数学理论（一）

首先声明：我把这些公式写在这里，希望这些公式能够得到数学界的审视和认可，我确信这些公式正是陶哲轩、张益唐等专业人士孜孜以求的素数分布新理论，其中关于孪生素数的分布公式即数学史上著名的哈代-李特尔伍德猜想也被称为强孪生素数猜想，它是由素数分布公式q=er衍生出来的无穷个分公式之一，总而言之，公式q=er具有简洁精准谐和递进等数学特征，能够诠释深层次的素数分布状态，期待大家尤其是数论工作者们检验、接力.

以下公式推导的理论依据及系数的计算方法可参考《素数分布之道》，该论文的核心数学思想是自然数集的子集与自然数集之中的元素成为素数的能力强度能够进行参照，并得出参照值r，同时定义能量和e，结合素数定理推出深层次的素数分布公式q=er.

公式q=er能够衍生出无穷多个分公式.

直接上干货，以下列举三种类型的分公式.

类型一：s以内加u₁加u₂…加uₙ型素数链(即间距依次为u₁、u₂…uₙ的素数组合)数量分布的计算公式是q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

序列U={u₁，u₁+u₂，… u₁+u₂…+uₙ}中的元素除以任意的素数p，所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.

[n∈N+,uᵢ为正偶数(i=1,2…n)；

n、uᵢ确定时,cₙ为常数；

s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算]

例①、

s以内加2型素数链(即孪生素数,例5,7)数量分布的计算公式是q=er=1.32s/㏑²s.

(此即著名的哈代-李特尔伍德猜想同时也被称为强孪生素数猜想，系数1.32≈1.3203236…)

例②、

s以内加2加4型素数链(例5,7,11)数量分布的计算公式是q=er=2.86s/㏑³s.

(系数2.86≈1.32*2.165)

例③、

s以内加2加4加2型素数链(例5,7,11,13)数量分布的计算公式是q=er=4.15s/㏑⁴s.

(系数4.15≈1.32*2.165*1.451)

例④、

s以内加u₁加u₂…加uₙ[n=15,uᵢ=2i(i=1,2…n)]型素数链(例17,19,23…257)数量分布的计算公式是q=er=c₁₅s/㏑¹⁶s.

(系数c₁₅=15个参照常数之积=常数)

类型二：s以内集合X={x|x=kₘaᵐ+kₘ₋₁aᵐ⁻¹…+k₁a+n,(a∈N)}中素数数量分布的计算公式是q=er=rₙk/㏑s.

(m、kₘ∈N+,n、k₁…kₘ₋₁∈Z)

(m、kₘ、n、k₁…kₘ₋₁确定时，rₙ为常数，k表示s以内集合X中正元素的数量，s较小时，用㏑s-1.08代替㏑s计算)

例①、

s以内集合X={x|x=a²+1,(a∈N)}中素数数量分布的计算公式是q=er=1.37√s/㏑s.

例②、

s以内集合X={x|x=a²+2,(a∈N)}中素数数量分布的计算公式是q=er=0.71√s/㏑s.

例③、

s以内集合X={x|x=a²+a+1,(a∈N)}中素数数量分布的计算公式是q=er=1.56√s/㏑s.

例④、

s以内集合X={x|x=3a²+2a+1,(a∈N)}中素数数量分布的计算公式是q=er=0.82√s/㏑s.

(系数0.82≈0.71*2/√3)

类型三：s以内以集合X={x|x=kₘaᵐ+kₘ₋₁aᵐ⁻¹…+k₁a+i,(a∈N)}中的元素

为首项的加u₁加u₂…加uₙ型素数链数量分布

的计算公式是q=er=rₙk/㏑ⁿ⁺¹s.

(m、n、kₘ∈N+,i、k₁…kₘ₋₁∈Z)

(m、kₘ、i、k₁…kₘ₋₁、n、u₁、u₂…uₙ确定时,rₙ为常数,k表示s以内集合X中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

例①、

s以内以集合X={x|x=a²+1,(a∈N}中的元素为首项的孪生素数(例5,7)数量分布的计算公式是q=er=2.92√s/㏑²s.

