理量时，比如长度，所测得的结果总是需要由两部分组成：一部分是准确值，一部分是误差。所以表示一个真值的方式是：真值=测量值+误差。即一个真值是由一个确定的部分（测量值/相对值）加一个不确定的部分（测量工具或测量方式所引起的误差）组成的。

在确定真值时还需要明确相对真假的概念，即：精度高的测量方式测出来的结果，相对于精度低的测量方式测量出的结果更真。用精度低的测量方式无法判断精度高的测量方式测量出来的结果的真假，反之则可以。比如，用一个精度为0.01米的尺子测量两个长度，精确部分分别为0.21米和0.25米，而用精度为0.1米的尺子再次测量，其精确部分均为0.2米。若使用精度低的测量方式，这两个长度是一样的，而使用精度高的测量方式，这两个长度是不一样的。测量的结果是否相等，取决于测量工具的精度。

那么数的本质是什么呢？

以实数为例，在数轴上，数是由有理数和无理数组成的，除有理数与无理数之外，其实数轴上的数应该还加一个数，这个数是一个概念，其既不是有理数也不是无理数，这个数是无穷。无穷既是一个数，因为可以参与数的运算，得出正确的结果，但其又不是一个数，因为不知道它具体是多少。所以数轴上的数，可以分为三种：有理数、无理数、无穷，接下来分别讨论这三种数的性质：

关于无穷和无理数，比较容易看到其不确定的性质或者不可知的性质；

关于有理数，比较容易看到其确定的性质或者可知的性质。

但无穷与无理数除了不可知的性质，亦包含了可知的性质，有理数除了可知的性质，其亦包含了不可知的性质。

因无理数和无穷无法精确知道其大小，用代号表示，如∞、√2、e、π等，如果一定要用有理数精确表达无理数，则只能是用有理数加一个误差来表示，如：

π=3.14±0.01，π=3.141±0.001，π=3.1415±0.0001，……

对于无穷，可以表示为任意一个数加无穷，无穷即是误差。即：

∞=1+∞，∞=100+∞，∞=12314+∞，……

以上为无理数与无穷的不可知的一面。

无理数与无穷除了不可知的性质以外，其亦有可知的性质。以π为例，π为一个圆的周长与直径的比值，不论这个圆是多大，还是多小，圆与直径的比值都是一个固定值，而不是变来变去，所以π包含其不变的性质。这种不变的性质是一定的，所以无理数虽然不可知，但其是存在的亦是固定不变的。

有理数与无理数及无穷相比，大多数情况看到的是关于有理数确定的部分或者可知的一面，一般认为，有理数都是可知的数，不仅能够精确表达出来，而且能够精确知道是多少。但事实上有理数亦有其不可知的一面。

以1米为例，从相对的角度来看，其是一个确定的长度，可以找到一个1米长的木棍，但从绝对的角度来看，其实并不知道1米是多少。如：能找出一个长度为1米的木棍（一点不能多、一点不能少）吗？答案是找不到。如果能找到，那就是精度不同，在某一个精度范围内可以找到，但是提高精度，就又发现不符合要求了。同理，随便找出一个木棍，能准确测量出它的长度吗？答案也是做不到。虽然知道有个长度是1米，但是永远无法找到一个精确的1米的实物。反之，虽然知道一个实物肯定有一个长度，但是永远无法精确知道具体是多少，如果要精确表示，只能由确定性部分和不确定部分（误差）来组合表示。

以1和π为例，1是有理数，π是无理数。但从本质来说，1和π是相同的，如果认为1可知，那么π也可知；如果认为1不可知，那么π也就是不可知的。为什么这样说？如果1是一个固定的长度，π本质上也是一个固定长度，在数轴上都是一个点，两者同为数轴上的点并没有本质区别，不存在一个点可知、另一个点不可知的情况。如果在数轴上的一个点可知，那么所有的点均应可知，如果数轴上的点不可知，那么所有的点均应不可知。

所以1和π在本质上都是一样的（都是一个确定的不变值），只是人为的分成了有理数和无理数，然后定义有理数是可知的，无理数是不可知的。总之，一个数不论无穷、无理数还是有理数，从绝对的角度来看都是既存在又不存在，既可知又不可知。从相对的角度来看数，则有理数是可知的，无理数是不可知的，与从绝对的角度来看数，并不冲突。

最后从另一个方面讨论数的相对与绝对。

以1为例，从绝对的角度来看，则一者，无穷也。

1是本质，形是无穷。除了1以外，

2-1也是1, -1+2也是1,3-2也是1，2^0也是1，3^0也是1，lg10也是1，等等，可以有无穷个形式的1，形式可以很简单，也可以很复杂，虽然从本质上它们都是相等的，但不同的形有不同的用途，在解题的过程中，有时需要乘以1，有时需要除以（2-1），有时需要乘以（-1+2），不同的形可以解决不同的问题。

从相对的角度来看，1永远是1，1不可能是0，也不可能是2，0和2是相对于1而言的。虽然1有无穷种形式，0也有无穷种形式，2也有无穷种形式，但0、1、2的本质是不一样的，1解决不了0的问题，也解决不了2的问题。

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