数学问题

素数表达公式不能用函数等等表示，若用函数等等表示素数，则只能是渐近公式，不能表示全部素数，连素数连续也表示不了，因素数与后继素数差值不定，若①有函数等等表示公式得到的两素数差值不定，则函数因变量与自变量取值不能有规律，因有规律则得到的素数差值一定，若②有函数等等表示公式得到的两素数差值一定，则无法确定素数是连续的，也就是说无法判断得到的两素数之间存不存在素数，从而导致怀疑公式的覆盖率全不全，即公式准确度！

但是，通过这么多年的、在几乎所有我感兴趣的数学领域的学习，我对数学整体也有了自己的认识。一句话，如果你看完那个超长的初等公式，再看完斯图尔特的点评，然后把这个或许是曾经有些许幻想的结论慢慢忘记，我一点都不感觉意外，这正是我当年走过的路！

知识有限再加上一位比较知名的数学家点评，作为数学初学者的你能说什么呢？而且，呵呵，等你看了那个公式，你就知道了，你想手动算一个素数都非常不容易，如果你好奇，公式的截图我放最后了。

现在我们从一个新的视角来评价这个公式，受众就是数学入门级的爱好者。期间会穿插《什么是数学》和《现代数学的概念》的内容，我先提前声明。

首先，这个公式的地位没有那么“差”，虽然斯图尔特说了，我们可以用某种“递归数列”去构造类似的公式，但是，那是在这个公式出生之后的事。

该公式的大致发展过程是这样的，当年希尔伯特给出了23个被称为希尔伯特问题的经典问题，它们的解决或者研究直接影响了整个20世纪的近五分之四的时间！其中的第十问题是就所谓的丢番图方程的解的存在性进行“机械”判定：我们想知道是否有某种通用的方法，对于任意给定的丢番图方程都能判定其解存在或者不存在。俄国数学家马蒂亚舍维奇在前人的基础上给出了“不存在”的证明，这个证明是如此有效的利用多项式，以至于该结论的副产品就是说存在一个有23个变量的素数生成公式，当这些变量都取整数时，该多项式正值的集合正是全体素数的集合！

当时这个信息是“令人震惊的”，斯图尔特的反应是：几乎不存在能显式表达这种多项式的方式，或者，我们最多有生成该多项式的计算机程序......

但是很快“奇迹”出现了，四个数学家用类似的方法生成了一个有26个变量的素数通项公式，而且它是显式的【文章最后那个公式，每个变量都独立地取全体自然数】。

这似乎有点“愚人节”的味道！26个变量正好对应26个英文字母，你确定不是某种玩笑？还真不是！于是那个公式产生的第一个游戏就是“找找看”，有的变量出现好几次，而有的只出现一次，比如s【你能找到它吗】。我们用记号F【26】表示这个公式。

很难相信，我当年真的看过这个素数的通项公式，我现在看的震惊程度比那时大，而且我知道原因——我对数学的理解比那时深刻。

下面我们做两件事：给出理想素数通项公式的解读，分析F【26】以及它的一个“悖论”。

很少有人会告诉你一个素数通项公式应该长什么样，但我可以很负责的说，F【26】确实不太好用，它的存在性比它的实用性更有历史意义。

一般来说，理想的素数的通项公式要具有以下几点：

1.如果有可能，我们希望它是初等的；

2.如果有可能，我们希望它是精确的；

3.如果有可能，我们希望它是位置序数的单变量函数。

我用的是“如果有可能”，这说明，我们一般不太可能每条都具备。条件1是说，它是初等的，这个包括微积分运算，如果是积分最好是黎曼的，即便是勒贝格的，我们也希望它的分析简单一些。当然，最理想的就是多项式的，F【26】就是这样的。因此，条件1它达标了。

条件2是说，它是精确的，意思是，我们不希望得到一个范围值，像求小于某个自然数的所有素数的个数那种间接的探寻方式，我们期望得到的结果就是某个素数。一旦得到的是范围值，那么对范围内的二次分析会带来新的问题。F【26】也满足条件2。