(系数2.92≈1.37*2.13)

例②、

s以内以集合X={x|x=a²+1,(a∈N}中的元素为首项的加2加4型素数链(例5,7,11)数量分布的计算公式是q=er=11.2√s/㏑³s.

(系数11.2≈1.37*2.13*3.83)

例③、

s以内以集合X={x|x=a²+1,(a∈N}中的元素为首项的加2加4加2型素数链(例5,7,11,13)数量分布的计算公式是q=er=9.8√s/㏑⁴s.

(系数9.8≈1.37*2.13*3.83*0.877)

例④、

s以内以集合X={x|x=a²+1,(a∈N}中的元素为首项的加u₁加u₂…加uₙ

[n=15,uᵢ=2i(i=1,2…n)]型素数链

(例17,19,23…257)数量分布的计算公式是q=er=r₁₅√s/㏑¹⁶s.

(系数r₁₅=16个参照常数之积=常数)

如果说上面的公式是在化整为零，不断细分，那么下面的检验则是在化零为整，连续总和.

接下来从整体上对上面的公式进行检验.

(感兴趣的朋友可以选择单个公式检验)

检验一：

令s以内加i型素数链数量分布的计算公式是q=er=rᵢs/㏑²s.

{i为奇数时,rᵢ=0；

i=2ⁿ(n∈N+)时,rᵢ=1.32；

i为偶数且存在奇素因数d₁,d₂…dₓ时,

rᵢ=1.32[(d₁-1)(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)]；

s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算}

经粗略计算：r₁+r₂+r₃…+r₃₀=28.95，r₁+r₂+r₃…+r₆₀=58.46.

分析：s以内的素数数量为s/㏑s，这些素数分别加上1、2、3…30能够生成30s/㏑s个自然数，s以内素数的分布密度是1/㏑s，因此，这些生成的自然数中素数的数量(允许相同)接近等于30s/㏑²s.

同样地，s以内的素数分别加上1、2、3…60生成的自然数中素数的数量(允许相同)接近等于60s/㏑²s.

又，28.95/30=0.965，58.45/60=0.974.

经分析，rᵢ值存在特定的周期性的变化规律，当i＞60时，rᵢ能够满足：r₁+r₂+r₃…+rᵢ≈i.

由此可见，公式q=er=rᵢs/㏑²s能够描述加i型素数链在自然数中的分布状态.

令s以内加2加i型素数链数量分布的计算公式是q=er=1.32rᵢs/㏑³s.

{i=2x+1、6x+2(x∈N)时,rᵢ=0；

偶数i、i+2(i≠6x+2)不存在大于3的素因数时,rᵢ=2.165；

偶数i、i+2(i≠6x+2)存在大于3的素因数d₁,d₂…dₓ时,rᵢ=2.165[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)]/[(d₁-3)(d₂-3)…(dₓ-3)]；

s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算}

经粗略计算：r₁+r₂+r₃…+r₆₀=56.89，r₁+r₂+r₃…+r₉₀=86.94.

分析：s以内孪生素数的数量为1.32s/㏑²s，每对孪生素数的第二个元素分别加上1、2、3…60能够生成60*1.32s/㏑²s个自然数，s以内素数的分布密度是1/㏑s，因此，这些生成的自然数中素数的数量(允许相同)接近等于60*1.32s/㏑³s.

同样地，s以内每对孪生素数的第二个元素分别加上1、2、3…90能够生成素数的数量(允许相同)接近等于90*1.32s/㏑³s.

又，56.89/60=0.948，86.94/90=0.966.

经分析，rᵢ值存在特定的周期性的变化规律，当i＞90时，rᵢ能够满足：r₁+r₂+r₃…+rᵢ≈i.

由此可见，公式q=er=1.32rᵢs/㏑³s能够描述加2加i型素数链在自然数中的分布状态.