条件3是说，我们希望它是单变量的函数，而且是位置序数的函数，什么是位置序数？我们知道自然数集合是可数集合，可数集合的任何无穷子集都是可数的。欧几里得早就证明了全体素数是无穷的，因此全体素数是可数的，这意味它和全体自然数是一一对应的，那么用函数f:N→S实现这个一一对应【S是全体素数的集合】，就是条件3想要的。这是最理想的、最完美的素数公式！它表明你只要输入相应的自然数，那么与之对应的那个素数就通过f找到了，每个自然数就是该素数在素数集合的“位置序数”。

很多数学家都向这个模式努力过，著名的费马数［2＾(2＾n)］+1和欧拉的结果n²-79n+1601，后者强到能从1到79全是素数，真好奇道欧拉是怎么发现的，强者如斯，不愧是欧拉。F【26】不满足条件3。

对于F【26】，它的模式如下(k+2){1-M}——斯图尔特称该公式后面那么一大串多项式为怪物M。我们跟随他的记号。F【26】的性质一是：它的正数值的集合就是素数集！因此你要对26变量进行分配，让它们取某个自然数。那么你怎么判断得到结果是不是素数呢？其实我们有下面的一个明显的“矛盾”：

(k+2){1-M}显然是两个整数的积，但是素数的因数分解只有1和自己，你怎么保证当F【26】大于0时，它一定是个素数？

F【26】第二个性质就是：F【26】=(k+2){1-M}=素数，当且仅当M=0。这是它的发明者证明的定理。我们用它来解除“悖论”。

观察M，它虽然那么长，但其实是好几个整数的平方和。因此M≥0。又因为(k+2){1-M}为正，当且仅当{1-M}＞0，两者结合M只能等于0。用性质二，M=0时，F【26】=(k+2)，它是素数，这样它就是不是两个表达式的积了。

结束：这个公式能生成全体的素数是毫无疑问的，它确实是素数的通项公式，唯二的遗憾：它不是位置序数的单变量函数；这个多项式作为函数，其像集也不只是素数集，它只是全体正值的集合对应全体素数【这个其实可以不算遗憾，只是我们吹毛求疵了】。你要赋予这26个变量各种值，然后检查M是否为0，这不是什么简单的工作。我自己只算过一个赋值，就是变量都为0的情况，{1-M}=-9414，M不为0。你要愿意，可以自己赋值，看看怎么搭配能得到一个素数。

另外，从斯图尔特的评论来看，这显然只是这类公式的某一个，我们能非常确定的是，我们可以得到非常复杂的、初等的、多项式的且生成全体素数的公式，但是这些公式没能展现素数的特性，这是我们对它们兴趣降低的主要原因。也正是因为这个原因才显得素数计数公式非常重要、黎曼的ζ函数非常重要，它们虽然不能直接生成所有素数，但是它们在体现所有素数的分布或者某种数学性质，至少现在看来，这是F【26】这种公式不能比的。

（k+2）{1 – [ωz＋h＋j – q]²

–[（gk＋2g＋k＋1）（h＋j）＋h – z]²

–[2n＋p＋q＋z – e]²

–[16（k＋1）³（k＋2）（n＋1）²＋1 – f²]²

–[e³（e＋2）（α＋1）²＋1 – ο²]

–[（α² – 1）y²＋1 – x²]²

–[16r²y⁴（α² – 1）＋1 – u²]²

–[（（α＋u²（u² – α））² – 1）（n＋4dy²）＋1 – （x＋cu）²]²

–[n＋l＋υ – y]²

–[（α² – 1）l²＋1 – m²]² – [αi＋k＋1 – l – i]²

–[p＋l（α – n – 1）＋b（2αn＋2α – n² – 2n – 2）– m]²

–[q＋y(α – p – 1)＋s(2αp＋2α – p² – 2p – 2） – x]²

–[z＋pl（α – p）＋t（2αp – p² – 1）– pm]²}.

F【26】的显式表达式

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