当偶数u₁确定时，令s以内加u₁型素数链数量分布的计算公式是q=er=rs/㏑²s，令s以内加u₁加i型素数链数量分布的计算公式是q=er=rᵢrs/㏑³s.

同样地，rᵢ值存在特定的周期性的变化规律，当i大于某个合适的值时，rᵢ能够满足：r₁+r₂+r₃…+rᵢ≈i.

因此，s以内加u₁加u₂(u₁≤s,u₂≤s)型素数链的数量总和接近等于s*s*s/㏑³s=(s/㏑s)³.

(素数链的首项在s以内即称该素数链在s以内)

从整体上分析：s足够大时，3s以内每s个连续的自然数中接近存在s/㏑s个素数；因此，s以内加u₁加u₂(u₁≤s,u₂≤s)型素数链的数量总和接近等于(s/㏑s)³.

以此类推，当n确定时，用素数链数量分布的公式叠加计算或者从整体上分析均可得到：s以内加u₁加u₂…加uₙ[uᵢ≤s,(i=1,2…n)]型素数链的数量总和接近等于(s/㏑s)ⁿ⁺¹.

因此，公式q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s能够诠释自然数中各种型号的素数链的分布状态.

检验二：

令s以内集合X={x|x=a²+1,(a∈N}中素数数量分布的计算公式是q=er=rₙk/㏑s.

(n∈Z,k表示s以内集合X中正元素的数量，s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

rₙ的计算方法如下：

1、n=-b²(b∈N)时，集合A的表达式能够进行因式分解，rₙ=0.

2、n≠-b²(b∈N)时，令|4n|以内存在2u个正整数与|4n|互素，集合A的正元素中包含的与|4n|互素的素因数除以|4n|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b₁,b₂…bᵤ}；

当pᵢ整除|4n|时，令tᵢ=1；

当pᵢ=|4n|c+bᵥ时，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；

当pᵢ不能整除|4n|且pᵢ≠|4n|c+bᵥ时，

令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1)；

s以内有1/2的pᵢ=|4n|c+bᵥ；

i足够大时，rₙ=t₀t₁…tᵢ=常数.

(i∈N,c∈N,v=1,2…u)

另外，如果m=nb²(b∈N+)；

b不存在与|4n|互素的奇素因数，则rₘ=rₙ；

b存在与|4n|互素的奇素因数d₁,d₂…dₓ，当dᵢ=|4n|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，当dᵢ≠|4n|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ，则rₘ=rₙk₁k₂…kₓ. (i=1,2…x；c、bᵥ同上)

经粗略计算：r₁=1.37，r₂=0.71，r₃=1.11，r₄=1.37，r₅=0.52，r₆=0.71，r₇=1.96，r₈=0.71，r₉=0.91；r₁+r₂+r₃…+r₉=9.37.

即，s以内集合X={x|x=a²+1,(a∈N}中的素数数量分布的计算公式是q=er=1.37√s/㏑s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

s以内与完全平方数之差为不大于9的正整数的素数总的数量接近等于9.37√s/㏑s.

分析：s以内的完全平方数的数量为√s的整数部分，这些完全平方数分别加上1、2、3…9能够接近生成9√s个自然数，s以内素数的分布密度是1/㏑s，因此，这些生成的自然数中素数的数量(允许相同)接近等于9√s/㏑s.

又，9.37/9=1.041；

经分析，连续足够多个rₙ的均值为1.

由此可见，公式q=er=rₙk/㏑s能够描述集合X={x|x=a²+n,(a∈N}中的素数的分布状态.

综合而论，令集合X={x|x=f(a)+n}，f(a)表示前文涉及的具有相同特征的自然数(或素数)，当n的取值为连续的自然数(或整数)时，集合X对应的参照常数rₙ总是存在特定的周期性的变化规律，整体上满足连续足够多个rₙ的均值为1，因此，本文列举的三种类型的公式理论上都能够描述其对应型号的素数的分布状态.

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